CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. DETERMINADO Tiene una única solución. COMPATIBLE Tiene solución
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- Teresa Ramos Salas
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1 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DETERMINADO Tiene una única solución SISTEMA COMPATIBLE Tiene solución INCOMPATIBLE No tiene solución INDETERMINADO Tiene infinitas soluciones I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 1
2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ax 1 + By 1 = C1 Ax 2 + By 2 = C2 DETERMINADO Tiene una única solución A A B B SISTEMA COMPATIBLE Tiene solución INDETERMINADO Tiene infinitas soluciones = = INCOMPATIBLE No tiene solución = I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 2
3 EJEMPLOS Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas: 1) 3x 2y= 5 2x+ 5y= 16 2) 3x 6y= 9 5x+ 10y= 15 3) 9x+ 6y= 6 3x+ 2y= 4 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 3
4 EJEMPLO 1 Resuelve por el método de reducción el sistema: 3 x 2 y= 5 2x+ 5y= 16 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 4
5 EJEMPLO 1 Resuelve por el método de reducción el sistema: 3 x 2 y= 5 2x+ 5y= 16 Eliminemos y multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 3x 2y= x 10y = 25 2x+ 5y= x+ 10y = 32 19x = x = 19 x = 3 Sustituyendo en la 2ª tenemos y = y = y = 16 5y = y = 10 y = 2 Solución x = 3 y = 2 Como el sistema tiene solución es un sistema compatible, y como la solución es única es determinado, por lo tanto se trata de un SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO S.C.D. (Solución única) Observamos que los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 5
6 EJEMPLO 2 Resuelve por el método de reducción el sistema: 3x 6y= 9 5x+ 10y= 15 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 6
7 EJEMPLO 2 Resuelve por el método de reducción el sistema: 3x 6y= 9 5x+ 10y= 15 Eliminemos y multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por 3 3x 6y= x 5x+ 10y= x 30y = y = 45 0 = 0 Hemos eliminado y, pero también se nos ha eliminado la x y el término independiente. Esto nos indica que es un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO S.C.I. (Infinitas soluciones) Observamos que los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son proporcionales = = Las dos ecuaciones son equivalentes 3x 6y= 9 :3 x 2y= 3 5x+ 10y= 15 : ( 5) x 2y= 3 Realmente tenemos solo una ecuación x 2y= 3 Soluciones x y Infinitas soluciones I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 7
8 EJEMPLO 3 Resuelve por el método de reducción el sistema: 9 x+ 6 y= 6 3x+ 2y= 4 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 8
9 EJEMPLO 3 Resuelve por el método de reducción el sistema: 9 x+ 6 y= 6 3x+ 2y= 4 Eliminemos y multiplicando la segunda ecuación por 3 9x+ 6y= 6 9x 3x+ 2y= 4 ( 3) 9x Absurdo + 6y = 6 6y = 12 0 = 18 Se ha obtenido una igualdad que no es cierta. Hemos eliminado y, también se nos ha eliminado la x, pero no el término independiente. Esto nos indica que es un SISTEMA INCOMPATIBLE S.I. (No tiene solución) Observamos que los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero no lo son los términos independientes = I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 9
10 RECUERDA Ax 1 + By 1 = C1 Ax 2 + By 2 = C2 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (Solución única) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (Infinitas soluciones) SISTEMA INCOMPATIBLE (No tiene solución) S.C.D. S.C.I. S.I. A A B B = = = Un sistema es compatible determinado si los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales. Un sistema es compatible indeterminado si los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son proporcionales. Un sistema es incompatible si son proporcionales los coeficientes de las incógnitas, pero no lo son los términos independientes. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 10
11 EJEMPLO 4 Clasifica, sin resolverlos, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x y= 3 2x+ y= 1 2x+ 3y= 19 a) b) c) 3x+ 2y= 16 4x 2y= 2 x 4y= 18 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 11
12 EJEMPLO 4 Clasifica, sin resolverlos, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x y= 3 2x+ y= 1 2x+ 3y= 19 a) b) c) 3x+ 2y= 16 4x 2y= 2 4x+ 6y= 6 Comprobaremos si los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son proporcionales. a) x y= 3 3x+ 2y= S.C.D. Solución única 3 2 b) 2x+ y= 1 4x 2y= = = S.C.I. Infinitas soluciones c) 2x+ 3y= 19 4x+ 6y= = S.I. No tiene solución I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 12
13 EJERCICIO Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones 9x+ 15y= 12 x+ 2y= 8 1) 3) 6x+ 10y= 8 3x y= 3 x+ 3y= 9 2x+ 3y= 6 2) 4) x 2y= 5 4x+ 6y= 3 5) 6) 2x 3y= 15 6x+ 9y= 45 x 3y= 11 2x 6y= 21 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 13
14 SOLUCIONES 1) S.C.I. 3) S.C.D. 5) S.C.I. 2) S.C.D. 4) S.I. 6) S.I. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 14
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