UTILIZACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL EN EL CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN
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1 Scenta et Technca Año XV, No 43, Dcembre de Unversdad Tecnológca de Perera ISSN UTILIZACIÓN DEL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL EN EL CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN Use of the central lmt theorem n the calculaton of the measurement uncertanty RESUMEN Una consecuenca práctca del teorema del límte central en el cálculo de la ncertdumbre de medcón es que cuando la ncertdumbre combnada de un resultado de medcón no está domnada por una de las componentes de ncertdumbre estándar no normal de las magntudes de entrada, una buena aproxmacón para calcular la ncertdumbre expandda U p = k p U C (y) que defne un ntervalo de confanza con un nvel de confanza p, es asgnar a k p el valor que le corresponde asumendo una dstrbucón normal. Para el caso contraro, es decr cuando la ncertdumbre combnada s está domnada por una de las componentes de ncertdumbre estándar no normales de las magntudes de entrada no exsten crteros claros. Se presentan en este trabajo por medo de aplcacones los dos casos junto con una explcacón detallada de lo que ocurre y de los crteros utlzados para obtener la ncertdumbre expandda en cada caso. El análss de estos aspectos forma parte del trabajo que el grupo de electrofsología del Departamento de físca de la Unversdad Tecnológca de Perera vene realzando en su línea de nvestgacón en metrología, en la cual ha desarrollado varos proyectos de nvestgacón. LUIS ENRIQUE LLAMOSA R Profesor Ttular Facultad de cencas báscas Drector Grupo de Electrofsología U. Tecnológca de Perera lellamo@utp.edu.co JOSÉ DEL C. GÓMEZ E. Profesor ttular Facultad de cencas báscas U. Tecnológca de Perera jogomeze@utp.edu.co PALABRAS CLAVES: Incertdumbre, medcón, metrología, límte central. ABSTRACT A practcal consequence of the Theorem of the central lmt n the calculaton of the measurement uncertanty s that when the combned uncertanty of a measurement result s not domnated by one of the components of standard not normal uncertanty of the nlet magntudes, a good approxmaton for the calculaton of expanded uncertanty U p = k p U C (y) that defnes a confdence nterval wth a confdence level p, s to assgn to k p the value whch corresponds to t, assumng a normal dstrbuton. In the opposte case, that s when the combned uncertanty s domnated by one of the components of non-normal standard uncertanty of the nlet magntudes, there are not clear crtera. Both cases, together wth a detaled explanaton of what happens and of the crtera used to get the expanded uncertanty n each case, are presented n ths work. The analyss of these aspects makes part of the work that the group of electro-physology of the Physcs Department of the Unversdad Tecnológca de Perera s carryng out wthn the research lne n metrology, whch has developed several research projects. KEYWORDS: Uncertanty, measurement, metrología, central lmt. 1. Introduccón De acuerdo al vocabularo nternaconal de metrología (VIM) [1] ncertdumbre de medcón es el Parámetro asocado al resultado de una medcón que caracterza la dspersón de los valores que podrían razonablemente ser atrbudos al mensurando ; y se puede afrmar que se estma a partr de parámetros de dspersón. Exsten dferentes causas por la cuales una medda no puede ser perfecta (ver fg. 1). Por medo de un dagrama de flujo se presenta nuestra versón de la metodología general para estmar la ncertdumbre de medcón. Esta metodología está basada en la GUM (Gude to the expresón of Uncertanty n Measurement) [2] guía de carácter nternaconal que tene el propósto de unfcar crteros para la estmacón de la ncertdumbre de medcón (fguras 2, 3, 4). Se pretende con esta ntroduccón ubcar al lector dentro del contexto que se requere para un mejor entendmento del tema que nos ocupa: La utlzacón del teorema del límte central en el cálculo de la ncertdumbre de medcón. Fecha de Recepcón: 15 de Septembre de Fecha de Aceptacón: 12 de Octubre de 2009
2 289 Scenta et Technca Año XV, No 43, Dcembre de Unversdad Tecnológca de Perera Fg. 1. Causas de la ncertdumbre en la medda. Fg. 3. Segunda seccón del método. Fg. 2. Seccón del dagrama de flujo que especfca la metodología a segur. Fg. 4. Tercera seccón del método (ncertdumbre expandda).
3 Scenta et Technca Año XV, No 43, Dcembre de Unversdad Tecnológca de Perera El teorema del Límte Central En la práctca, la mayoría de los expermentos de medcón tenen característcas que los aproxman fáclmente a una condcón de normaldad. De acuerdo al Teorema del Límte Central, para que la dstrbucón de probabldad de un resultado de medcón tenda al modelo normal se requere: a) Que la relacón funconal f que defne al mensurando Y sea una funcón lneal de otras magntudes; b) Que la dstrbucón de probabldad de las magntudes que defnen al mensurando Y sea del tpo normal. c) Tambén se puede aceptar que la dstrbucón de probabldad de algunas magntudes de defncón sea rectangular sólo s éstas últmas son en número menor que las del tpo normal, y s la desvacón estándar expermental del proceso de medcón se estma a partr de un conjunto grande de observacones. Sn embargo, aún cuando la dstrbucón de probabldad de las magntudes de defncón no sea normal, el Teorema del Límte Central permte aproxmar la dstrbucón de probabldad del mensurando Y por una dstrbucón normal. S una varable Y se puede expresar como Y = ς X, y toda funcón X se puede caracterzar medante una dstrbucón de probabldad normal, entonces Y estará tambén caracterzada por una dstrbucón normal. Ahora, cuando algunas de las X no se pueden caracterzar medante una dstrbucón normal, la funcón Y podrá ser tambén caracterzada por una dstrbucón aproxmadamente normal en vrtud del Teorema del Límte Central: La dstrbucón de Y es aproxmadamente normal con un valor esperado ε Y ς ε Y ς 2 σ 2 X donde ( ) = ( X ) y varanza ( ) = ( ) ε(x ) y σ 2 (X ) son el valor esperado de X y su varanza respectvamente, sempre y cuando los X sean ndependentes y σ 2 (Y) sea mucho mayor que cualquer componente ς 2 σ 2 ( X ) de una funcón X no caracterzada por una dstrbucón normal. [3] La mportanca de este teorema radca en que es el soporte de la combnacón de dferentes magntudes de entrada caracterzadas con dstntas dstrbucones de probabldad (ver fgura 5 y fgura 6) para conformar la funcón de la magntud (Y) de nterés, caracterzada por una dstrbucón aproxmadamente normal, y poder obtener así, su ncertdumbre estándar compuesta junto con su número efectvo de grados de lbertad (ν ef ). De este teorema se puede deducr que la dstrbucón de probabldad de la varable Y estará más próxma a una dstrbucón normal cuanto mayor sea el número de componentes X y cuanto más cercanos sean entre sí los valores de los ς 2 σ 2 ( X ). Por otro lado, se necestarán menos funcones X cuanto más próxmas de la normal sean sus respectvas dstrbucones. 2.1 Crtero para la aplcacón del Teorema del Límte Central 1. S la medcón se encuentra en una stuacón tal que una de las contrbucones de ncertdumbre presupuestadas puede dentfcarse como un térmno domnante, por ejemplo el térmno con subíndce 1 de la ecuacón 1, la ncertdumbre estándar combnada asocada al resultado de la medcón y puede escrbrse como: 2 2 ( y) u ( y) u ( y) uc = 1 + R (1) Se tene: u R N ( y) = u ( y) = 2 2 (2) Fg. 5. Medcones en el mundo real. Fg. 6. Dstrbucones frecuentes. Que denota la contrbucón total de ncertdumbre de los térmnos no domnantes. Cuando la relacón entre la contrbucón total de ncertdumbre u R (y) de los térmnos no domnantes y la contrbucón de ncertdumbre u 1 (y) 1 Este crtero es extraído del documento de aplcacón para laboratoros EA 4/02 (rev00): Expressons of the Uncertanty of Measurements n Calbraton [4], publcado por la Cooperacón Europea para la Acredtacón (European co-operaton for Accredtaton, EA).
4 291 Scenta et Technca Año XV, No 43, Dcembre de Unversdad Tecnológca de Perera del térmno domnante es menor que 0,3, la ecuacón 1 puede aproxmarse como: 2 1 u ( ) ( ) ( ) ( ) R y + (3) uc y u1 y 1 2 u1 y El error relatvo de aproxmacón es menor que 1x10-3. El máxmo cambo relatvo en la ncertdumbre estándar combnada resultante desde el factor dentro de los paréntess en la ecuacón 3 no es mayor al 5%. Este valor está dentro de la toleranca aceptada para el redondeo matemátco de valores de ncertdumbre. Bajo estas suposcones la dstrbucón de valores que podrían ser atrbudos razonablemente al mensurando es esencalmente déntca a la dstrbucón resultante a partr de la contrbucón domnante conocda. De esta densdad de dstrbucón φ(y), el nvel de confanza p puede estar determnado por cualquer valor de la ncertdumbre expandda U por la relacón ntegral: p y+ U ( U ) = ( y' ) y U ϕ dy' (4) Invrtendo esta relacón para un nvel de confanza dado, resulta en la relacón entre la ncertdumbre de medcón expandda y el nvel de confanza U = U(p) para la densdad de dstrbucón dada φ(y). Usando esta relacón, el factor de cobertura puede expresarse fnalmente como: U ( ) ( p) k p = (5) uc ( y) Evaluacón de la ncertdumbre expandda en el caso en que el resultado de la medcón tende a ser una dstrbucón rectangular [4]: Por ejemplo, en el caso de un voltímetro en el que la contrbucón de ncertdumbre domnante que resulta desde la resolucón fnta de la ndcacón sea u δvx (E X ) = 0,029 V mentras que la contrbucón total de ncertdumbre de los térmnos no domnantes sea u R (E X ) = 0,0064 V; se tene de forma pertnente la relacón u R (E X )/u δvx (E X ) = 0,22. De esta manera la dstrbucón resultante de valores que pueden atrburse razonablemente como errores de ndcacón, es esencalmente rectangular. El nvel de confanza para una dstrbucón rectangular está relaconado lnealmente con la ncertdumbre expandda de la medcón (sendo a/2 el sem-ancho de la dstrbucón rectangular), así: U p = (6) a / 2 Resolvendo esta relacón para la ncertdumbre expandda de medcón U e nsertando el resultado junto con la expresón de la ncertdumbre estándar de medcón relaconada con la dstrbucón rectangular dada por la Ecuacón 2.11, fnalmente se tene la relacón: k ( p) = p 3 (7) Por ejemplo, para un nvel de confanza p = 95%, de este modo el factor de cobertura pertnente sería k = 1,65. Evaluacón de la ncertdumbre expandda en el caso en que el resultado de la medcón tende a ser una dstrbucón normal [4]: En este caso de manera rgurosa la ncertdumbre expandda se calcula de acuerdo a la ecuacón 8 como: U = u t v (8) c p ( ) ef Donde t p (v ef ) es el factor dervado de la dstrbucón t de Student a un nvel de confanza p y ν ef grados de lbertad y que puede obtenerse de la tabla de dstrbucón t de student. Para obtener una mejor aproxmacón en la defncón de los ntervalos de confanza en lugar de emplearse la dstrbucón normal se requere emplear la dstrbucón de Student y el factor de cobertura k p entonces se determna a partr del coefcente t de Student evaluado en el número de grados de lbertad efectvos del estmado de salda, o sea, k p = t(v ef ). Lo anteror es una consecuenca de que para la ncertdumbre estándar combnada u c (y) la medda de la ncertdumbre es el número de grados de lbertad efectvos (V ef ) del estmado de salda y que en buena aproxmacón se obtene combnando los grados de lbertad de los estmados x de las X magntudes de entrada. Esa combnacón se obtene a través de la llamada fórmula de Welch-Satterthwate que tene la forma sguente [5]: = 1 4 C 4 4 u U (y) ν ef = (9) n c (x ) ν Cuando los valores de una magntud de entrada sguen una dstrbucón normal, la medda de la ncertdumbre de la ncertdumbre estándar estmada empleando métodos estadístcos (evaluacón Tpo A) es el número de grados de lbertad del estmado v = n - m, donde n es el número de observacones y m la cantdad de magntudes que se determnan. Cuando se determna una sola magntud de salda v = n 1. Los grados de lbertad asocados a una ncertdumbre Tpo B son mucho más dfícles de estmar. En la GUM se propone un método de estmacón para los casos generales de evaluacón Tpo B que se basa en el empleo de la expresón sguente: ν 1 u(x ) 2 u(x ) 2 (10) La magntud entre corchetes es una medda de la ncertdumbre de u(x ) cuyo valor se puede obtener a partr de la experenca o el conocmento que se tenga del procedmento de medcón. No obstante, cuando se establecen fronteras que es un caso típco en la actvdad de calbracón, los límtes se elgen de modo tal que la probabldad de que los valores de la magntud puedan ser encontrados fuera de ellos es extremadamente pequeña, y en ese caso los grados de lbertad pueden consderarse nfntos.
5 Scenta et Technca Año XV, No 43, Dcembre de Unversdad Tecnológca de Perera Aplcacones 3.1 Aplcacón 1: En la calbracón del punto de 50,000 V de un multímetro dgtal se obtuveron los sguentes datos: Tabla No 1 Valores obtendos en la calbracón de un multímetro Dato # Valor (V) 50,000 49,999 49,998 50,000 49,998 49,999 Las especfcacones de los nstrumentos son las sguentes: Exacttud nstrumento bajo prueba: ± (0,03% lectura + 3 dígtos) Resolucón nstrumento bajo prueba: 0,001 V Especfcacones del patrón: ± (18 ppm salda µv) Cálculo de la ncertdumbre expandda: Valor medo de los datos es: 49,999 V Desvacón estándar: 8,944E-04 V Resultados (tabla 2): Tabla No 2 Resultados obtendos TIPO DE INCERTIDUMBRE VALOR Repetbldad (TIPO A) 3,651E-04 Resolucón (UB2) 2,887E-04 Especfcacones patrón (UB1) 6,062E-04 Incertdumbre combnada 7,643E-04 Incertdumbre expandda 1,536E-03 Grados efectvos 95,98 U C-D /U D 0,768 Incertdumbre combnada: De acuerdo a lo anteror la ncertdumbre expandda se calcularía de la manera sguente: Hallar los grados efectvos de lbertad: Grados efectvos = 95,98 Hallar el k para un factor de cobertura del 95%: Nota: De acuerdo al tpo de dstrbucón de Uc el factor k se extrae de la Tabla t-student k = 2,01 Calcular la Incertdumbre expandda Ue = 2,01 x 7,643 mv Ue = 1,536 mv 3.2 Aplcacón 2: En la calbracón del punto de 50,00 V de un multímetro dgtal se obtuveron los sguentes datos (ver tabla 3): Tabla No 3 Valores obtendos en la calbracón del punto 50,00 V de un multímetro dgtal. Dato # Medda (V) 49,99 49,99 49,99 49,99 49,99 49,99 Las especfcacones de los nstrumentos son las sguentes: Exacttud nstrumento bajo prueba: ± (0,03% lectura + 3 dígtos) Resolucón nstrumento bajo prueba: 0,01 V Especfcacones del patrón: ± (18 ppm salda µv) Cálculo de la ncertdumbre expandda: Valor medo de los datos es: 49,99 V Desvacón estándar: 0,000E+00 V Resultados (tabla 4): Tabla No 4 Resultados obtendos TIPO DE INCERTIDUMBRE VALOR Repetbldad (TIPO A) 0,000E+00 Resolucón (UB2) 2,887E-03 Especfcacones patrón (UB1) 6,062E-04 ncertdumbre combnada 2,950E-03 ncertdumbre expandda 4,867E-03 U C-D /U D 0,210 Incertdumbre combnada: Fg. 7. Aportes de ncertdumbre.
6 293 Scenta et Technca Año XV, No 43, Dcembre de Unversdad Tecnológca de Perera herramentas necesaras para una mejor utlzacón del teorema del límte central en el cálculo de la ncertdumbre de medcón, el cual en la mayoría de los casos es utlzado de una manera arbtrara que supone equvocadamente que se puede generalzar a todas las stuacones de medda Referencas Fg. 8. Aportes de ncertdumbre. Como se observa la relacón do menor que 0,3 lo que ratfca como es lógco que el tpo de dstrbucón de la ncertdumbre combnada es rectangular. Tenendo en cuenta esto se calcula entonces la ncertdumbre expandda de la sguente manera: [1] Internatonal Vocabulary of Fundamental and General Terms n Metrology, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (1993). [2] JOINT COMMITTEE FOR GUIDES IN METROLOGY (Franca). Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement (GUM) [Archvo PDF en línea]. Sèvres: JCGM, p. Dsponble en Internet: (URL: GM_100_2008_E.pdf). [3] CHAPARRO O., Gustavo. Error e Incertdumbre en las Medcones. Bogotá D.C.: Superntendenca de Industra y Comerco Dvsón de Metrología, p. [4] EUROPEAN CO-OPERATION FOR ACCREDITATION (Franca). EA 4/02: Expresson of the Uncertanty of Measurement n Calbraton [Archvo PDF en línea]. París: EA, p. Dsponble en Internet: (URL: [5] LLAMOSA RINCÓN, Et al. Aspectos Metrológcos Fundamentales para la Acredtacón de un Laboratoro de Patronamento Eléctrco. Perera: Postergraph S.A., p. Ue = 1,65 x 2,950 mv Ue = 4,867 mv Análss (tabla 5): Tabla No 5. Análss de resultados Asumendo Como dstrbucón normal Con Teorema Lmte Central Grados efectvos de -- lbertad Uc 2,950 mv 2,950 mv K 1,96 1,65 Ue 5,781 mv 4,867 mv 4. Conclusones Se presentó en este trabajo medante un análss profundo que ncluye algunas aplcacones práctcas, toda una metodología que permte al expermentalsta tener las
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