Fuerzas eléctricas y campo eléctrico

Transcripción

1 Fuerzas eléctricas y campo eléctrico Física II Grado en Ingeniería de Organización Industrial Primer Curso Joaquín Bernal Méndez Curso Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss /58

2 Introducción Elektron es un vocablo griego que significa ámbar Al frotar el ámbar éste atrae pequeños objetos (pajitas, plumas, ) La electricidad es un fenómeno muy presente en la vida diaria: Fenómenos de electricidad estática Ingeniería: máquinas y motores eléctricos 3/58 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 4/58

3 Carga eléctrica Evidencia eperimental: Dos barras de plástico frotadas con piel se repelen Dos barras de vidrio frotadas con seda se repelen La barra de vidrio y la de plástico se atraen Se dice que las barras están cargadas Hay dos tipos de carga: Carga positiva Carga negativa 5/58 Propiedades de la carga Cuantización La carga esta cuantizada: Donde e es la unidad fundamental de carga, que coincide con el valor absoluto de la carga del electrón Usualmente N es muy grande Conservación de la carga 19 Unidades: culombio (C) e C Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es del orden de 50 nc: Q Ne 9 50nC 5010 C N e C 11 6/58

4 Aislantes y conductores Clasificación de la materia atendiendo a sus propiedades de conducción eléctrica Conductores: la carga puede desplazarse por su interior con facilidad Ejemplo: metales Aislantes: La carga no puede moverse libremente Cuando se cargan por frotación la carga queda confinada en la región frotada. Ejemplos: vidrio, caucho, madera. 7/58 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 8/58

5 Ley de Coulomb (I) Fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra Está dirigida a lo largo de la línea que las une Disminuye con el cuadrado de la distancia que separa las cargas Es proporcional al producto de las cargas Es repulsiva para cargas del mismo signo y atractiva para cargas de signo contrario Balanza de torsión 9/58 Ley de Coulomb (II) Representación matemática: Nm C F1 rˆ qq F k rˆ r1 r r r r r r k Constante de Coulomb Medida eperimentalmente 10/58

6 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 11/58 Principio de superposición Cuando tenemos un sistema de cargas la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las demás cargas Principio eperimental 1/58

7 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 13/58 Campo eléctrico: introducción La fuerza entre cargas puede verse como una acción a distancia. Una visión alternativa es la del campo eléctrico: Una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio: magnitud vectorial El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras cargas 14/58

8 Campo eléctrico: definición En un punto colocamos una carga de prueba: q 0 No perturba la distribución de cargas original (q 0 0) Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula q q 1 F1 0 q 0 F F 0 E F q 0 Magnitud vectorial Dirección de F Independiente de q 0 Unidades: N/C 15/58 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 16/58

9 Campo de una carga puntual Tenemos una carga puntual q i Situamos una carga de prueba q 0 Ley de Coulomb: E i qq F k r i 0 ˆ i0 ip rip F q i0 0 q Ei k r r i ˆ ip ip i p z E i r q0 p O y r ip r i qi Punto fuente Punto campo CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL 17/58 Campo eléctrico de una distribución de cargas puntuales z q r 3 3 O y r p r q r q1 1 Principio de superposición para el campo eléctrico Es una consecuencia del principio de superposición para la fuerza El campo eléctrico de la distribución de cargas es la suma vectorial de los campos de cada carga puntual q E E k r i ˆ p i ip i i rip 18/58

10 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 19/58 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga Las distribuciones de carga son siempre discretas (cuantización de la carga) Cuando un punto de la distribución de cargas contiene un número muy alto de cargas discretas la distribución puede tratarse como una distribución continua de carga Ejemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan como distribuciones continuas de masa z y V m i i dm m lim V 0 V dv dm dv m dv m V m 0/58

11 Distribución volumétrica de carga z V y dq Campo debido a un dq: dv dq de k r ˆ r P r Distribución volumétrica de carga: Densidad de carga: dq dv Campo total debido a la distribución en V : dq E k r ˆ V r dv E k rˆ V r 1/58 Distribuciones superficial y lineal de carga Distribución superficial de carga: z dq ds ds y r E k rˆ S r P Distribución lineal de carga: P z r dl dq y dl dl E k rˆ L r /58

12 Ejemplo: Campo sobre el eje de una carga lineal finita L E E y k d L L P L d ( ) P P de de u P du d kdq kd ( ) ( ) P k 1 1 kl kq k L L L L Distribución uniforme: P P P L L P P P P du u Q L P L 3/58 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 4/58

13 Líneas de campo eléctrico Representación gráfica para visualizar el campo eléctrico El campo eléctrico es tangente a la línea de campo. El módulo del campo eléctrico es mayor cuanto más próimas están las líneas de campo entre sí. 5/58 Ejemplo: carga puntual Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero eiste el campo en todo el espacio Representación bidimensional de un campo tridimensional Línea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo 6/58

14 Ejemplo: carga puntual Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero eiste el campo en todo el espacio Representación bidimensional de un campo tridimensional Línea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo 7/58 Dos cargas positivas iguales 8/58

15 Cargas iguales con distinto signo: dipolo eléctrico 9/58 Reglas para representar líneas de campo Salen de las cargas positivas y terminan en las negativas Si hay eceso de carga positiva debe haber líneas que acaban en el infinito Si hay eceso de carga negativa debe haber líneas que salen del infinito Para cada carga puntual las líneas se dibujan entrando o saliendo de la carga y: Uniformemente espaciadas En número proporcional al valor de la carga Dos líneas de campo no pueden cruzarse 30/58

16 Ejemplo: Eceso de carga positiva: líneas que terminan en el infinito Salen 16 líneas equiespaciadas Entran 8 líneas equiespaciadas Líneas salen de la carga positiva y entran en la carga negativa 31/58 Líneas a distancias grandes A distancias grandes comparadas con la mayor distancia entre cargas del sistema: Líneas igualmente espaciadas Líneas radiales Equivalen a las líneas de una sola carga puntual con carga igual a la carga neta del sistema 3/58

17 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 33/58 Movimiento de cargas en un campo eléctrico Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de un campo eléctrico: q E F qe F ma qe q a E m Segunda Ley de Newton: Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado 34/58

18 y Ejemplo 1: electrón en campo uniforme E F eei ma F ee q e ee d a m dt 0 t ee d v( ) v(0) adt at v t 0 m dt t t ee 0 atdta 0 t m 0 Movimiento uniformemente acelerado 35/58 Ejemplo : electrón con velocidad perpendicular al campo y F ee v 0 q E e Eje y : movimiento rectilíneo uniforme y y v t 0 0 Eje : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ee 0 t m La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un campo gravitatorio (tiro parabólico) 36/58

19 Dipolo eléctrico Dipolo eléctrico: dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una pequeña distancia L q L - + q Momento dipolar eléctrico: p ql Las moléculas de algunos materiales aislantes son dipolos (moléculas polares) Ejemplo: molécula de agua Las moléculas no polares sometidas a un campo eléctrico se polarizan 37/58 Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico Campo eléctrico uniforme: No hay fuerza neta sobre el dipolo Aparece un par de fuerzas: p E Un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico eterno 38/58

20 Efecto de un campo eléctrico sobre un dipolo eléctrico Campo eléctrico no uniforme: De nuevo hay un par de fuerzas que tiende a alinear al dipolo con el campo Además aparece una fuerza neta sobre el dipolo Un dipolo eléctrico tiende a desplazarse hacia las zonas de campo eléctrico más intenso Ejemplo: atracción de trocitos de papel por un bolígrafo de plástico cargado 39/58 Índice Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Acción del campo eléctrico sobre las cargas Ley de Gauss 40/58

21 Ley de Gauss Ley general del electromagnetismo Útil para calcular campos eléctricos Sólo puede aplicarse para tal fin en situaciones en que la distribución de cargas tenga una alta simetría 41/58 Flujo eléctrico Magnitud proporcional al número de líneas de campo que atraviesan una superficie Supongamos E uniforme y superficie perpendicular A E EA ' ' E E ' ' A na n Definimos: Si Si FLUJO El flujo aumenta o disminuye proporcionalmente al número de líneas de campo que atraviesan la superficie 4/58

22 Flujo eléctrico Supongamos una superficie no perpendicular: E A 1 ˆn A A 1 es perpendicular a las líneas de campo A 1 es atravesada por el mismo número de líneas de campo que A : EA EA cos 1 E A En general: EAEnA ˆ EAcos 43/58 Flujo eléctrico Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme E A i nˆi A i Tomamos tan pequeña que pueda considerarse: Superficie plana E n ˆ A i i i i E nda ˆ E da Campo eléctrico uniforme E nˆ A i i i i Flujo total: ; en el límite : S S A i 0 44/58

23 Flujo en una superficie cerrada ˆn E nda ˆ S 45/58 Ley de Gauss S R Suponemos una carga puntual en el centro de una esfera de radio R R Q El flujo es independiente de R Q E nˆ En k Radial R EdA E da E 4R S R 4kQ El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera S R n n 46/58

24 Ley de Gauss Supongamos otras superficies no necesariamente esféricas: S 1 S R Q A todas las superficies las atraviesa el mismo número de líneas Mismo flujo neto para todas las superficies: 4kQ S 47/58 Ley de Gauss Supongamos un sistema de cargas: Principio de superposición: ( E E ) da S kq ( q) 1 Para la carga eterior: E da S q 3 q q 1 Todas las líneas de campo que entran por un punto de la superficie salen por otro S 48/58

25 Enunciado de la Ley de Gauss El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es 4k veces la carga neta dentro de la superficie E da E da 4kQ S S n int A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la permitividad del espacio libre: 1 1 C 4k con 0 8,8510 Nm 0 Q int 0 49/58 Aplicaciones de la Ley de Gauss Es una Ley válida para cualquier superficie y cualquier distribución de carga A veces es útil para determinar el campo eléctrico debido a una distribución de carga que tiene un alto grado de simetría La técnica consiste en emplear la ecuación de la Ley de Gauss buscando una superficie de integración (superficie gaussiana) tal que el campo eléctrico pueda salir fuera de la integral Porque E n sobre la superficie gaussiana sea constante o nulo 50/58

26 Simetría esférica Carga puntual Simetría: campo radial Superficie gaussiana: esfera de radio r E da E da E r kq S r 4 4 n n S n r r E E nˆ n E n q k r S r 51/58 Simetría esférica r Esfera de radio R con carga Q uniformemente distribuida en su volumen Superficie gaussiana: esfera de radio r R r R E 4 n r 4 kq EdA n 4 kq 3 S 3 r r 4 q int 4r 3Q 3 En r R Q Q 3 En k 4 R 3 r kq En r 3 R int 5/58

27 Esfera con carga uniforme en volumen 53/58 Simetría cilíndrica S 1 r Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( ) Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaial con la línea de carga E nda ˆ E nda ˆ E nda ˆ E nda ˆ S L S S1 S S L E rl q L int n 0 0 E n 1 0 r 55/58

28 Simetría plana z Plano infinito uniformemente cargado Simetría: E( z) perpendicular al plano e impar en z Superficie gaussiana: caja de pastillas ; S 1 =S =A E nda ˆ EzdA ( ) E ( zda ) EzA ( ) S S y S 1 S L S ˆn ˆn E( z) 1 ˆn E( z) E( z) E( z) qint A EzA ( ) 0 0 E k 0 56/58 Simetría plana E z z 57/58

29 Conductor en equilibrio electrostático En el equilibrio el campo eléctrico en el seno de un conductor debe ser nulo En caso contrario las cargas libres se desplazarían y no habría equilibrio Esta situación se alcanza siempre que no eista una fuente de energía eterna que mantenga una corriente (como en circuitos con fuentes) Para buenos conductores (como el cobre) el tiempo que se tarda en alcanzar el equilibrio es del orden de nanosegundos Consecuencia: la carga neta de un conductor en equilibrio electrostático se encuentra en su superficie Se puede demostrar usando la Ley de Gauss 58/58 Resumen La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es la carga eléctrica Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa). Está cuantizada. La carga se conserva. La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Ley de Coulomb. La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcular la fuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua, ejerce sobre una carga. Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por una distribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto del espacio. El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una epresión integral y se representa gráficamente mediante líneas de campo. La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede utilizarse para calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico creado por distribuciones de carga que posean un alto grado de simetría. El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es nulo 59/58