CENTRO DE BACHILLERATO Y SECUNDARIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

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1 CENTRO DE BACHILLERATO Y SECUNDARIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS MATERIA MATEMATICAS IV CLAVE SEMESTRE PLAN DE ESTUDIOS 10 o 00 CREDITOS 6 FEBRERO HORAS TEORICAS 1 FECHA DE ACTUALIZACIÓN DE 00 HORAS PRACTICAS DESCRIPCION GENERAL Durante el curso el alumno conocerá los conceptos de: variable, función, límite, evaluando los dos últimos los aplicara en las derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, eponenciales logarítmicas, haciendo énfasis en problemas de máimos mínimos. OBJETIVO GENERAL. Al finalizar el curso el alumno Identificara los conceptos: variable, función límite, será capaz de emplear estos últimos para calcular la derivada. Calculara derivadas de diversos tipos de funciones: algebraicas, circulares directas, circulares inversas, eponenciales logarítmicas. Aplicara la derivada a problemas geométricos físicos, haciendo énfasis en problemas de máimos mínimos. UNIDAD V: DERIVADAS IMPLICITAS Y DERIVADAS SUCESIVAS OBJETIVO CONTENIDO PARTICULAR Al concluir la unidad el alumno Aplicara las reglas de derivación cuando la función sea implícita o Derivada de funciones implícitas Derivación implícita de funciones algebraicas trascendentes. 5. Derivadas Sucesivas 5..1 Derivadas sucesivas de funciones algebraicas bien cuando sea circulares resultado de otra derivación Elaboro Reviso Epone Departamento de Matemáticas 007

2 5.1- DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS Derivación implícita de funciones algebraicas trascendentes. Cuando se da una relación entre dos o más variables la función dada no esta resuelta para una de las variables, entonces se le llama función implícita. Cuando en una epresión algebraica, se encuentra despejada una variable se dice que esta en forma eplicita. + En algunas ocasiones tenemos relación de dos o más variables en la cual no esta despejada ninguna variable, en este caso se dice que esta en forma implícita, + r En los temas anteriores se vio como derivar funciones eplicitas, pero no siempre es fácil despejar una variable para poderla derivar, ejemplo + 0. Para derivar la epresión anterior se siguen los siguientes pasos: 1º.- Se designa la variable con respecto a la que se va a derivar (, t ) se designan cuales son constantes. o.- Se deriva término a término, aplicando las reglas vistas en los temas anteriores (reglas generales), en la epresión anterior el primer término es eponencial, el segundo eponencial el tercer término es un producto de funciones. º.- Se despeja la derivada que se desea calcular: Ejemplo: 1.5 Sea la función implícita + r 1º.- Derivar con respecto a (), considere (r) constante º.- Derivando termino a termino + 0 º.- Despejando r Note que la epresión resultante se encuentra en termino de (,), en algunas ocasiones esto resulta incomodo, pero como generalmente la derivada la utilizamos para encontrar la pendiente en un punto en el que son conocidas las coordenadas (,), no tendremos dificultad. Así, si se desea calcular el valor de la derivada en el punto (, ), entonces: Elaboro Reviso Epone Departamento de Matemáticas 007

3 Ejemplo:.5 Sea la función implícita 1º.- Derivar con respecto a (). + 0 º.- Derivando termino a termino º.- Despejando 6 + Si la función anterior se deriva con respecto a () Se tiene que + 0 1º.- Derivar con respecto a (). º.- Derivando termino a termino º.- Despejando ' Se conclue que son reciprocas Ejercicios: 5.1 A resolver.- Encontrar la derivada con respecto a la variable que se indica 1.- p ' p / ' 10 /( ).- sen θ + cos θ r con respecto a (θ) Sol. r' cosθ senθ.- p con respecto a () Sol. ' / p ( ) /( ) ( ) /( ) 7.- cos( ) e 8.- cos + cos sen + cos cos e (1 + ) + sen( ) sen( ) sen cos cos sen cos + sen sen sen Elaboro Reviso Epone Departamento de Matemáticas 007

4 Derivadas sucesivas de una función Derivadas sucesivas de funciones algebraicas trascendentes Cuando se tiene una función f() puede ocurrir que al derivar esta función se tenga una nueva función que a su vez también se pueda derivar; en este caso a la derivada de la primera derivada se le llama segunda derivada '. Análogamente, la derivada de la segunda derivada se le llama tercera derivada ' ' así sucesivamente hasta la enésima derivada. Generalizando la idea anterior, las derivadas sucesivas las podemos representar de diferente manera. ' f ''( ) f D '' f '''( ) f D Ejemplo.5 Función inicial 1 ' 6 '' 7 Tercera derivada IV 7 Cuarta derivada Elaboro Reviso Epone Departamento de Matemáticas 007

5 Ejemplo Función inicial ' 6 1 Ejemplo r Función r ' Ejemplo 7. 5 sen() Función cos( ) ' sen( ) '' cos( ) Tercera derivada d sen( ) Cuarta derivada Se cicla Elaboro Reviso Epone Departamento de Matemáticas 007

6 Ejercicios 5. a resolver.- Encontrar la segunda derivada de: 1.-- V π * r con respecto a (r) Sol. V '' 8πr '' r.- + r ' ( r ) ) senθ + cosθ.- sen θ + cos θ r con respecto a (r) Sol. θ '' (cosθ senθ ) L 5.- A con respecto a (L) Sol. A' ' L 8.- sen + cos '' sen '' (cot 1) 7.- tan + ' sec * tg ln cos ' sec ( + ) 10.- '' 5 / +1 ( + 1) Elaboro Reviso Epone Departamento de Matemáticas 007