f = 0 = n A n + n B = n A + n B n

Transcripción

1 1. Para todo suceso A, f A es el cociente de dos números positivos tal que el numerador es menor o igual que el denominador, luego se tiene que 0 f A 1 2. Debido a que el suceso seguro, Ω, se verifica siempre, se tiene que. f Ω = 1 3. El suceso imposible,, no se verifica nunca, luego. f = 0 4. Sean A y B dos sucesos incompatibles, es decir A B =, y sean n A y n B sus frecuencias absolutas respectivamente, y n A B la frecuencia absoluta del suceso A B. Por ser A y B incompatibles se tiene que n A B = n A n B Y por tanto f A B = n A B n = n A + n B n = n A n + n B n = f A + f B Y se tiene que la frecuencia relativa de la unión de sucesos incompatibles es la suma de sus frecuencias relativas: f A B = f A + f B si A B = 1.3. Probabilidad Definición de probabilidad de Laplace La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles, 6

2 p(a) = número de casos favorables al suceso A número de casos posibles Esta definición dio paso a una formulación axiomática del concepto de probabilidad Definición axiomática de probabilidad Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral Ω y álgebra de sucesos asociada Q, se define la probabilidad como una aplicación del álgebra de sucesos Q en el intervalo [0,1] que satisface los tres axiomas siguientes: P : Q [0, 1] t.q. 1. P (A) 0, A Q 2. P (Ω) = 1 3. P (A B) = P (A) + P (B) si A, B Q con A B = Se considera la probabilidad de un suceso como una abstracción de la frecuencia relativa del mismo en una larga serie de realizaciones del experimento. Consecuencias de los axiomas: 1 o ) P (A ) = 1 P (A), para todo suceso A Q 2 o ) P ( ) = 0 3 o ) si A B, P (A) P (B) 4 o ) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), A, B Q Ejercicio 1.4. Demostrar estas cuatro propiedades a partir de los tres axiomas de probabilidad. 7

3 1.4. Probabilidad condicionada Ejemplo 1.5. De una muestra de personas que habitan en un pueblo nórdico, se ha observado que 8000 son de ojos claros, y el resto de ojos oscuros. También se ha observado que 4000 tienen el pelo rubio o pelirrojo, y el resto tienen el cabello castaño o negro: A (pelo claro) A (pelo oscuro) B (ojos claros) B (ojos oscuros) La frecuencia relativa de rubios y pelirrojos es: n A = = 0,4 Análogamente, la frecuencia relativa de las personas de ojos claros es: n B = = 0,8 La frecuencia relativa de personas de pelo claro, teniendo en cuenta solamente los individuos de ojos claros, que llamaremos frecuencia relativa de A condicionada a B, y escribiremos n A B es: n A B = = 0, Por otra parte, la frecuencia relativa de personas de pelo claro y ojos claros es: n A B = = 0,3525 A partir de los valores obtenidos observamos que: Es decir: = n A B = n A B n B Mediante un proceso de abstracción llegamos al concepto de probabilidad condicionada. 8

4 Dado un suceso A Q, con P (A) > 0, para cualquier suceso B Q definimos la probabilidad del suceso B condicionado al suceso A como: P (B A ) = P (A B), P (A) que cumple los axiomas de la probabilidad. Ejemplo 1.6. Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Cuál es la probabilidad de obtener dos reyes? Llamemos R 1 al suceso obtener rey en la primera extracción, y R 2 al suceso obtener rey en la segunda extracción. Lo que debemos calcular es la probabilidad del suceso R 1 R 2 : P (R 1 R 2 ) = P (R 1 )P (R 2 R1 ) = = Ejemplo 1.7. Una urna contiene 9 bolas rojas y 5 negras. Se extraen sucesivamente dos bolas. Calcular la probabilidad de que: 1. las dos bolas son negras 2. la primera sea roja y la segunda negra 3. una sea roja y otra negra 1.5. Independencia Dados dos sucesos A, B Q, diremos que son independientes si P (B A ) = P (B), es decir: o lo que es lo mismo: P (A B) P (A) = P (B) P (A B) = P (A)P (B). 9

5 Tres sucesos A, B, C Q son independientes si son independientes dos a dos y la probabilidad de A B C es el producto de las probabilidades de cada uno de ellos: 1. P (A B) = P (A)P (B) 2. P (A C) = P (A)P (C) 3. P (B C) = P (B)P (C) 4. P (A B C) = P (A)P (B)P (C). Ejemplo 1.8. (Bernstein) Por qué es necesaria la condición 4.? Consideremos un experimento aleatorio, cuyos sucesos elementales y equiprobables son: {1}, {2}, {3}, {4}. Es decir, Ω = {1, 2, 3, 4}. Consideremos los sucesos: Se tiene que A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 4} y P (A) = P (B) = P (C) = 2 4 = 1 2 P (A B C) = P ({1}) = 1 4 Luego se tiene: 1. P (A B) = P (A)P (B) = P (A C) = P (A)P (C) = P (B C) = P (B)P (C) = P (A B C) = 1 4 P (A)P (B)P (C) =