4. Modelos Multivariantes
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- José Miguel Cruz Segura
- hace 7 años
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1 4. Curso Estadística Distribución conjunta de variables aleatorias
2 Definiciones (v. a. discretas) Distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X, Y Función de distribución conjunta: 3 Lanzamiento de dos dados /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 X Resultado de dado ROJO Y Resultado de dado AZUL Distribución conjunta de probabilidad P ( Xi, Yj ) 1/36, (i,j de 1 a 6) 4
3 Ejemplo S : SUMA DE DOS DADOS /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 D: DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 4 1/18 1/18 5 1/18 5 Distribuciones Marginales S : SUMA DE DOS DADOS /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 10/36 D: DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 8/36 DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 6/36 4 1/18 1/18 4/36 5 1/18 2/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 6
4 Distribuciones Marginales 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Distribuciones condicionadas S : SUMA DE DOS DADOS /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 1 1/18 1/18 1/18 1/18 1/18 10/36 D: DIFERENCIA 2 1/18 1/18 1/18 1/18 8/36 DE DOS DADOS 3 1/18 1/18 1/18 6/36 4 1/18 1/18 4/36 5 1/18 2/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 D S 8 0 1/ / /
5 Independencia Las variables aleatorias son independientes si y sólo si P(Xi, Yj) P( X i ) P( Y j ) /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 9 Variables aleatorias continuas 10
6 Variables aleatorias continuas Función de distribución Funciones de densidad marginales 11 Las variables aleatorias X, Y tienen como función de densidad conjunta < < < < < < < < 12
7 Independencia < < < < < < < < < < < < 13 Funciones de densidad condicionadas > > 14
8 Independencia -II < < < < < < < < < < < < < < 15 Independencia -III 16
9 17 Ejemplo > π π π 18 Ejemplo (cont.) π π
10 19 Independencia < < < < < < < < > π π π 20 Esperanza de g(x,y)
11 21 Propiedades de E[g(X,Y)] ( ) 22 Covarianza ( ) y donde y se define como : se denota por, La covarianza de dos variables aleatorias s son discretas : las v.a' Si
12 23 Propiedades de la covarianza ( ) ( ) ( ) 24 Medias y Matriz de Varianzas
13 Correlación ρ ρ ρ ρ ρρ 25 n variables aleatorias 26
14 Vector de variables aleatorias 27 Distribuciones marginales 28
15 29 Esperanza 30 Vector de Medias y Matriz de Varianzas
16 31 Independencia 32 Transformaciones Lineales ( )
17 33 Transformaciones Lineales Caso General 34 Transformaciones Lineales (Independencia) ( )
18 35 Ejemplo: 36 Ejemplo Se dispone de n sobres con sus correspondientes cartas. Se extraen las cartas de los sobres, se sortean y se vuelven a introducir de forma aleatoria cada una en un sobre. Cuál es el número esperado de cartas que coinciden con su sobre inicial?
19 37 Ejemplo Un proceso fabrica una proporción p de tornillos defectuosos. Se define X como la variable número de tornillos extraídos del proceso hasta que aparecen r defectuosos. Se pide E[X] y Var[X]. 1 i 1 X E[X variable aleatoria geométrica X X - ésimo defectuoso i extraídos hasta que aparece el Número de tornillos defectuoso 2º extraídos hasta que aparece el Número de tornillos defectuoso primer el aparece Número de tornillos extraídos hasta que 38 Media de n variables aleatorias independientes las variables tienen la misma media y varianza Si variables aleatorias independientes de Vector
20 Teorema Central del Límite < Φ Φ π < < 39 Teorema Central del Límite Sea variables aleatorias independientes, con la misma distribución de probabilidad de media y varianza 2 < Entonces(aprox.): 40
21 41 Binomial-Poisson-Normal λ λ λ λ λ 42
22 Aproximación Binomial-Normal n25, p1/ Aproximación Binomial-Normal n 50, p
23 Corrección por continuidad 45 Corrección por continuidad
24 47 Aplicación a Control de Recepción 48
25 Plan de muestreo simple por atributos Una compañía recibe lotes con un gran número de piezas. Según el contrato cada lote debe tener como máximo una proporción de piezas defectuosas igual p A (AQL). Un plan de muestreo simple por atributos consiste en determinar n: número de piezas muestreadas c: número máximo de piezas defectuosas en la muestra De forma que si X es el número de piezas defectuosas en la muestra se aplica la siguiente regla: x c se acepta el lote x > c se rechaza el lote 49 Riesgos del vendedor y comprador Riesgo del vendedor: Probabilidad de rechazar un lote bueno (con porcentaje de defectuosas igual al p A (AQL)) αp( X > c p p A ). Riesgo del comprador: Probabilidad de aceptar un lote malo (con un porcentaje de defectuosas p R >> p A ) β P( X c p p R ). 50
26 51 Planteamiento del problema α β 52 Ecuación del vendedor > > α α α α α
27 53 Ecuación del comprador β β β β β β 54 Valores de n y c β α α β α
28 α β 55 Ejemplo: plan de muestreo α α β β 56
29 57 Distribución normal multivariante R R π 58 Distribución normal bivariante R R ρ ρ ρ π ρ ρ ρ ρ ρ ρ π
30 rho rho rho rho rho rho
31 Propiedades Las dist. marginales son normales N( i, i ). Las dist. condicionadas son normales. ρ0 Las variables son independientes Transformaciones lineales: Y AX X es N(, M)Yes N(A, AMA T ) 61 Ejemplo Φ ( ) 62
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