2. Distribuciones de Muestreo

Transcripción

1 2. Distribuciones de Muestreo Conceptos básicos Para introducir los conceptos básicos consideremos el siguiente ejemplo: Supongamos que estamos interesados en determinar el número medio de televisores por hogar en la ciudad de Caracas. Para ello consideraremos primeramente: Población: Conjunto de personas u objetos de interés en una Investigación. Ej: Todos los hogares de la ciudad de Caracas Muestra Es una porción representativa de elementos de una población, elegida para su eamen o medición directa. Note que generalmente es costoso el análisis de todos los datos, así que se hace necesario realizar las mediciones de interés sólo en una porción representativa de la población e inferir de ella resultados que corresponden a la población entera. Ej: Medir la cantidad de televisores en un grupo de hogares de varias localidades, municipios de la ciudad de Caracas, escogidos aleatoriamente de manera conveniente. Parámetro Es cualquier característica de una población, como la media de la población, la desviación de la población, etc. Ej: Número promedio de televisores por hogar en toda la ciudad de Caracas. Estadístico Es cualquier característica de una muestra, como la media de la muestra, la desviación de la muestra, etc. Ej: Número promedio de televisores calculado sólo a partir de los hogares que fueron seleccionados en la muestra. Muestreo Proceso de selección de muestras, se utiliza cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población objeto de estudio. Tipos de Muestreo Eisten dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones: a) Muestreo no aleatorio o de juicio: Se emplea el conocimiento y la opinión personal para identificar aquellos elementos de la población que deben incluirse en la muestra.

2 b) Muestreo aleatorio o de probabilidad: En el cual todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos para la muestra. Dentro de este tipo de muestreo se encuentran: b.1) Muestreo aleatorio simple: el cual es un método de selección de muestras que permite que cada muestra posible pueda ser elegida con la misma probabilidad. Por su parte cada elemento de la población tiene la misma oportunidad igual de ser incluido en la muestra. b.2) Muestreo sistemático: método en el cual los elementos que se muestrearán se seleccionan de la población en un intervalo uniforme que se mide con respecto al tiempo, al orden o al espacio. b.3) Muestreo estratificado: método en el que la población se divide en grupos homogéneos, o estratos, y después se toma una muestra aleatoria simple de cada estrato. Aquí la variabilidad dentro de cada grupo es pequeña y entre los grupos es grande. b.4) Muestreo de racimo: método en el que la población se divide en grupos o racimos de elementos, y luego se selecciona una muestra aleatoria de estos racimos. La variabilidad dentro de cada grupo es grande y entre los grupos es pequeña; es como si cada racimo fuese un pequeña representación de la población en si mima. El seleccionar uno u otro tipo de muestreo depende del problema en cuestión. Analicemos nuestro ejemplo. Imagine que decidiéramos seleccionar una muestra simple aleatoria para nuestro propósito, ésto significaría que podría darse el caso que la mayoría de las familias seleccionadas para formar parte de la muestra fueran de un sitio de clase alta donde quizás las casas tienen múltiples habitaciones y cada una de ellas con un televisor, de manera que podríamos concluir que el promedio de televisores por familia es mucho mayor que el que realmente es en promedio por vivienda en una familia venezolana. En este ejemplo, quizás fuese más conveniente construir algunos estratos, que representen las diferentes zonas de Caracas, y de cada uno de ellos escoger de manera aleatoria un grupo de familia para realizar el estudio. Error Muestral Es la diferencia entre el parámetro de la población y el estadístico de la muestra utilizado para estimar el parámetro. Distribución muestral Es una lista de todos los valores posibles de un estadístico y la probabilidad asociada a cada valor. Se considerarán la distribución muestral de medias y la de proporciones.

3 Distribución muestral de medias 1. Definición: es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles de muestras de un tamaño dado, n, de una población.

4 2. Media de las medias muestrales: es el promedio de todos los valores posibles de las medias que se pueden generar mediante las diversas muestras aleatorias simples. Se puede demostrar que el valor esperado de las medias muestrales es igual a la media poblacional; es decir, E () én se tiene que en donde k es el número de muestras. k 3. Error estándar de la media: es la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media, por lo que mide el grado en que se espera que varíen las medias de las diferentes muestras de la media de la población, debido al error aleatorio en el proceso de muestreo. Al disminuir el error estándar, el valor de cualquier media de muestra probablemente se acercará al valor de la media de la población. (efecto del tamaño de la muestra sobre el error típico, es decir, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, se incrementa la precisión con la que se puede usar la media de muestra para estimar la media de la población, sin embargo, rara vez vale la pena tomar muestras ecesivamente grandes ya que el error estándar de la media varía inversamente con n, por lo que hay una utilidad decreciente en el muestreo). Usos: indica el tamaño del error de azar que se ha cometido, y además señala la probable precisión que obtendremos si utilizamos una estadística de muestra para estimar un parámetro de población. La distribución muestral de medias tiene un error estándar igual a: Para población infinita con n>30, muestreo con reemplazo o población normal :! Para población finita o muestreo sin reemplazo con n 0, 05 : N N - n n N -1 ón estándar de la población y n el tamaño de la N - n muestra. Al factor se le denomina factor de corrección N Teorema del límite central: es un teorema a través del cual se asegura que la distribución de muestreo de la media se aproima a la normal, al incrementarse el tamaño de la muestra. Este teorema permite usar estadística de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de la población, sin saber nada sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de la muestra. Para efectos prácticos el tamaño de la muestra debe ser n "$#% Nota: si la distribución de la población es bastante simétrica, la distribución muestral de la media se aproima a la normal si se seleccionan muestras pequeñas. n

5 Aplicaciones: Una aplicación muy corriente y útil de la distribución muestral es determinar la probabilidad de que la media de una muestra caiga dentro de un intervalo determinado. Puesto que la distribución muestral seguirá una distribución normal (ya sea porque la muestra se toma de una distribución normal, o porque n " #% teorema del límite central garantice la normalidad en el proceso de muestreo), se podrá utilizar la variable tipificada para obtener la información necesaria en la toma de decisiones. z Ejemplo 2.1: El precio medio de ventas de casa nuevas en una ciudad americana es de $ con una desviación típica de $ Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad. a) Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor de $ ? X: Precios de venta de las casas. Dado que el tamaño de muestra n100 > 30 podemos utilizar el Teorema Central del Límite, así que tenemos que: µ µ n P( X < ) P Z < Φ( 2) b) Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre a menos de $500 de la media poblacional? ( X < 500 ) P( < X < ) P( 2 < Z < 2) P µ Ejemplo 2.2 Se ha tomado una muestra de 16 directores de 100 oficinas de una ciudad con el fin de estimar el tiempo medio diario que emplean en desplazarse hasta su trabajo. Si la media de los tiempos es de 87 minutos y la desviación típica de 20 minutos, calcule la probabilidad de que la media muestral sea menor de 100 minutos. Como la población es finita y la muestra es sin reemplazo, debemos verificar si es o no necesario el empleo del factor de corrección para calcular el error muestral.

6 n Tenemos que: N 100, n 16, 0.16 > 0. 05, por lo que es necesario el Factor de N Corrección. Entonces: µ 87 P ( X < 100 ) P Z < Φ(2.82) Ejemplo 2.3: Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las corporaciones medianas se distribuye normal con una media de 12.2% y una desviación típica de 3.6%. Si se toma una muestra aleatoria de nueve observaciones de esta población, calcule la probabilidad de que el incremento medio muestral porcentual sea menor del 10%. Como la distribución de la población es normal, tenemos que los parámetros de la distribución muestral de la media son: µ 12.2 P ( X < 10) P Z < Φ( 1.83) Es realmente muy poco probable que el incremento medio porcentual esté por debajo del 10%. Distribución muestral de proporción 1. Definición: es la distribución de probabilidad de todos los valores posibles de la proporción muestral ( pˆ ). 2. Media de las proporciones muestrales: es la media de todos los valores posibles de las proporciones que se pueden generar mediante las diversas muestras aleatorias simples. Se puede demostrar que la media de las proporciones muestrales p será igual a ón de la población). El valor esperado de las proporciones muestrales es igual a la proporción poblacional; es decir, E ( pˆ) p. 3. Error estándar de la proporción: es la desviación estándar de la distribución de muestreo de la proporción, por lo que mide el grado en que se espera que varíen las proporciones de las diferentes muestras de la proporción de la población, debido al error aleatorio en el proceso de muestreo.

7 La distribución de muestreo tiene un error estándar igual a: Para población infinita con n>30 o muestreo con reemplazo: p p(1 p) n n Para población finita y muestreo sin reemplazo con > 0, 05 N p(1 p) N - n pˆ n N -1 ón en la población y n el tamaño de la muestra. En ambos caso 4. Teorema del límite central: es un teorema a través del cual se asegura que la distribución muestral de la proporción se aproima a la distribución normal, al incrementarse el tamaño de la muestra. Este teorema permite usar estadística de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de la población, sin saber nada sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa población más que lo que podamos obtener de la muestra. Para efectos prácticos el tamaño de la muestra debe ser n!#" %$ & ' )(* n(1-p) deben ser mayores a Aplicaciones: una aplicación muy corriente y útil de distribución muestral es determinar la probabilidad de que la proporción de una muestra caiga dentro de un intervalo determinado. Puesto que la distribución muestral seguirá una distribución normal (ya sea porque la muestra se toma de una distribución normal, o porque n + -,-. /" :$;; < nˆ p como n( 1 pˆ ) deben ser mayores a 5, (el teorema del límite central garantiza la normalidad en el proceso de muestreo), se podrá utilizar la variable tipificada para obtener la información necesaria en la toma de decisiones. pˆ p z Observación: En la terminología estadística, la distribución de muestreo que se obtendría al tomar todas las muestras de un tamaño dado constituye una distribución teórica de muestreo. En la práctica, el tamaño y el carácter de la mayor parte de las poblaciones impiden que los responsables de las decisiones tomen todas las muestras posibles de una distribución de población, sin embargo, se han desarrollado fórmulas para estimar las características de estas distribuciones teóricas de muestreo, haciendo innecesario que se recolecten grandes números de muestras. En casi todos los casos, los responsables de las decisiones sólo toman una muestra de la población, calculan estadísticas para esa muestra y de esas estadísticas infieren algo sobre los parámetros de toda la población. Ejemplo 2.4 Se toma una muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos para estimar la proporción de casas de este tipo. Supongamos que el 30% de todos los edificios son pˆ

8 antiguos. Hallar la probabilidad de que la proporción de edificios antiguos esté entre 0.25 y Tenemos que p 0.3 y n 250, note que aquí la población es infinita. Así que p(1 p) 0.3* 0.7 p y con ello: n pˆ P (0.25 < pˆ < 0.35) P < < Φ ( 1.72) Φ( 1.72) Es muy probable que la probabilidad de que la proporción de edificios antiguos esté en ese intervalo. Ejemplo 2.5: Se ha estimado que el 43% de los licenciados en economía consideran que es muy importante que se imparta un curso de ética en economía. De una población de 800 estudiantes se tomó una muestra de 80. Calcular la probabilidad de que más de la mitad de ellos opinen de ese modo. En este necesitamos el factor de corrección dado que: n > 0.05 por lo que obtenemos : N 800 p 0.43* La probabilidad que se nos pide es: ˆ P ( p > 0.5) P Z > P( Z > 1.33) 1 Φ(1.33) Por tanto es pequeña la probabilidad de que más de la mitad de los estudiantes consideren necesario que se imparta ética en la licenciatura de economía.