MATRICES. Una matriz es un ordenamiento rectangular de números. Los siguientes son ejemplos de matrices.

Transcripción

1 MATRICES Una matriz es un ordenamiento rectangular de números Los siguientes son ejemplos de matrices [ [ A, B, C 0 1, D En una matriz se pueden identificar filas y columnas Por ejemplo, [ la matriz A tiene[ dos filas, que son [1 0 4 la primera y [3 2 1 la segunda, y tres columnas 13 la primera, 02 [ la segunda y 41 la tercera La cantidad de filas y de columnas de una matriz determina su tamaño Como la matriz A tiene 2 filas y 3 columnas, se dice que su tamaño es 2 3 (y se lee dos por tres ) Una matriz con igual cantidad de filas que de columnas se llama matriz cuadrada Cada uno de los números presentes en una matriz se llama entrada La ubicación de cada entrada de una matriz queda determinada por el número de fila y el número de columna en que está La entrada situada en la fila 2 y columna 1 de una matriz se dice que está en la posición (2,1), o que es la (2,1)-entrada Por ejemplo, la (2,1)-entrada de la matriz A es 3 y la (1,3)-entrada es 4 Notar que las filas se numeran de arriba a abajo y que las columnas de izquierda a derecha Ejer [1 Determinar el tamaño de las matrices B, C y D dadas anteriormente Indicar si son cuadradas [2 Determinar la (2,2)-entrada de B, la (3,2)-entrada de C y la (3,1)-entrada de D [3 Cuántas entradas tiene una matriz de tamaño 5 7? Las matrices en general se denotarán con letras mayúsculas A, B, C, etc y para hacer referencia a sus entradas se usará la misma letra en minúscula y seguida de dos subíndices que indican el primero la fila y el segundo la columna en que se encuentra la entrada Por ejemplo, la (2,1)-entrada de una matriz llamada A se denota con a 21 ; la (3,2)-entrada de una matriz D se denominará d 32 De esta manera, una entrada genérica de una matriz A se denota con a ij, donde i y j son (el número de) la fila y la columna de la entrada Una matriz cualquiera A tendrá un cierto número n de filas y un cierto número m de columnas, entonces la podemos representar como a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A [a ij n m a n1 a n2 a nm 1

2 Ejer [1 Si A [ [ y B hallar a12 b 21, a 11 b 11 a 12 b 21 y a 21 b 13 a 22 b 23 [2 Hallar la matriz C de tamaño 3 2 sabiendo que c 11 1, c 12 1, c 32 2 y que las restantes entradas son 0 s [3 Hallar D [d ij 3 3 sabiendo que d ij i j Suma de matrices Dadas dos matrices del mismo tamaño es posible efectuar su suma, obteniéndose una matriz de igual tamaño La suma se computa como en el siguiente ejemplo [ [ [ [ Es decir, se suman las entradas que están en igual posición Para un par de matrices cualesquiera A y B de igual tamaño n m se tiene a 11 a 12 a 1m b 11 b 12 b 1m a 11 b 11 a 12 b 12 a 1m b 1m a 21 a 22 a 2m b 21 b 22 b 2m a 21 b 21 a 22 b 22 a 2m b 2m, a n1 a n2 a nm b n1 b n2 b nm a n1 b n1 a n2 b n2 a nm b nm o más brevemente [a ij n m [b ij n m [a ij b ij n m Producto de un número por una matriz Dados un número real y una matriz, su producto se realiza como se muestra en el siguiente ejemplo 3 [ [ ( 1) ( 2) [ Es decir, se multiplican todas las entradas de la matriz por el número Para un número cualquiera α R y una matriz cualquiera A de tamaño n m se puede expresar a 11 a 12 a 1m αa 11 αa 12 αa 1m a 21 a 22 a 2m α αa 21 αa 22 αa 2m, a n1 a n2 a nm αa n1 αa n2 αa nm o bien, con la notación abreviada, α[a ij n m [αa ij n m Ejer [1 Si A [ [ , B 2 1 [ 1 3 y O calcular A B, 3A, B O, 3A 2B, A ( 1)A, B A B ( 1)A y A A [2 Hallar la matriz C que verifica C [ [ [ [3 Hallar a, b, c, d R sabiendo que a b [ 2b c [ c d Propiedades de la suma y producto por números de matrices Si α, β R son números y A, B, C matrices cualesquiera de un mismo tamaño, entonces se verifican las siguientes propiedades 2

3 1 (A B) C A (B C) 2 A B B A 3 α(βa) (αβ)a 4 (α β)a αa βa 5 α(a B) αa αb 6 1A A, 0A O y A O A, donde en la propiedad 6 se representa con O la matriz cuyas entradas son todas 0 s (llamada matriz nula) La primera propiedad expresa que la suma de matrices es asociativa Es decir, que se obtiene el mismo resultado sumando A y B, y luego C que si se suma a A la suma de B y C Nótese que esta propiedad ya es conocida para la suma de números, o sea que (a b) c a (b c) si a, b, c R Para ver la validez de la propiedad asociativa de la suma matricial se puede hacer la siguiente demostración expresando las matrices A, B y C en la forma [ x11 x 12 x 1m x 21 x 22 x 2m x n1 x n2 x nm En efecto ( [ a11 a 12 a 1m a (A B) C 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm [ a 11 b 11 a 12 b 12 a 1m b 1m a 21 b 21 a 22 b 22 a 2m b 2m a n1 b n1 a n2 b n2 a nmb nm [ b 11 b 12 b 1m ) [ c11 c 12 c 1m b 21 b 22 b 2m c 21 c 22 c 2m b n1 b n2 b nm c n1 c n2 c nm [ c11 c 12 c 1m c 21 c 22 c 2m c n1 c n2 c nm [ (a 11 b 11 )c 11 (a 12 b 11 )c 12 (a 1m b 1m )c 1m (a 21 b 21 )c 21 (a 22 b 22 )c 22 (a 2m b 2m )c 2m (a n1 b n1 )c n1 (a n2 b n2 )c n2 (a nmb nm)c nm [ a 11 (b 11 c 11 ) a 12 (b 11 c 12 ) a 1m (b 1m c 1m ) a 21 (b 21 c 21 ) a 22 (b 22 c 22 ) a 2m (b 2m c 2m ) a n1 (b n1 c n1 ) a n2 (b n2 c n2 ) a nm(b nmc nm) [ a11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm [ a11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm A (B C), [ b 11 c 11 b 12 b 12 b 1m c 1m b 21 c 21 b 22 b 22 b 2m c 2m b n1 c n1 b n2 c n2 b nmc nm ( [ b11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b n1 b n2 b nm [ c11 c 12 c 1m c 21 c 22 c 2m c n1 c n2 c nm ) (1) donde en la igualdad marcada con * se usó la propiedad asociativa para números reales en cada una de las entradas de la matriz La misma demostración con la notación abreviada [x ij n m (o aun simplemente [x ij, omitiendo el tamaño n m) para cada una de las matrices A, B y C resulta A (B C) ([a ij [b ij ) [c ij [a ij b ij [c ij [(a ij b ij ) c ij [a ij (b ij c ij ) [a ij [b ij c ij A (B C) (2) Es claro que la notación abreviada es mucho más económica y de hecho expresa lo mismo que la notación ampliada pues muestra lo que ocurre en una posición genérica (i, j) 3

4 La propiedad 2 es la propiedad conmutativa de la suma de matrices y puede probarse así A B [a ij [b ij [a ij b ij [b ij a ij [b ij [b ij B A, donde en la igualdad marcada con * se usó la propiedad conmutativa de la suma de números reales (propiedad que es conocida a b b a si a, b R) en cada una de las entradas de la matriz Una demostración de la propiedad 3 es la que se da a continuación En ella se utiliza, en la igualdad marcada con *, la propiedad asociativa del producto de números reales a(bc) a(bc), si a, b, c R α(βa) α[βa ij [α(βa ij ) [(αβ)a ij (αβ)[a ij (αβ)a Las propiedades 4 y 5 son propiedades distributivas y son análogas a la propiedad distributiva de los números reales, a saber (a b)c ac bc y a(b c) ab ac, si a, b, c R En los ejercicios siguentes se deja a cargo del lector completar la demostración de la propiedad 4 Se prueba aquí la propiedad 5 α(a B) α([a ij [b ij ) α[a ij b ij [α(a ij b ij ) [αa ij αb ij [αa ij [αb ij α[a ij α[b ij αa αb Finalmente la propiedad 6 consiste en algunas identidades especiales de las cuales solo se probará la segunda Se denota aquí con O la matriz que tiene todas las entradas iguales [ a 0, es decir O [0 n m Se tiene 0A 0[a ij [0a ij [0 n m O Ejer [1 Probar las restantes identidades de la propiedad 6 [2 Escribir las demostraciones dadas de las propiedades 2 y 3 con la notación ampliada [3 Completar la siguiente demostración de la propiedad 4 (αβ)a (αβ)[a ij [(αβ)a ij Matriz opuesta, resta de matrices Si A es una matriz cualquiera, se llama opuesta de A a la matriz ( 1)A Por lo tanto la matriz opuesta de A se obtiene cambiando el signo de todas las entradas de A, de aquí que, para abreviar, se escribe A en lugar de ( 1)A Es claro que A ( A) O (matriz nula) La resta A B de dos matrices de igual tamaño tiene el significado de sumar a A la opuesta de B; en símbolos A B A ( B) En otras palabras, para efectuar A B se resta a cada una de las entradas de A la correspondiente entrada de B en la misma posición A B [a ij [b ij [a ij b ij Es fácil convencerse que las propiedades distributivas 4 y 5 del apartado anterior siguen valiendo para la resta (de matrices o de números), es decir, se tiene (α β)a αa βa y α(a B) αa αb La combinación de las diferentes propiedades distributivas permite distribuir expresiones más complejas, como por ejemplo (α β)(a B) α(a B) β(a B) αa αb βa βb y 4 (3)

5 (α β)(a B) α(a B) β(a B) αa αb βa βb Combinaciones lineales de matrices Las expresiones del tipo αa, αa βb, αa βb γc, αa βb γc δd, etc formadas uno o varios sumandos que consisten en el producto de un número por una matriz, se llaman combinaciones lineales de las matrices en juego, y los números que multiplican se llaman coeficientes de la combinación lineal Por ejemplo, 3A5B 2C D es una combinación lineal de las matrices A, B, C y D con coeficientes 3, 5, -2 y 1, respectivamente Gracias a la propiedad asociativa de la suma de matrices, es posible escribir una combinación lineal, como por ejemplo αa βb γc δd, sin el uso de paréntesis que indiquen cuáles sumas se realizarán primero y cuales después, ya que cualquier distribución de paréntesis dará el mismo resultado y por lo tanto puede omitirse Por ejemplo, para la combinación lineal considerada se tiene ( ) ( ((αa ) ) ( (αa ) ) (αa βb) (γc δd) βb) γc δd (βb γc) δd ( αa ( (βb γc) δd )) ( αa ( βb (γc δd) )) Asimismo, la propiedad conmutativa permite reordenar los sumandos de una combinación lineal sin alterar el resultado Por ejemplo αa βb γc βb αa γc βb γc αa γc βb αa Ejer [1 Simplificar ( 2)(3A), ( 3)( 2A), ( 4A2B), 4(A 2B) 3A, (A 2B) 2(B A) [2 Distribuir (α β)(a B),(α β)(a B), (2α β)(a 2B C) [3 Calcular 3(2C A) 2( 2B 3C A), sabiendo que A [ [ y B Ecuaciones matriciales lineales Una ecuación matricial es una igualdad entre expresiones que son matrices Lo que aquí se pretende dar los rudimentos para manipular cierto tipo de ecuaciones matriciales transformándolas sucesivamente en ecuaciones matriciales más simples, con el fin, por ejemplo, de despejar una matriz incógnita Considérese por ejemplo el problema de hallar una matriz A de tamaño 2 3 sabiendo que verifica la ecuación 5A B 3A 3B 4C, con B [ y C [ En primer lugar se restará B a ambos lados de la igualdad Si A es una matriz que hace que ambos miembros de la ecuación sean iguales, entonces al restar B se mantendrá la igualdad Se obtiene entonces 5A B 3A 3B 4C 5A B B 3A 3B 4C B 5

6 Mirando en primer lugar el miembro izquierdo, se opera B B O y luego 5A O 5A por lo que se llega a 5A 3A 3B 4C B El efecto neto obtenido a partir de la ecuación original es que la matriz B que estaba sumando del lado izquierdo pasa restando al lado derecho De igual forma, si hubiera estado restando puede pasarse sumando al otro miembro Esta es una propiedad general que es de utilidad para manipular las ecuaciones matriciales Si X, Y y Z son matrices (o expresiones matriciales) X Z Y X Y Z Continuando con el ejempo, ahora se opera 3B B 2B del lado derecho de la última ecuación obtenida y a continuación se pasa restando 3A del miembro derecho al izquierdo 5A 3A 2B 4C 5A 3A 2B 4C 2A 2B 4C En este punto multiplicamos ambos miembros de la igualdad por 1/2 (es decir se divide entre 2) Si ambos miembros de la última ecuación eran iguales también lo serán luego de multiplicarlos por un mismo numero De esta forma se obtiene 2A 2B 4C 12A 1(2B 4C) A 1 (2B 4C), donde en el último paso se operó 1 2A 1A A en el miembro izquierdo De nuevo se 2 obltiene un efecto neto conocido de las ecuaciones ordinarias con números reales A saber el 2 que estaba multiplicando en el miembro izquierdo pasó dividiendo (multiplicación por 1/2) al otro miembro Esta también es una propiedad general Si X e Y son matrices (o expresiones matriciales) y α R, α 0 αx Y X 1 α Y Para finalizar con el ejemplo, se opera 1 (2B 4C) B 2C en el miembro derecho 2 de la última ecuación y luego se sustituyen los valores de B y C lo que arroja el valor buscado de A A B 2C [ [ [