TEMA 10: La programación lineal como instrumento para la toma de decisiones de inversión

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1 Itroducció a las Fiazas 3º Curso de Direcció y Admiistració de Empresas TEMA 0: La programació lieal como istrumeto para la toma de decisioes de iversió E la empresa existe ua serie de restriccioes (recursos, persoal, etc.) que motiva que su gestió tega que adaptarse a tal circustacia. Normalmete, las úicas restriccioes que se tiee e cueta co carácter explícito so las fiacieras. Al tratar de los criterios para evaluar la retabilidad de las iversioes, se procedía a la jerarquizació de las mismas co la fialidad de asigar los recursos limitados a aquellas iversioes más retables. Pero este aálisis va a resultar isuficiete por varias razoes, etre las que podemos citar: No se cosidera las restriccioes fiacieras e períodos posteriores al de estudio, sio sólo e el mometo actual. Pero las iversioes geera pagos a lo largo de varios períodos y hay que teer e cueta las limitacioes fiacieras que se pueda producir e ellos. Sólo se cosidera la posibilidad de iversió e el mometo presete y o e mometos futuros. Por tato, os vamos a ecotrar ate u uevo cotexto para el aálisis de las iversioes que se caracteriza por: U cojuto de iversioes que se puede realizar e el mometo actual o retrasarse a mometos futuros. Es decir, os vamos a efretar a ua restricció de temporalidad. U período de tiempo llamado horizote temporal que cocluye cuado se obtega el último flujo del cojuto de iversioes estudiado. E cada período se dispoe de uos recursos fiacieros limitados. Estos compodrá las restriccioes fiacieras. El problema cosiste e determiar que iversioes debe llevarse a cabo y cuátas veces, así como el mometo e que debe poerse e práctica para que la retabilidad total y actualizada del horizote temporal sea máxima, cumpliedo la codició de que o sea rebasadas las dispoibilidades fiacieras y que además se verifique las demás restriccioes que sea impuestas de tempòralidad, complemetariedad y sustitució de las iversioes cosideradas. El plateamieto de esta problemática se realizará a través de la programació lieal. El problema fudametal de la programamció lieal cosiste e determiar los iveles de sigificació o grado de realizació (x i ) de las distitas variables estudiadas, de forma que, cumpliedo todas las restriccioes impuestas, cosigamos optimizar la fució objetivo. MAX Z Cx C x Sujeto a las siguietes restriccioes:

2 Itroducció a las Fiazas 3º Curso de Direcció y Admiistració de Empresas a x b j j a x b 2 j j 2 a x b Tj j T Y a la codició de o egatividad de las variables: ( x,..., x El problema a resolver es calcular el ivel de sigificació de las variables x i que optimice la fució objetivo cumpliedo las restriccioes. Para solucioarlo, se ha desarrollado varios algoritmos, detro de los cuales, el más utilizado es el algoritmo del símplex desarrollado por Datzig. La programació lieal tiee umerosas aplicacioes e el ámbito de la ecoomía, ya que e defiitiva cosiste e alcazar uos objetivos sometidos a restriccioes (producció, vetas, fiazas, etc.). Plateamieto del modelo de Lorie-Savage Este es el primer iteto de platear e térmios de programació lieal el problema de la elecció de iversioes, teiedo e cueta la limitació de recursos fiacieros. Auque e u pricipio sólo cosidera el caso de dos períodos temporales, posteriormete lo geeraliza a T períodos auales. El objetivo a coseguir co este plateamieto es que el valor capital del cojuto de iversioes seleccioadas sea máximo si rebasar las dispoibilidades fiacieras e iguo de los períodos, plateado para ello el siguiete modelo: MAX Z Vx + Vx+ + Vx Sujeto a las restriccioes: Sx + S2x Sx D S2 x + S22 x S2 x D2 S x + S x S x D T 2T 2 T T Y a la codició de o egatividad de las variables: ( x,..., x 2

3 Itroducció a las Fiazas 3º Curso de Direcció y Admiistració de Empresas Dode: V j es el valor capital de la iversió j. X j es la variable asociada al proyecto de iversió j-ésimo, a la que se deomia ivel de sigificació o ivel de realizació del proyecto. S ji es la salida de caja origiada por la iversió j e el año i. D i so las dispoibilidades fiacieras para el año i. T es el úmero de años cotemplados e el horizote de plaificació. Tal como se ha plateado el problema, se está supoiedo que las iversioes so fraccioables y repetitivas, ya que los x j 0. Si queremos platear el problema supoiedo que los proyectos de iversió sea fraccioables y o repetitivos, la restricció que se debería impoer para el valor de las variables sería: 0 Pudiédose itegrar e el programa lieal de la siguiete maera: MAX Z Vx + Vx+ + Vx Sx + S2x Sx D S2 x + S22 x S2 x D2 S Tx + S2Tx STx DT x x2 x Y co la codició de o egatividad de las variables: ( x,..., x El dual de Lorie-Savage x j A todo programa lieal, que llamaremos primal, le correspode u programa dual co las siguietes características:. El dual tiee tatas variables como restriccioes tiee el primal. 2. El dual tiee tatas restriccioes como variables tega el primal. 3. Los coeficietes de la fució objetivo del dual so iguales a los térmios idepedietes de las restriccioes del primal. 4. Los térmios idepedietes de las restriccioes del dual so iguales a los coeficietes de la fució objetivo del primal. 3

4 Itroducció a las Fiazas 3º Curso de Direcció y Admiistració de Empresas 5. El setido de la desigualdad de las restriccioes del dual es iverso de las restriccioes del primal. Por tato, el dual de ua maximizació es ua miimizació, o viceversa. 6. El dual del dual es el primal. El teorema fudametal de la dualidad postula que: la solució óptima de u primal y su dual coicide. El dual del programa lieal de Lorie-Savage será: MIN Z' D u + D u D u 2 2 Su + S2u S TuT V S u + S u S TuT V S u + S u S u V T T Y la codició de o egatividad de las variables: ( u, u,..., ) 2 u T 0 T T El precio dual u i co i=, 2,..., T es ua medida de la retabilidad margial de los recursos fiacieros dispoibles e el período i. Sería lo que aumetaría el valor de la fució objetivo si se tuviera ua uidad adicioal de recursos fiacieros e el período i para ivertir. Tambié se puede platear desde la perspectiva de u coste de oportuidad, ya que sería lo que dejaría de gaar la empresa por o dispoer de ua uidad moetaria adicioal para ivertir e el período i. Si cosideramos las iversioes como fraccioables y o repetitivas, el dual se plateará como: MIN Z' D u + D u D u + u + u u 2 2 T T T+ T+ 2 T+ Su + S2u S TuT + ut+ V S u + S u S TuT + ut+ V S u + S u S u + u V T T T+ Y la codició de o egatividad de las variables: ( u, u,..., u, u,..., u ) 2 T T+ T+ 0 Los precios duales u,..., u T, sigue siedo la retabilidad margial de los recursos fiacieros D i. Ahora, estos u i co i=,...,t será meores porque teemos u primal más restrictivo porque la o repetitividad frea la retabilidad de la iversió vista e su cojuto. 4

5 Itroducció a las Fiazas 3º Curso de Direcció y Admiistració de Empresas Los duales u T+j co,..., expresa el coste de oportuidad (lo que se deja de gaar) al itroducir las restriccioes de o repetitividad de proyectos. Por tato, al itroducir las restriccioes de o repetitividad: Dismiuye el valor de los u i. Dismiuye el valor total del primal ya que al itroducir uevas restriccioes se reduce la regió de solucioes posibles. 5

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