TEMA 7.- PROBABILIDAD

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1 TEMA 7.- PROBABILIDAD 1. Experimentos aleatorios 1.1. Experimentos aleatorios y suesos 1.2. Álgebra de suesos 1.3. Propiedades de los suesos 2. Probabilidad de un sueso 2.1. Definiión. Ley de los grandes números 2.2. Definiión axiomátia 2.3. Definiión de Laplae Propiedades de la probabilidad. 3. Probabilidad ondiionada Definiión de probabilidad ondiionada 3.2. Independenia de suesos 3.3. Teorema de probabilidad total Teorema de Bayes. Atividades resueltas. El origen de la probabilidad es, sin duda, los juegos de azar. Un noble franés, el Caballero de Méré, amigo de Pasal, le propuso el siguiente problema: En el juego onsistente en lanzar 24 vees un par de dados, es lo mismo apostar la misma antidad a favor o en ontra de la apariión por lo menos de un seis doble en 24 tiradas? Éste y otros problemas dan lugar a una orrespondenia entre Pasal y Fermat en la que empiezan a formular los prinipios fundamentales del álulo de Blaise Pasal probabilidades. La orrespondenia entre ambos inspiró al ientífio Huygen, quién publió un breve tratado titulado De ratioiniis in ludo aleae ( Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados ) en Experimentos aleatorios 1.1. Experimentos aleatorios y suesos Un experimento es aleatorio uando al repetirlo un determinado número de vees, en ondiiones análogas, el resultado no puede predeirse, está sujeto al azar. El onjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espaio muestral o espaio de posibilidades y se designa genériamente por Ω(o E). (a) Lanzar un dado. Ω={1,2,3,4,5,6} (b) Lanzar dos monedas. Ω={(C,C);(C,X);(X,C);(X,X)} Sueso elemental: Se llama sueso elemental a los posibles resultados de un experimento aleatorio que no se pueden desomponer en otros más senillos; estos resultados son exluyentes entre sí. (a) {1}, {2}, {3}, {4},{5}, {6} (b) {(X,C)},{(C,X)}, {(X,X)}, {(C,C)} Sueso: Todo subonjunto del espaio muestral o, lo que es lo mismo, a la unión de ualquier número de suesos elementales. Los suesos se desriben enumerando todos sus elementos o dando las ondiiones que lo determinan. (a) A={ Obtener un nº par}={2,4,6}; (b) B={ Obtener al menos una ara}={(c,c);(c,x);(x,c)} Sueso seguro: Es el que se verifia siempre. El sueso seguro es Ω. Sueso imposible: El que nuna se verifia. Se equipara al onjunto vaío. Sueso ontrario de A: Es el que se umple uando no se umple A. Equivale al omplementario de A. Se denota por A o A (a) A={ Obtener un nº par} A ={ Obtener un nº impar}={1,3,5} (b) B={ Obtener al menos una ara} B ={ (X,X)} Sueso ontenido en otro sueso: El sueso A está ontenido en el sueso B, y se designa por A B, si todo sueso elemental de A lo es de B, es deir, siempre que se verifia el sueso A se verifia también el sueso B. (a) A = {2,4} B = { Obtener un nº par} (b) A={ (C,C)} B={ Obtener al menos una ara} Espaio de suesos: El onjunto de todos los suesos posibles de un experimento, es deir, es el onjunto de todos los subonjuntos del espaio muestral Ω. Se representa por S o P(Ω).El número de elementos de S es 2 n, siendo n el número de elementos del espaio muestral Ω. (a) S = {, {1}, {2},...{1,2},{1,3},...{2,3,6},...{1,4,5,6},...,{1,2,3,4,5,6}} (b) S = {, {(C,C)},{(C,X)},..{(C,C),(C,X)},., Ω} 1.2. Álgebra de suesos. Unión de suesos: Dados dos suesos A y B, se define el sueso AB, omo aquél que se umple uando se verifia A o se verifia B. (a) A={ Obtener un nº par} B={ Obtener un nº menor que 3} AB={1,2,4,6} IES Fuerte de Cortadura Página 1 de 8

2 (b) A={ Obtener al menos una ara} B={ Obtener resultados distintos en los lanzamientos} AB={(C,X);(X,C),(C,C)} Interseión de suesos: Se define la interseión de los suesos A y B omo el sueso que se umple si tiene lugar A y B a la vez. Se verifian A y B simultáneamente. (a) A={ Obtener un nº par} B={ Obtener un nº menor que 3} AB={2} (b) A={ Obtener al menos una ara} B={ Obtener resultados distintos en los lanzamientos} AB={(C,X);(X,C)} Dos suesos uya interseión es el sueso imposible, se llaman inompatibles o disjuntos. (a) A= { Obtener un nº par } B= {1,3} AB= (b) A={ (C,X)} B={(C,C);(X,X)} AB= Diferenia de suesos: Dados dos suesos A y B, se define el sueso A \ B (o A-B), omo aquel que se umple uando se umple A, pero no B. Fáilmente se ve que A \ B = AB (a) A={1,2,3,4} B={Obtener un nº impar} A-B={ 2,4} (b) A={(C,X);(X,X)} B={ Los dos resultados sean iguales} A-B={(C,X)} 1.3. Propiedades de los suesos. Las operaiones de suesos se basan en las operaiones on onjuntos; luego se pueden apliar todas las propiedades de los onjuntos a los suesos. Propiedades Unión Operaiones Interseión Conmutativa AB=BA AB = BA Asoiativa (AB)C = A(BC) (AB) C=A(BC) Idempotente AA = A AA = A A = A AA = A = A= AA = A = A Distributivas A(BC)= (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) Leyes de Morgan (AB) = A B (AB) = A B 2 Probabilidad de un sueso 2.1. Definiión. Ley de los grandes números. Si un experimento aleatorio se realiza n vees, llamamos: Freuenia de A (f A ), al número de vees que se ha verifiado A. Freuenia relativa de A, al oiente, f A /n. Ejemplo: Lanzar dos monedas 100 vees. Sueso (C,C) (C,X) (X,C) (X,X) Freuenia Freuenia relativa 20/100 24/100 27/100 29/100 Cuando un experimento aleatorio se realiza innumerables vees, la freuenia relativa de un sueso tiende a una onstante, que se denomina probabilidad de ese sueso. Esta propiedad es onoida omo ley de los grandes números, estableida por Jaob Bernouilli. IES Fuerte de Cortadura Página 2 de 8

3 Esta definiión presenta el inonveniente de tener que realizar el experimento un gran número de vees y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad Definiión axiomátia La definiión axiomátia de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien onsideró la relaión entre la freuenia relativa de un sueso y su probabilidad uando el número de vees que se realiza el experimento es muy grande. Sea el espaio muestral de ierto experimento aleatorio y S el orrespondiente espaio de suesos, llamaremos probabilidad a toda apliaión: P : S [0,1] que verifia: 1) P(A) 0 A S 2) Si AB = P(AB) = P(A) + P(B) 3) P() = Definiión de Laplae. Si por razones de simetría pueden onsiderarse de igual probabilidad (equiprobables) los suesos elementales de un determinado fenómeno aleatorio, la probabilidad de ada sueso puede estableerse a priori, de auerdo on la llamada Regla de Laplae, que die: " La probabilidad de un sueso A, se puede obtener dividiendo el número de asos favorables a la presenia del sueso A entre el número total de asos posibles ". Esto es: Número de asos favorables al sueso A P(A) = Número de asos posibles Ejemplo: Se lanzan dos dados al aire. Calular las probabilidades de los siguientes suesos: a) {(2,3)} b) {(2,1);(3,5);(2,6)} ) La suma de los puntos sea 2. d) La suma de los puntos sea 8. e) Los resultados de los dos lanzamientos sean iguales. f) La diferenia entre los puntos sea 3. Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) } a) P({(2,3)}= 1/36 b) P({(2,1);(3,5);(2,6)})=3/36=1/12 ) P(La suma de los puntos sea 2)=P({(1,1)})=1/36 d) P(La suma de los puntos sea 8)=P({(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}=5/36 e) P(Los resultados de los dos lanzamientos sean iguales)=p({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)})=6/36=1/6 f) P(La diferenia entre los puntos sea 3)=P({(1,4),(2,5),(3,6),(4,1),(5,2),(6,3)}=6/36=1/6 Podíamos haber realizado el ejeriio sin desribir en detalle ada uno de los suesos y el espaio de posibilidades. 2.4 Propiedades de la probabilidad. 1) P(A ) = 1 - P(A) 2) P() = 0 3) Si A y B son dos suesos tales que A B, entones P(A) P(B) 4) Si A 1, A 2,..., A k son suesos inompatibles dos a dos ( A i A j = ij), entones: P(A 1 A 2...A k ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A k ) 5) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) Si A y B son disjuntos (A B =) entones tenemos P(AB)=P(A)+P(B) 6) P(B) = P(BA) + P(B-A) = P(BA) + P(BA ) 1.- En una omara hay 2 periódios: El Progresista y el Liberal. Se sabe que el 55% de las personas de esa omara lee El Progresista (P), el 40% lee EL Liberal (L) y el 25% no lee ninguno de ellos. Expresa en funión de P y L los siguientes suesos: a) Leer los 2 periódios. b) Leer sólo el Liberal. ) Leer sólo El Progresista. d) Leer alguno de los dos periódios. e) No leer ninguno de los dos. f) Leer sólo uno de los dos. g) Calula las probabilidades de los suesos P,L,PL,PL,L-P, P-L Sol: a),pl b) L P = L\P ) P L d) PL e) P L f) ) (L P ) (P L ) g) Sabemos P(P) = 0 55, P(L)=0 4 y P( P L ) = 0 25 y los ontrarios P(P ) = = 0 45, P( L ) = 0 6 y P( (P L ) ) = 0 75 pero por las Leyes de Morgan, sabemos que (P L ) = PL P( PL) = 0 75 IES Fuerte de Cortadura Página 3 de 8

4 Como P(PL) = P( P) + P(L)- P(P L) ) P(PL) = P( P) + P(L)- P(P L) ) = = 0 2 L-P = L P y se tiene que P(L) = P(L P ) + P(L P ) de donde P(L P ) = P(L) - P(L P ) = = 0 2. Análogamente P(P- L) = (P L ) P(PL ) = P(P)- P(P L) ) = = 0 35 También, podíamos haber heho de otra forma el ejeriio, onstruyendo una tabla: P L L P Y on esta tabla podemos ontestar a todos los apartados. En negrilla están los datos del problema y a partir de ellos rellenamos los restantes. 2.- Se sabe que A y B son dos suesos de un experimento aleatorio tales que: P(A) = 1/ 2, P(B )=5/8, P(AB)=3/4. Halla las probabilidades de los suesos AB, A B, A B y A B. P(B ) = 1 P(B) P(B) = 3/8 ; P(AB) = P(A) + P(B) + P(AB) 3/4 = 1/2 +3/8 + P(AB) P(AB) = 1/8 P(A B ) = {ley de Morgan} = P((AB) ) = 1 - P(AB) = 1 3/4 = 1/4 P(A B ) = {ley de Morgan} = P((AB) ) = 1 P(AB) = 1 1/8 = 7/8 P(B) = P(AB) + P(AB ) 3/8 = 1/8 + P(AB ) P(AB ) = 2/8 = 1/4 3 Probabilidad ondiionada 3.1. Definiión de probabilidad ondiionada. Sean A y B dos suesos del espaio de suesos S tal que P(A) 0, se llama probabilidad de B ondiionada a A, P(B/A), a la probabilidad de que ourra B tomando omo espaio muestral A, es deir, la probabilidad de que ourra B dado que ha suedido A. P(B A) P(B/A) P(A) El álulo direto de las probabilidades ondiionadas es posible muy a menudo; en tal aso, la fórmula de la definiión anterior puede usarse en sentido inverso: P(AB)=P(A/B).P(B) 1.- Si en el experimento de lanzar un dado al aire se nos pide la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar: Definimos B = { saar 3} A = {saar nº impar} ={1,3,5} ; entones, P(B/A) = 1/3 puesto que si sabemos que ha salido un nº impar; los asos posibles ahora son 3 y los favorables al sueso al sueso A sólo Un reaudador de impuestos del ayuntamiento ontrola tres edifiios A, B y C, on un total de 125 pisos. Un año, el número de pisos on la ontribuión pagada y no pagada es: Edifiio A B C Pagadas (S) No pagadas Halla la probabilidad de que un piso, elegido al azar: a) sea de la asa A b) haya pagado la ontribuión sabiendo que es de la asa A ) haya pagado la ontribuión y sea de la asa A. Para empezar, lo más aonsejable es nombrar todos los suesos que intervienen en el problema : A = { es de la asa A} S = { ha pogado } a) P(A) = nº de pisos del edifiio A /nº de pisos = ( ) / 125 = 41/125 b) P( haya pagado sabiendo que es de la asa A} = P(S/A) = = nº de pisos que han pagado en A/ nº de pisos del edifiio A = 23/ ( ) = 23/41 ) P(haya pagado y sea de la asa A) = P(SA) = nº de pisos pagados en A/nº de pisos = 23/125 Observa que P(S/A) = P(SA) / P(A) IES Fuerte de Cortadura Página 4 de 8

5 3.2. Independenia de suesos. Dos suesos A y B son independientes uando el umplimiento de uno no influye en la probabilidad de verifiaión del otro. En aso ontrario, los suesos son dependientes, también podemos deir que un sueso está ondiionado por el otro. Ejemplo: Si de una urna on 4 bolas rojas y 4 bolas negras extraemos dos bolas onseutivas (sin reemplazamiento), la probabilidad de que la primera sea roja es 4/8 ; la probabilidad de que la segunda vuelva a ser roja es 3/7. Los suesos " primera roja " y "segunda roja" son dependientes, sus probabilidades son diferentes. Si ahora extraemos las bolas on reemplazamiento ( volvemos a poner la que saamos), la probabilidad de que la primera sea roja es 4/8; la probabilidad de que la segunda vuelva a ser roja es 4/8. En este nuevo experimento los suesos "primera roja" y "segunda roja" son independientes. Dos suesos A y B son independientes si: P(B)=P(B/A) y P(A)=P(A/B) En onseuenia, dos suesos son independientes si se verifia que: P(AB)=P(A)P(B) Este resultado es de gran utilidad si se repite varias vees el mismo experimento aleatorio. Ejemplo: Si lanzamos una moneda al aire 6 vees, la probabilidad de que salgan seis aras es P( 6 aras)= =0,50,50,50,50,50,5=(0,5) 6, ya que al lanzar la moneda ada vez la probabilidad de que salga ara es siempre 0, Teorema de probabilidad total Si B 1, B 2,..., B n son suesos del experimento Ω,disjuntos dos a dos, y tales que B 1 B 2...B n = Ω, entones para ualquier sueso A se verifia: P(A) = {A Ω = A} = P(A Ω) = {B 1B 2...B n = Ω} = P(A( B 1 B 2...B n ) = {propiedad distributiva de los suesos} = P((AB 1 )(AB 2 ) (AB n )) == {AB i y AB j son suesos disjuntos y por la propiedad 4 de la probabilidad} == P(AB 1 ) + P(AB 2 ) + + P(AB n ) = {definiión de probabilidad ondiionada}= P(A/B 1 )xp(b 1 ) + P(A/B 2 )xp(b 2 ) + + P(A/B n )xp(b n ) En definitiva: P(A) = P(A/B 1 )xp(b 1 ) + P(A/B 2 )xp(b 2 ) + + P(A/B n )xp(b n ) que es la fórmula de la probabilidad total, donde en todos los asos suponemos que la probabilidad de los B k es distinta de Se dispone de tres monedas: dos de ellas son legales y una terera moneda está truada, ya que tiene dos aras. Si se elige al azar una moneda y se lanza al aire, alula la probabilidad de obtener ara. Para empezar, lo más aonsejable es nombrar todos los suesos que intervienen en el problema: C = {obtener ara} M1 = { la moneda elegida es la 1} M2 ={la moneda elegida es la 2} M3 = { la moneda elegida es la 3}. Es evidente que : P(M1) =P(M2) =P(M3) = 1/3 Observemos que los suesos M1, M2 y M3 son inompatibles dos a dos (ya que se elige una sola moneda), y además M1M2M3 =. Podemos apliar el teorema de la probabilidad total: P(C) = P(C/M1)xP(M1) + P(C/M2)xP(M2) + P(C/M3)xP(M3) = (1/3)x(1/2) + (1/3)x(1/2) + (1/3)x1 = 2/3 Estos problemas se pueden haer también on un diagrama de árbol 2.- Una fábria de ohes tiene tres adenas distintas de produión que fabrian, respetivamente, 50%, 25%, 25% del total de los ohes produidos. La probabilidad de que un ohe sea defetuoso es: para la primera adena 1/2, para la segunda 1/4 y para la terera 1/6. Cuál es la probabilidad de que un ohe sea defetuoso? I={ el ohe es de la 1ª adena} II={ el ohe es de la 2ª adena} III = { el ohe es de la adena 3ª} Estos suesos son inompatibles dos a dos: ada ohe proede de una únia adena. De las uotas de produión se dedue que : P(I) =0.50, P(II) = 0.25, P(III)=0.25 D= { el ohe es defetuoso} Podemos apliar el teorema de probabilidad total: P(D) = P(D/I)xP(I) + P(D/II)xP(II) + P(D/III)xP(III) = (1/2)x (1/4)x (1/6)x0.25 = 17/48 IES Fuerte de Cortadura Página 5 de 8

6 3.4. Teorema de Bayes Nos permite alular las probabilidades a posteriori. Si B 1, B 2,..., B n son suesos de probabilidad positiva del experimento Ω,disjuntos dos a dos, y tales que B 1 B 2...B n = Ω, entones para ualquier sueso A de probabilidad positiva, de auerdo on la definiión, se verifia: P(B i A) P(A / Bi )xp(b i ) P(B i / A) P(A) P(A) lo ual, ombinado on la fórmula de las probabilidades totales, da P(B i /A)= P(A/B i )xp(b i ) P(A/B 1 )xp(b 1 ) + P(A/B 2 )xp(b 2 ) + + P(A/B n )xp(b n ) 1.- Tenemos tres urnas: U1 on 3 bolas rojas y 5 negras, U2 on 2 bolas rojas y 1 negra y U3 on 2 bolas rojas y 3 negras. Esogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, uál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna U1? Llamamos R al sueso saar bola roja y N al sueso saar bola negra. De los datos del problema se dedue: P(R/U1) = 3/8 P(R/U2) = 2/3 P(R/U3) = 2/5 P(U1)=P(U2)=P(U3)=1/3 La probabilidad pedida es P(U1/R). Utilizando el teorema de Bayes: P(U1 R) P(U1/R) P(R) P(R/U1)xP( U1) P(R/U1)xP( R) P(R/U2)xP(U2) P(R/U3)xP(U3) (1/3)x(3/8) (1/3)x(3/8) (1/3)x(2/3) (1/3)x(2/5) 173 Al igual que on la probabilidad total, podemos haer también diagramas de árbol 2.- En el ejemplo de la fábria de ohes del apartado anterior: Si un ohe no es defetuoso, uál es la probabilidad de que sea de la primera adena? La probabilidad pedida es P(I/D ). Hemos visto que P(D) = 17/48 P(D ) = 1 17/48 = 31/48. Si P(D/I) = 1/2 entones P(D /I) = 1 P(D/I) = 1/2. De la misma forma P(D /II) =3/4 y P(D /III) = 5/6 Apliando el teorema de Bayes: P(I/D ) P(I D ) P(D ) P(D /I)xP(I) P(D ) (1/2)x(1/2) 31/ Atividades resueltas 1 Se extraen suesivamente tres bolas de una urna que ontiene blanas y negras. Desribir el espaio de posibilidades que orresponde a este experimento y los suesos siguientes: Ω={BBB,BBN,BNB,BNN,NNN,NNB,NBN,NBB} a) "obtener más bolas blanas que negras" {BBB,BBN,BNB,NBB} b) "la primera y la última bolas son negras" {NBN,NNN} ) "la primera y la última bolas son blanas" {BBB,BNB} d) "las dos primeras bolas son iguales" {BBB,BBN,NNN,NNB} e) el ontrario de "alguna bola es blana" {NNN} 2 En una arrera partiipan los aballos A,B,C y D. Se estima que la probabilidad de que gane A es el doble la probabilidad de que gane uno de los otros tres. Hallar la probabilidad de que gane B o C. A={gane el aballo A} B={gane el aballo B} C={gane el aballo C} D={gane el aballo D} P(A)=2x P(B)=P(C)=P(D)=x P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1 2x+x+x+x=1 x=1/5 P(A)=2/5 y P(B)=P(C)=P(D)=1/5 A,B,C y D son suesos disjuntos (no pueden ganar dos aballos) P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC)=P(B)+P(C)-P()=1/5+1/5-0=2/5 3 Regularmente, el 37% de la poblaión va al ine, el 11% al teatro y el 6% a ambas osas. Hallar la proporión de personas que asisten regularmente a uno o otro tipo de espetáulo. C={asistir al ine} T={asistir al teatro} P(C)=0,37 P(T)=0,11 P(CT)=0,06 P(CT)=P(C) + P(T) - P(CT)= 0,37 + 0,11-0,06 = 0,42 Un 42% de la poblaión IES Fuerte de Cortadura Página 6 de 8

7 4 La probabilidad de que un hombre y una mujer de 40 años vivan hasta los 75 son 0,49 y 0,53, respetivamente. Halla la probabilidad de que: a) los dos umplan 75 años; M={la mujer umple 75 años} H={el hombre umple 75 años}, M y H son suesos independientes P(M)=0,53 P(M )=0,47 P(H)=0,49 P(H )=0,51 P({los dos umplan 75 años})=p(mh)=p(m)p(h)=0,530,49=0,2597 b) alguno de los dos llegue a los 75 años; P({alguno de los dos llegue a los 75 años})=p(mh)=p(m)+p(h)-p(mh)=0,53+0,49-0,2597=0,7603 ) ninguno llegue; P({ninguno llegue})=p(m H )=0,470,51=0,2397 d) sólo la mujer llegue a umplir los 75 años. P({sólo la mujer llegue a umplir los 75 años})=p(mh )=0,530,51=0, Un estudiante de bioquímia busa una fórmula que neesita para un trabajo en tres manuales de bioquímia. Las probabilidades de que la enuentre en el primero, segundo o terero son, respetivamente, 0,5; 0,6 y 0,7. Hallar la probabilidad de que se enuentre: a) Solamente en un manual M i ={enontrar la fórmula en el manual i-ésimo} P(M 1 )=0,5 ; P(M 2 )=0,6 ; P(M 3 )=0,7 M 1, M 2 y M 3 son suesos independientes. P({Solamente en un manual})=p(m 1 M 2M 3)+P(M 1M 2 M 3)+P(M 1M 2M 3 )= =0,50,40,3+0,50,60,3+0,50,40,7=0,29 b) Úniamente en dos manuales P({Úniamente en dos manuales})=p(m 1 M 2 M 3)+P(M 1 M 2M 3 )+P(M 1M 2 M 3 )= =0,50,60,3+0,50,40,7+0,50,60,7=0,44 ) En los tres manuales P({En los tres manuales})=p(m 1 M 2 M 3 )=0,50,60,7=0,21 6 Un avión tiene ino bombas. Desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo de un bombazo es 1/5. Cuál es la probabilidad de que destruya el puente? D i ={destruir el puente on la bomba i-ésima} D C i ={no destruir el puente on la bomba i-ésima} Los D i son suesos independientes. P(D i )=1/5=0,2 P(D C i )=4/5=0,8 P({destruir el puente})=1 - P({no se destruye})= 1 - P({todas las bombas fallan})= = 1 - P(D C 1 D C 2 D C 3 D C 4 D C 5 )= 1-0,80,80,80,80,8=1-0,32768 = 0, Cada reién naido tiene probabilidad 0,51 de ser varón. Si en una línia se han produido ino naimientos durante la nohe, qué probabilidad hay de que haya al menos una niña? P({al menos una niña})=1 - P({todos son varones})=1-0,510,510,510,510,51=1-0,0345=0, En un entro esolar, los alumnos de Bahillerato pueden optar por ursar omo lengua extranjera entre inglés o franés. En un determinado urso, el 90% estudia inglés, y el resto franés. El 30% de los que estudian inglés son varones y de los que estudian franés son hios el 40%. Elegido un alumno al azar, uál es la probabilidad de que sea hia? I={estudiar inglés} F={estudiar franés} V={ser varón} H={ser hembra} P(I)=0,90 P(F)=0,10 P(V/I)=0,30 P(H/I)=0,70 P(V/F)=0,40 P(H/F)=0,60 P(H)=P(H/I)xP(I)+P(H/F)xP(F)=0,70x0,90+0,60x0,10= 0,69. 9 Una aja ontiene tres monedas P,S,T, la primera normal, la segunda tiene ara por los dos lados y la terera está truada de forma que la probabilidad de salir ara es 1/3. Se elige una moneda al azar y se tira; hallar la probabilidad de que se obtenga ara. P={elegir la moneda P} S={elegir la moneda S} T={elegir la moneda T} Suponemos que los suesos P, S y T son equiprobables, por tanto: P(P)=P(S)=P(T)=1/3 C={salir ara} X={salir ruz} P(C/P)=1/2 P(C/S)=1 P(C/T)=1/3 P(C)=P(C/P)P(P) + P(C/S)P(S) + P(C/T)P(T)= (1/2)(1/3) + (1)(1/3) + (1/3)(1/3)= 11/18 IES Fuerte de Cortadura Página 7 de 8

8 10 De una urna que ontiene 5 bolas blanas y 3 negras, se extraen dos suesivamente. Hallar la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blana; y la probabilidad de que sea blana la segunda, ondiionado porque ha sido negra la primera. B 2 ={la bola segunda es blana} N 1 ={la bola primera es negra} La primera bola puede ser ualquiera de las 8, y la segunda ha de ser de las 7 restantes, por tanto, tenemos 8x7 extraiones posibles. Para que la primera sea negra tenemos 3 bolas, y para la segunda blana 5 bolas, es deir, en 3x5 asos la primera es negra y la segunda blana. P(N 1 B 2 )=(35)/(87)=0,2678 P(B 2 /N 1 )=P(N 1 B 2 )/P(N 1 )=[(35)/(87)]/(3/8)=5/7=0,7142 El problema resulta más simple si ontestamos primero a la segunda uestión: P(B 2 /N 1 )=5/7=0,7142 P(N 1 B 2 )=P(B 2 /N 1 )P(N 1 )=(5/7)(3/8)=(35)/(87)=0, En un montón hay 10 rifles, 4 on visor telesópio y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blano on un rifle on visor es de 0,95; mientras para el rifle sin visor es de 0,65. Halla la probabilidad de haer blano ogiendo un rifle al azar. Si el tirador ha heho blano, qué es más probable: que haya disparado on un rifle on visor o sin él? V={elegir un rifle on visor} V ={elegir un rifle sin visor} B={dar en el blano} B ={no dar en el blano} P(V)=4/10=2/5=0,4 P(V )=6/10=3/5=0,6 P(B/V)=0,95 P(B /V)=0,05 P(B/V )=0,65 P(B /V )=0,35 P(B)=P(B/V)P(V)+P(B/V )P(V )=0,950,4+0,650,6=0,77 (V/B)=P(VB)/P(B)=[P(B/V)P(V)]/P(B)=[0,950,4]/0,77=0,493 P(V /B)=0,507. Con visor ("por poo") 12 En un hotel hay 100 lientes, 40 españoles y 60 alemanes. De los españoles 35 son morenos y 5 rubios; en ambio, entre los alemanes hay 45 rubios y 15 morenos. Si llega un liente, qué probabilidad hay de que sea moreno? Y de que sea alemán? Si es alemán, qué probabilidad hay de que sea moreno? Si es moreno, qué probabilidad hay de que sea alemán? E={español} A={alemán} ; M={moreno} R={rubio} P(M)=(35+15)/100=1/2 P(A)=60/100=3/5 P(M/A)=15/60=1/4 P(A/M)=P(AM)/P(M)=(15/100)/(50/100)=15/50=3/10 13 Una enfermedad puede ser produida por tres virus, A, B y C. En un laboratorio se tienen tres tubos on virus A, dos on virus B y ino on virus C. La probabilidad de que el virus A produza la enfermedad es 1/3; que la produza el virus B es 2/3, y que la produza el virus C es 1/7. Se inoula al azar un virus a un animal y ontrae la enfermedad. Cuál es la probabilidad de que el virus que se le inouló fuera de tipo C? A={elegir el virus tipo A} B={elegir el virus tipo B} C={elegir el virus tipo C} E={produir la enfermedad} Del tipo A hay 3 tubos de un total de 10, por tanto: P(A)=3/10 Del tipo B hay 2 tubos de un total de 10, por tanto: P(B)=2/10=1/5 Del tipo C hay 5 tubos de un total de 10, por tanto: P(C)=5/10=1/2 P(E/A)=1/3 P(E/B)=2/3 P(E/C)=1/7 1 1 x P(E/C)xP(C) 7 2 P(C/E) P(E/A)xP(A) P(E/B)xP(B) P(E/C)xP(C) 1 x x x En una iudad el 60% de los días son soleados, el 30% llueve y el 10% hay niebla. Se ha omprobado que la probabilidad de sufrir un aidente de tráfio en un día soleado es 0,0001, en un día lluvioso 0,001 y en un día on niebla 0,01. Si un amigo, residente en la iudad, ha sufrido un aidente, uál es la probabilidad de que hubiese niebla? S={soleado} LL={lluvioso} N={on niebla} A={sufrir un aidente} P(S)=0,60 P(LL)=0,30 P(N)=0,10 P(A/S)=0,0001 P(A/LL)=0,001 P(A/N)=0,01 P(A/N)xP(N) 0.01x0.10 P(N/A) P(A/S)xP(S) P(A/LL)xP(LL) P(A/N)xP(N) x x x0.10 IES Fuerte de Cortadura Página 8 de 8

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