Práctica 2: Estadística Descriptiva. 1. Descripción de datos univariantes. acumuladas de las modalidades. Tabla con todas las frecuencias

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1 Estadística con Práctica 2: Estadística Descriptiva 1. Descripción de datos univariantes En primer lugar hemos de insistir que la Estadística Descriptiva dispone de un abanico de procedimientos que deben ser usados según el objetivo que tengamos y la naturaleza de la variable que ha generado los datos de la muestra. Una clasicación sintética de estos procedimientos aparece en la siguiente tabla. Tipo de Procedimientos variable Tablas Grácos Estadísticos Cualitativa Tabla de Frecuencias absolutas y relativas NO acumuladas de las modalidades observadas Diagrama de sectores y pictogramas Cuantitativa discreta Cuantitativa continua Tabla con todas las frecuencias de valores agrupados en clases de intervalo 1.1. Variables Cualitativas Diagramas de barras y Diagrama de Tallo y Hojas Histogramas Moda y medidas porcentuales Tabla con todas las frecuencias de valores aislados Mediana, cuantiles, rango y rango intercuartílico Todos los estadísticos y además el Diagrama de Caja y Patillas Normalmente la descripción de datos comienza con la tabulación de estos. El objetivo de las tablas de frecuencias es ordenar y clasicar los datos observados. Estas tablas permiten, además de sintetizar la información contenida en los datos, extraer de forma rápida una descripción básica de la muestra; como la moda o modalidad de mayor frecuencia o el número de modalidades distintas observadas. La siguiente tabla contiene algunas de las funciones básicas para el tratamiento de variables cualitativas table(x) Tabla de frecuencias de x length(x) Número de elementos de x pie(table(x)) Diagrama de sectores de la distribución de frecuencias de x La función table() aplicada sobre una variable devuelve un vector de frecuencias de las modalidades observadas. Si dicho vector lo dividimos por length() se obtendrá el de las frecuencias relativas. Página: 1

2 El gráco que usamos comúnmente para representar datos cualitativos se llaman Diagramas de Sectores y es el resultado de la función pie(). Dicha función se aplica a un vector que representa frecuencias y puede completarse añadiendo argumentos de color o etiquetas de modalidades. Ejemplo 1.1 El chero Pulse.TXT contiene, entre otras variables, los valores de las pulsaciones de 92 individuos antes y después del ejercicio físico y el tipo de actividad física que realiza (variable Activity). La siguiente imagen muestra un ejemplo de sesión con R para construir la tabla de frecuencias y el diagrama de sectores de la variable cualitativa Activity. Hay variables cualitativas cuyas modalidades pueden ser ordenadas según cierta escala y que se llaman ordinales. Estas variables son de uso muy frecuente en encuestas sociológicas cuando se quiere investigar el grado o nivel con que cierto fenómeno se presenta en un conjunto de individuos. Algunos ejemplos pueden ser los siguientes: nivel de estudios, nivel de aceptación de cierta medida del gobierno o nivel de satisfacción con la labor docente de un profesor. Las modalidades de este tipo de variables suelen estar codicadas mediante números; por ejemplo, si nos referimos a la variable nivel de satisfacción con la labor docente de un profesor, la modalidad nada satisfecho puede codicarse con el valor 1, poco satisfecho con un 2, bastante satisfecho con un 3, muy satisfecho con un 4 y totalmente satisfecho con un 5. Estas variables, con ciertas precauciones a la hora de interpretar resultados, pueden ser tratadas usando además los procedimientos para variables cuantitativas discretas, que se describen a continuación. Página: 2

3 1.2. Variables Cuantitativas Discretas Se trata ahora de describir variables numéricas que toman valores enteros. Si con variables cualitativas las frecuencias se han calculado para cada modalidad aisladamente, ahora también podemos calcular frecuencias acumuladas. La diferencia con la situación anterior es que ahora las clases son numéricas que podemos ordenar en la escala de los números enteros. Una frecuencia acumulada de una clase es la suma de frecuencias de la propia clase y de las clases inferiores a ella. Es por lo que carece de sentido calcular frecuencias acumuladas en variables cualitativas. La siguiente tabla contiene algunas de las funciones básicas para el tratamiento de variables cuantitativas discretas. table(x) length(x) barpot(table(x)) cumsum(table(x)) summary(x) Tabla de frecuencias de x Número de elementos de x Diagrama de barras de la distribución de frecuencias de x Tabla de frecuencias acumuladas Estadísticos básicos de x Ejemplo 1.2 El chero houses.txt contiene la información de 150 casas vendidas en el último trimestre en cierta región. La variable Baths informa del número de baños que contiene cada una. La siguiente gura muestra una sesión con R para tratar esta variable. Hay variables de naturaleza continua pero de observación discreta, como la variable Area, expresada en metros cuadrados, del chero Houses. Este tipo de variables pueden ser tratadas con los procedimientos de variables continuas, pues al haber muchos valores distintos observados, la tabla de valores aislados o el diagrama de barras se hacen ilegibles Página: 3

4 y poco operativos. Pero tampoco podemos olvidar que cuando hacemos una tabla en clases de intervalos o un histograma perdemos información acerca de los valores concretos que se han observado. Un procedimiento gráco muy útil para evitar esta pérdida de información es el Diagrama de Tallo y Hojas. El Diagrama de Tallo y Hojas es otra forma de representar una tabla de frecuencias, cuando ésta es muy extensa por el número de clases distintas observadas, y además tiene la ventaja de ofrecer todo el conjunto de valores observados. El número a la izquierda de la barra es el tallo, que hay que unir a cada hoja, representadas a la derecha de la barra, para conocer cada una de las observaciones. Ejemplo 1.3 La siguiente gura muestra el diagrama de tallo y hojas de la variable Area del chero Houses.TXT, de forma que con 16 tallos, construídos a intervalos de 20 metros cuadrados, recoge las 150 observaciones de la variable Variables Cuantitativas Continuas Una variable es continua si toma valores en cualquier intervalo de la recta real. El número de valores distintos observados suele ser alto o casi coincidir con el tamaño de la muestra, de forma que para construir una tabla de frecuencias hay necesariamente que agrupar éstos en clases de intervalo. Algunas funciones básicas para conseguir esto son: cut(x, breaks=c()) Especica los cortes de x para construir clases de intervalo table(cut(x, breaks=c())) Tabla de frecuencias de las clases establecidas hist(x) Histograma de x con clases por defecto hist(x, breaks=k) Histograma de x con k+1 clases de igual amplitud hist(x, breaks=c()) Histograma de x con clases establecidas Página: 4

5 Además a este tipo de variables se les puede calcular cualquier estadístico denido para variables cuantitativas continuas. Algunos de ellos son: min(x) max(x) sum(x) prod(x) mean(x) median(x) quantile((x), prob=c()) var(x) sd(x) Selecciona el menor valor de x Selecciona el mayor valor de x Suma todos los elementos de x Producto de todos los elementos de x Calcula la media de x Calcula la mediana de x Calcula los percentiles que indiquemos sobre x Calcula la cuasi-varianza de x Calcula la cuasi-desviación típica de x Ejemplo 1.4 La siguiente gura muestra una sesión con R para el tratamiento de la variable Price del chero Houses.TXT, la que previamente hemos transformado para expresarla en miles de euros Estadísticos programando funciones Algunos estadísticos que pueden ser de interés para nosotros no existen como funciones en el paquete base de R. Una alternativa es buscar e instalar el paquete en donde estén implementados dichos estadísticos como funciones o también crear funciones que calculen el estadístico deseado. Página: 5

6 La estructura básica para la segunda opción es: nombre<-function(arg1, arg2,...){expresión} Ejemplo 1.5 Recordemos que la moda es un estadístico de centralización para variables cualitativas o incluso para cuantitativas discretas. Obtiene el valor de mayor frecuencia dentro de la muestra. El ejemplo de la siguiente imagen muestra cómo hemos creado la función moda y la hemos aplicado a los datos del chero Houses.TXT. Otros estadísticos algo más complejos usan los llamados momentos centrales. Denición 1.6 Denimos el momento central de orden r, con r cualquier número natural, de la variable estadística X, a partir de la muestra de datos (x 1,..., x n ), a la expresión m r = n i=1 (x i x) r donde x indica la media aritmética de la variable X. Observar que m 2 = s 2, es decir, el momento central de orden 2 es la varianza de X. A partir de los momentos anteriores denimos dos estadísticos para describir la forma de la distribución de frecuencias: Asimetría: se dene como m 3 s 3 n donde m 3 es el momento central de orden 3 y s es el desviación típica de X. Toma valores próximos a cero en distribuciones casi simétricas, valores positivos cuando la distribución tiene una cola más alargada a la derecha y negativos cuando la distribución tiene una cola más alargada a la izquierda. Página: 6

7 Curtosis: se dene como m 4 s 4 3 donde m 4 es el momento central de orden 4 y s es el desviación típica de X. Toma valores próximos a cero en distribuciones con apuntamiento normal, valores positivos cuando tienen un grado de apuntamiento superior al normal y valores negativos en distribuciones achatadas o con grado de apuntamiento inferior al normal. 2. Descripción de datos bivariantes La siguiente sección contiene ejemplos que se han desarrollado con el chero Lakes.TXT, cuya descripción aparece en la sección de prácticas (sección 3) 2.1. Cualitativa vs Cualitativa Para describir una pareja de variables cualitativas X, Y, cuyos datos se encuentran en los vectores x, y, la función table(x,y) construye la tabla de frecuencias absolutas conjuntas o tabla de doble entrada. Si hacemos tabla=table(x,y), funciones como las siguientes pueden ser aplicadas al objeto tabla. prop.table(tabla) prop.table(tabla,1) prop.table(tabla,2) pie(tabla) barplot(table(x,y)) barplot(table(y,x)) Distribución de frecuencias conjuntas Distribuciones de frecuencias condicionadas por las Distribuciones de frecuencias condicionadas por columnas Gráco de sectores de la distribución de frecuencias conjuntas (no es práctico si la tabla tiene más de 6 casillas) Gráco en forma de barras (proporciones de valores de x para cada valor de y) Gráco en forma de barras (proporciones de valores de y para cada valor de x) Ejemplo 2.1 El chero Lakes.TXT contiene una sola variable cualitativa que es la variable Type. Para poder disponer de otra variable cualitativa vamos a construir a partir de la variable Area la variable cualitativa AreaC con modalidades Pequeño, Mediano y Grande, según el valor (numérico) de la primera. La siguiente gura muestra el uso de las funciones cut(, breaks=c( )) y labels( ) =c( ) para dicha nalidad y la construcción de tablas para la pareja de variables AreaC, Type. A la vista de las distribuciones condicionadas, ¾podemos decir que hay cierto grado de relación entre ambas variables?. La respuesta es si, puesto que las distribuciones de la variable AreaC condicionadas al tipo Type son distintas, según apreciamos en la salida de R de la imagen siguiente. Por ejemplo, podemos apreciar que la proporción de lagos pequeños del tipo 1 (0.60) es muy superior a la proporción correspondiente a los lagos del tipo 3 (0.12). Página: 7

8 2.2. Cuantitativa Continua vs Cualitativa Pasamos directamente a este caso que es más frecuente. Si la variable dependiente es cuantitativa discreta podremos asumirlo como el caso anterior si la variable tiene pocos valores diferentes, o como el presente si tiene muchos. La diferencia esencial es que si la variable dependiente Y es numérica es posible calcular estadísticos mientras que en la situación anterior sólo proporciones y grácos. En general, cuando trabajamos con variables condicionadas Y x, como variables univariantes, el tipo de tratamiento estadístico es el mismo que para la variable marginal Y. La diferencia es que nos interesa tratar todas las variables Y x para analizar si su comportamiento depende del valor X = x (variables dependientes) o por el contrario en el comportamiento de todas las variables condicionadas Y x no hay diferencias signicativas (variables independientes). Como ya dijimos, un resumen descriptivo de una variable cuantitativa viene muy bien dado mediante el diagrama de caja y bigotes, pues éste recoge para ser interpretadas las características de centralización, localización, dispersión y forma de la distribución de frecuencias. Por ello, como herramienta básica para analizar la dependencia entre una variable cuantitativa y una cualitativa vamos a usar este gráco. Ejemplo 2.2 En el siguiente gráco podemos visualizar los diagramas de caja y bigotes de las variables Depth y Area para cada valor de la variable cualitativa Type, que hemos conseguido mediante la secuencia de funciones: par(mfrow=c(1,2)) boxplot(depth Type) boxplot(area Type) Página: 8

9 Se observan distribuciones de frecuencias con características más parecidas (obsérvese por ejemplo la mediana) cuando la variable Depth la condicionamos al tipo de lago (primer gráco), que en el caso de la variable Area (segundo gráco). En este segundo caso se observa que la distribución de frecuencias de la variable Area para los lagos con Type=3 tiene valores de centralización superiores a las otras distribuciones. También la dispersión en el caso Type=3 parece superior a la del resto de distribuciones. Está claro que el grado de relación estadística va a ser mayor en el segundo caso que en el primero Pero además de visualizar las características de las distintas distribuciones que se generan cuando condicionamos una variable cuantitativa continua a cada uno de los valores posibles de una variable cualitativa, también podemos obtener los valores numéricos de las características de centralización, localización y dispersión que se representan en los boxplot anteriores. Mediante la función by(y, X, f) podemos aplicar la función f a las distribuciones condicionadas Y x. A título de ejemplo, el siguiente gráco muestra dos apartados de una sesión con R para calcular un resumen descriptivo a los datos de las variables Depth y Area en función del tipo de lago Type. Página: 9

10 2.3. Cuantitativa Continua vs Cuantitativa Continua Cuando estudiamos la posible relación entre dos variables cuantitativas continuas es necesario en primer lugar intuir tanto la forma como la intensidad de la relación. Ello podemos llevarlo a cabo mediante un gráco llamado nube de puntos que representa en el plano bidimensional las parejas de valores (x i, y i ), desde i = 1, 2,..., n. La imagen siguiente muestra la nube de puntos para los casos Depth vs Area y PHCur vs PHHist. El primero muestra una situación de mayor dispersión frente a la segunda que muestra una situación en donde los puntos parecen pegarse alrededor de cierta función. Esta segunda situación es de mayor grado de dependencia que la primera y en ella cabe preguntarse qué tipo de relación es la que mejor ajusta a la nube de puntos y el grado de bondad de dicho ajuste Area Depth PHHist PHCur Respecto al tipo, supondremos en primer lugar que es de tipo lineal y cuando haya evidencia que un ajuste no lineal es mejor que otro lineal, haremos las transformaciones pertinentes en los datos para que el mejor ajuste resultante sea de tipo lineal. Página: 10

11 Los apartados que resolveremos son los siguientes: 1. Cálculo y gráco de la recta de regresión Las funciones básicas son las siguientes: lm(y x) Calcula los coecientes de la recta de regresión plot(x,y) Gráca de la nube de puntos abline(lm(y x)) Gráca de la recta de regresión 2. Cálculo del coeciente de Correlación Lineal y el de Determinación En primer lugar el Coeciente de Correlación Lineal mediante la función Cor(, ). Como sabemos, éste es un indicador del grado de relación lineal; cuanto más próximo es este valor a 1 o a -1 mayor relación lineal y su signo es el mismo que el de la pendiente de la recta. Otro parámetro que usamos para describir la bondad del ajuste realizado es mediante el Coeciente de Determinación que es coeciente de correlación al cuadrado. Este estadístico expresa la proporción de la varianza de la variable dependiente explicada o justicada por el ajuste realizado, toma valores positivos y cuanto más cercano es este valor a 1 mayor es la bondad del ajuste realizado. En el gráco anterior muestra los valores de ambos estadísticos para el ejemplo tratado. Ejemplo 2.3 La siguiente gura muestra el gráco de nube de puntos con la recta de mínimos cuadrados y los valores de los coecientes obtenidos con R para la pareja de variables PHHist, PHCur PHHist PHCur Página: 11

12 3. Prácticas En las prácticas de este tema vamos a usar el chero Lakes.TXT que contiene datos de 149 lagos en Wisconsin. Los datos históricos fueron obtenidos en los años 50 del siglo pasado, mientras que los datos actuales datan de la última década. Las variables que observadas tienen el siguiente signicado: Type: Tipo de lago. Depth: Máxima profundidad, en metros (actual) Area: Supercie del lago, en hectáreas (actual) WSarea: Supercie entre la línea divisora de aguas o cuenca, en hectáreas (actual) Bog: Porcentaje del lago convertido en ciénaga (actual) DwHist: Número de viviendas en torno al lago en los años 50. DwCur: Número de viviendas en torno al lago en los años actuales. PHHist: Lectura del PH en los años 50. PHCur: Lectura del PH en los años actuales. CondH: Lectura de la conductividad en los años 50. CondCur: Lectura de la conductividad en los años actuales. 1. Construir funciones para calcular con R el Coeciente de Variación, la Asimetría y la Curtosis. Aplicar estos estadísticos a las variables cuantitativas continuas Area, Bog, PHCur y CondCur del chero Lakes.TXT. Elaborar los histogramas de dichas variables para apreciar la interpretación de los estadísticos anteriores. 2. Elabora una descripción estadística lo más completa posible de la variable diferencia PHHist-PHCur. 3. Describe la relación entre las variables Bog y Type. 4. Describe la relación entre las variables CondH y CondCur. 5. A partir de la nube de puntos entre las variables Area y PHCur, realiza las transformaciones oportunas para linealizar dicha nube de puntos. 6. Con las variables anteriores realiza ambos ajustes lineales, con los datos sin transformar y con los datos transformados, y describe la bondad del ajuste en ambos casos. Página: 12