3. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga. M.A.Monge / B. Savoini Dpto. Física UC3M

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1 Campo eléctico II: Ley de Gau 1. Intoducción 2. Ditibucione continua de caga. 3. Campo eléctico de ditibucione continua de caga. 4. Flujo del campo eléctico. 5. Ley de Gau. 6. Aplicacione de la ley de Gau. BIBLIOGRAFÍA: -Tiple. "Fíica". Cap. 22. Reeté. -Seway. "Fíica". Cap. 19. McGaw-Hill. TARAS: tudio del tema expueto en clae con ayuda de de la bibliogafía. Tened peente que no e a a tata todo lo expueto en lo capítulo de la bibliogafía ecomendada. Realización de lo ejecicio y poblema popueto. 1

2 Intucción Ta el decubimiento de la ley de Coulomb, la nuea ama de la Fíica e deaollo ápidamente. Michael Faaday ( ) inicio la idea del campo eléctico y decubió la inducción electomagnética. Jame Clek Maxwell ( ) 1979) deaolló la teoía del electomagnetimo tal y como e encuenta actualmente etablecida. Uno de lo mayoe genio teóico de la hitoia. Johann Cal Fiedich Gau ( ) u deaollo en matemática pemitieon fomaliza la leye del electomagnetimo. 2

3 Ditibucione continua de caga eléctica. Z n ete cao diidimo la ditibución en pequeño elemento difeenciale de caga, dq, de foma que la caga total e la integal: Q Total dq Q= dq Dependiendo de la foma de la ditibución, e definen la iguiente ditibucione de caga Lineal Supeficial Volumética dq dq dq λ = σ = ρ = dl d d 3

4 jemplo 1: Calcule la caga eléctica total de una línea de longitud L cagada con una denidad de caga de 3x C/m. x dq L dx 4

5 Campo eléctico de una ditibucione continua de caga l campo eléctico ceado po una ditibución continua de caga eá como el de una diceta, aplicando el pincipio de upepoición, peo el umatoio e tanfoma en una integal. Se calcula integando ectoialmente lo campo eléctico ceado po cada una de la caga difeenciale, dq, que componen la ditibución de caga en el punto donde e deea calcula. Z Q Total dq P Total d ( ) ( ) = 1 dq 4πε o u 2 Si en el punto P e coloca una caga q, eta expeimentaa una fueza ya ita: F ( ) = q ( ) 5

6 Flujo del campo eléctico l flujo eléctico da idea de la cantidad de campo eléctico (e puede imagina como i la línea o ectoe del campo fluyean como un líquido a taé de la upeficie) que ataiea cieta upeficie. Si la upeficie conideada enciea una caga, el númeo de línea de campo eléctico que ataiea dicha upeficie e popocional a la caga neta. ds = ds Φ ds = co( n) ds n Z ds S S Siendo n un ecto unitaio pependicula a la upeficie. Paa una upeficie ceada el flujo eá negatio i la línea de campo enta y poitio i ale. n geneal, el flujo neto paa una upeficie ceada eá: Φ = ds = co( n) ds 6

7 Supongamo ahoa una caga q póxima a una upeficie ceada de foma abitaia. n ete cao el númeo neto de línea de campo que ataiea la upeficie e ceo (entan el mimo númeo de línea que alen), po lo tanto Φ = ds = 0 q l flujo del campo eléctico a taé de una upeficie que no enciea caga e iempe nulo. 7

8 Dipolo eléctico enceado en una upeficie de foma abitaia S. La caga total enceada e ceo. - l flujo eléctico total e ceo ya que entan tanta línea de campo como alen Qué ucedeá en un cao geneal? Φ = ds = 0 8

9 jemplo 2: Una caga puntual q etá ituada en el cento de una upeficie eféica de adio R. Calcule el flujo neto del campo eléctico a taé de dicha upeficie. ds R q l eultado e independiente del adio de la efea Φ = q ε o 9

10 Ley de Gau te teoema etablece una elación geneal ente el flujo de campo eléctico a taé de una upeficie ceada y la caga enceada po ella. Ley de Gau: l flujo del campo eléctico a taé de una upeficie ceada cualquiea e igual a la caga neta que e encuente dento de dicha upeficie diidida po la pemitiidad eléctica. Φ = ds = A S e le llama upeficie gauiana (olo e un nombe). Q Total enceada en S ε 0 De foma ma explicita: Φ = co( n) ds = ds = Q Total enceada en S ε 0 10

11 ta ley e puede aplica de foma encilla al calculo del campo eléctico en poblema con gan imetía. Pocedimiento paa aplica el teoema de Gau en cao enccillo Se debe elegi una upeficie que tenga la imetía adecuada paa la ditibución de caga cuyo campo e deea calcula. La upeficie debe cumpli Paalelo e a n Pependicula e contante en módulo en todo lo punto de la upeficie De eta foma e cumple que: d co n Φ= = ( ) d = Po lo tanto S = Q = 0 i e paalelo a la upeficie gauiana = S Total en el inteio de S ε o i e pependicula a la upeficie gauiana S e el áea de la upeficie gauiana 11

12 jemplo 3: Calcule el campo eléctico poducido po una efea cagada unifomemente de adio R con una caga Q ditibuida en todo el olumen de la efea. Z R 12

13 jemplo 4: Calcule el campo eléctico poducido po un caquete eféico de adio R (la caga olo eta en la upeficie) cagado unifomemente con una caga Q ditibuida en toda la upeficie. Z R 13

14 Un cao de gan inteé e el campo eléctico poducido po un plano infinito de denidad de caga σ, como el de la figua. te cao eá útil paa el etudio de dipoitio eléctico como el condenado. Si uponemo que la caga e poitia, el campo eléctico po imetía e el de la figua. Paa pode aplica el teoema de Gau de foma encilla e Z debe compli: 1) el campo eléctico e paalelo la nomal n ala upeficie en cada punto. 2) l módulo de e contante obe la upeficie. Paa cumpli lo anteio elegimo una upeficie gauiana cilíndica como la de la figua Z Aplicamo el teoema de Gau a la upeficie gauiana cilíndica. l eultado e que el campo eléctico e de módulo contante y pependicula al plano de la ditibución de caga. Su alo e: ( ) = σ 2εε 0 14

15 n mucho cao el campo e complicado y no abemo enconta una upeficie gauiana que no pemita aplica el teoema de Gau de foma encilla. Po ejemplo, i tenemo una línea cagada poitiamente de longitud L y caga total Q, el campo eléctico tiene la foma de la figua. n un cao como ete, paa calcula el campo eléctico debeemo oluciona la integal con que lo definimo: 1 ( ) = 4πε u o dq 2 15

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