Para entender la diferencia entre una relación y una función primero analizaremos el concepto de cada uno.

Transcripción

1 FUNCIONES Diferencia entre relaciones y funciones Para entender la diferencia entre una relación y una función primero analizaremos el concepto de cada uno. Relación Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado dominio, con un segundo conjunto llamado recorrido o rango, de manera que cada elemento del dominio le corresponde uno o más elemento del recorrido o rango. Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Ejemplo: Esta relación se representa con el siguiente de pares ordenados: R={(x 1,y 1 ),(x 1,y ),(x,y ),(x 3,y 3 ),(x 4,y 4 ) } Función El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas. Las funciones no sólo representan las fórmulas o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos que resuelven problemas de la vida real. Se le considera como una correspondencia de un conjunto X de número reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor específico de x.

2 Es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: si (a, b) y (a, c) pertenecen a una colección, entonces se cumple que b = c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo elemento. Ejemplo: Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x A asigna un único elemento f(x) del conjunto B, se dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representan de la siguiente forma, f: A B, donde el conjunto A se le llama dominio y al conjunto B contra dominio, que también se representa por medio de un diagrama de flechas. Por lo tanto, una función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor de dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido. Además, de que toda relación son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Ejemplos: 1. En las siguientes imágenes se determinará si los diagramas representan una función o una relación:

3 1. A B. A B A B 4. A B Solución: El primer y el tercer diagrama corresponden a una función, ya que cada elemento del conjunto A se le asigna un solo elemento del conjunto B. En el diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B, mientras que en el diagrama 4 el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se concluye que estos conjuntos representan una relación..- Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o una relación. A = {(-, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 5)} B = {(3, ), (3, 6), (5, 7), (5, 8)} C = {(, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} M = {(, 4), (6, ), (7, 3), (4, 1), (, 6)}

4 Solución: Los conjuntos A y C son funciones ya que el primer elemento de cada para ordenado no se repite. En el conjunto B los números 3 y 5 aparecen veces como primer elemento del par ordenado mientras que en el conjunto M al número se le están asignando el 4 y el 6 como segundo elemento, por tanto B y M son relaciones. Nota. Las funciones y relaciones pueden tener una representación gráfica en el plano cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta con trazar una recta paralela al eje Y sobre la gráfica; si ésta intersecta en dos o más puntos es una relación, si solo intersecta un punto será una función. Ejemplo:

5 Clasificación de las funciones Las funciones se clasifican en: Algebraicas y Trascendentes Algebraicas Función Trigonométricas Trascendentes Inversas Trigonométricas Exponenciales Logarítmicas Algebraicas y trascendentes Una función algebraica es aquella formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y una función constante. Estas operaciones algebraicas incluyen adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación (elevación a una potencia) y radicación (extracción de una raíz). Las funciones polinomiales y racionales son tipos de funciones algebraicas. Un ejemplo complejo de una función algebraica es aquella definida por: f x = (x + 3x + 1) 3 x 4 + 1

6 Ejemplos: f x = x 3 4x f x = x 4 y = x Además de las funciones algebraicas, se considerarán las funciones trascendentes como la dependencia entre la función y la variable independiente que no puede expresarse por un número limitado de las cuatro operaciones algebraicas. Ejemplo: f x = sen x + 1 x = arc tan (x ) H x = log (x 3 1) Las funciones algebraicas y trascendentes pueden ser: Explicitas. Es cuando la función está en términos de una variable, por ejemplo: y = x f x = x 3 x+5 y = sen 3x s t = e t y = x 3 g x = x x 1 f x = cos 1 x g x = x+3 Implícitas. Es cuando ambas variables forman parte de la ecuación, por ejemplo: x 8y + 16 = 0 x 3 + y 3x = 0 sen x + cos y = 1

7 Continuas y discontinuas Una función f es continua en x = a, si y solo si se satisface en las siguientes condiciones: f a Existe. lim x a f(x) Existe. lim x a f x = f(a) Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es discontinua (no continua) en x = a. Nota. Si en la definición anterior sustituimos lim x a f(x) por lim x a + f (x) o por lim x a f (x), se dice que f es continua a la derecha, respectivamente, a la izquierda del punto x = a. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto, la condición de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a, si y solo si: lim x a f x = f(a) Si en la definición de continuidad se hace x = a + h; con a y (a + h) en el dominio de f, se dice entonces, que f es continúa en a si y solo si: lim 0 f a + = f(a) Las discontinuidades se clasifican en dos categorías: evitables o removibles e inevitables o no removibles. Si f es discontinua en x=a y lim x a f(x) existe pero es diferente de f(a), se dice que la discontinuidad es removible o evitable, es decir, si f se puede hacer continua definiendo apropiadamente f(a). Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto, se usa la frase Remover la discontinuidad para indicar que se puede redefinir la función haciendo que f a = lim x a f(x) y de esta manera obtener una nueva función continua en x = a.

8 Ejemplo: Considere, la función f definida por: La gráfica de la función aparece en la siguiente figura: Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene: f(0) = 3 Existe. Pero lim x 0 f x = 1 f 0 = 3; lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, como lim x 0 f x f 0, la discontinuidad es evitable. Se puede entonces, remover o evitar la discontinuidad, redefiniendo una nueva función de tal forma que lim x 0 f x = f 0. Esto es, redefiniendo f así: Esta nueva función es continua en x=0. Teorema (álgebra de funciones continuas). El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, señala importantes propiedades de las funciones continuas y es al mismo tiempo herramienta útil que permite deducir, en muchos

9 casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición. Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces: (f + g) Es continua en x = a. (Suma de funciones continuas). (f - g) Es continua en x = a. (Diferencias de funciones continuas). (f g) Es continua en x = a. (Producto de funciones continuas). ( f ) Es continua en x = a, si g(a) 0. (Cociente de funciones continuas). g Una función f es continua en un intervalo abierto(a, b) si y solo si, f es continua en todo punto del intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (-, ) es continua en todas partes. Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), es continua por la derecha de a y es continua por la izquierda de b. es decir: lim x a + f x = f(a) Y lim x b f x = f(b)