El álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos

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1 El álgebra de las matrices Suma y producto por un escalar Producto de matrices Propiedades y ejemplos c Jana Rodriguez Hertz p. 1/1

2 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo tamaño, c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

3 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo tamaño, se define la suma de A y B como c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

4 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo tamaño, se define la suma de A y B como A+B := a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21. a 22 + b a 2n + b 2n. a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

5 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo tamaño, se define la suma de A y B como A+B := a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21. a 22 + b a 2n + b 2n. a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn donde c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

6 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo tamaño, se define la suma de A y B como A+B := a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21. a 22 + b a 2n + b 2n. donde a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn A = a ij j=1,...,n i=1,...m c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

7 Suma de matrices - definición Si dos matrices A,B M m n K tienen el mismo tamaño, se define la suma de A y B como A+B := a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1n a 21 + b 21. a 22 + b a 2n + b 2n. donde a m1 + b m1 a m2 + b m2... a mn + b mn A = a ij j=1,...,n i=1,...m B = b ij j=1,...,n i=1,...m c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1

8 Suma de matrices - ejemplo A = B = entonces A + B = c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1

9 Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A M m n K y un número α K, c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

10 Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A M m n K y un número α K, definimos el producto de α por A como c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

11 Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A M m n K y un número α K, definimos el producto de α por A como αa := αa 11 αa αa 1n αa 21. αa αa 2n. αa m1 αa m2... αa mn c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

12 Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A M m n K y un número α K, definimos el producto de α por A como αa := αa 11 αa αa 1n αa 21. αa αa 2n. donde αa m1 αa m2... αa mn c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

13 Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A M m n K y un número α K, definimos el producto de α por A como αa := αa 11 αa αa 1n αa 21. αa αa 2n. donde αa m1 αa m2... αa mn A = a ij j=1,...,n i=1,...,m c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1

14 Producto por un escalar - ejemplo entonces A = 3A = c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1

15 Producto de una matriz con un vector Si A M m n K y X M n 1, se define producto de A por X al vector: AX := x 1 A 1 + x 2 A x n A n c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

16 Producto de una matriz con un vector Si A M m n K y X M n 1, se define producto de A por X al vector: AX := x 1 A 1 + x 2 A x n A n donde A j = a 1j a 2j. M m 1K columnas de A a mj c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1

17 Producto de una matriz con un vector De este modo el sistema a 11 x a 1j x a 1n x n = b 1. S a i1 x a ij x a in x n = b i. a m1 x a mj x a mn x n = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 7/1

18 Producto de una matriz con un vector que se puede escribir como la ecuación vectorial: x 1 a 11 a x j a 1j a 2j. + +x n a 1n a 2n. = b 1 b 2. a m1 a mj a mn b m c Jana Rodriguez Hertz p. 8/1

19 Producto de una matriz con un vector que se puede escribir como la ecuación vectorial: x 1 A x j A j + + x n A n = B c Jana Rodriguez Hertz p. 8/1

20 Producto de una matriz con un vector se resume como: AX=B c Jana Rodriguez Hertz p. 9/1

21 Producto de matrices - definición Si A M m k K c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

22 Producto de matrices - definición Si A M m k K y B M k n K c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

23 Producto de matrices - definición Si A M m k K y B M k n K A y B conformables c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

24 Producto de matrices - definición Si A M m k K y B M k n K, se define el producto de A por B como AB := AB 1 AB 2... AB n M m n K c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1

25 Producto de matrices - ejemplo A = a 11 a 12 a 21 a 22 B = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 c Jana Rodriguez Hertz p. 11/1

26 Producto de matrices - ejemplo A = a 11 a 12 a 21 a 22 B = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 c Jana Rodriguez Hertz p. 11/1

27 Producto de matrices - ejemplo AB = AB 1 AB 2 AB 3 B 1 B 2 B 3 A AB 1 AB 2 AB 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

28 Producto de matrices - ejemplo AB = AB 1 AB 2 AB 3 AB 1 = b 11 A 1 + b 21 A 2 A 1 A 2 AB 1 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

29 Producto de matrices - ejemplo AB = AB 1 AB 2 AB 3 AB 1 = b 11 A 1 + b 21 A 2 AB 2 = b 12 A 1 + b 22 A 2 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 A 1 A 2 AB 1 AB 1 c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

30 Producto de matrices - ejemplo AB = AB 1 AB 2 AB 3 AB 1 = b 11 A 1 + b 21 A 2 AB 2 = b 12 A 1 + b 22 A 2 AB 3 = b 13 A 1 + b 23 A 2 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 A 1 A 2 AB 1 AB 1 AB 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1

31 Producto de matrices - ejemplo A = B = c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

32 Producto de matrices - ejemplo A = B = c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

33 Producto de matrices - ejemplo A = B = c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

34 Producto de matrices - ejemplo A = B = c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

35 Producto de matrices - ejemplo A = B = c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

36 Producto de matrices - ejemplo A = B = = AB c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1

37 Proposición A M m k K, B M k n K, entonces c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1

38 Proposición A M m k K, B M k n K, entonces para todo vector X K n : c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1

39 Proposición A M m k K, B M k n K, entonces para todo vector X K n : ABX = ABX c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1

40 Proposición A M m k K, B M k n K, entonces para todo vector X K n : ABX = ABX anotamos de ahora en más: ABX c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1

41 Propiedades del producto Si A, B y C son matrices conformables ASOCIATIVA: ABC = ABC c Jana Rodriguez Hertz p. 15/1

42 Propiedades del producto Si A, B y C son matrices conformables ASOCIATIVA: ABC = ABC DISTRIBUTIVA A DERECHA: CA + B = CA + CB c Jana Rodriguez Hertz p. 15/1

43 Propiedades del producto Si A, B y C son matrices conformables ASOCIATIVA: ABC = ABC DISTRIBUTIVA A DERECHA: DISTRIBUTIVA A IZQUIERDA: CA + B = CA + CB A + BC = AC + BC c Jana Rodriguez Hertz p. 15/1

44 Propiedades del producto Sin embargo, en general NO CONMUTATIVA AB BA c Jana Rodriguez Hertz p. 16/1

45 Ejemplo A = B = 0 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

46 Ejemplo A = B = 0 0 entonces 0 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

47 Ejemplo A = B = 0 0 entonces c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

48 Ejemplo A = B = 0 0 entonces 0 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

49 Ejemplo A = B = 0 0 entonces AB = 0 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

50 Ejemplo A = B = 0 0 entonces AB = 0 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

51 Ejemplo A = B = 0 0 entonces AB = c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

52 Ejemplo A = B = 0 0 entonces AB = c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

53 Ejemplo A = B = 0 0 entonces AB = BA = 0 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

54 Ejemplo A = B = 0 0 entonces AB = BA = 0 0 AB BA c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1

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