Cálculo de Determinantes. (c) 2012 Leandro Marin
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- María Cristina Belén Maldonado Vega
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1 8. Cálculo de Determinantes (c) Leandro Marin
2 . Introducción El determinante de una matriz cuadrada es un problema que se puede resolver de diversas formas. Una de ellas es mediante una fórmula directa que nos da el valor del determinante a partir de sumas y multiplicaciones de las entradas de la matriz. Son muy conocidas las fórmulas para matrices de tamaño dos y tres. La fórmula para tamaño dos es a a a a a a a a Para tamaño tres la fórmula tiene seis sumandos, tres con signo positivo y tres con signo negativo. Para recordar cuales son lo sumandos de cada uno de los tipos se suele utilizar la conocida regla de Sarrus que casi con seguridad habrás estudiado con anterioridad. La fórmula es a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a 3 No vamos a insistir aquí en ella, no porque no sea útil, sino porque si aumentamos el tamaño de las matrices. La fórmula para matrices de tamaño 4 requeriría 4 sumandos y en general para matrices de tamaño n, son n! el número de sumandos que aparecen. Ese algoritmo no es sostenible en cuando n aumenta un poco. En este tema vamos a calcular determinantes utilizando operaciones elementales en matrices. No vamos a estudiar las propiedades del determinante, simplemente vamos a aprender a calcularlo.. Operaciones elementales y Determinantes La idea para el cálculo del determinante es realizar operaciones elementales sobre la matriz para poder encontrar una matriz que tenga una forma sencilla en la que podamos calcular el determinante de forma directa, así, sabiendo cómo afectan las operaciones elementales al determinante y el resultado del determinante de la matriz final, podremos deducir cual es el valor del determinante de la matriz original.
3 Las matrices de las que podemos calcular el determinante de forma directa son las matrices triangulares, veamos la definición: Definición: Una matriz cuadrada A(A i j ) i,j,,n diremos que es triangular superior si para todo i< j se tiene que A i j, es decir, todas las entradas debajo de la diagonal principal son. Ejemplos de matrices triangulares superiores podrían ser En estos casos el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal: Proposición: Si A(A i j ) i,ji,,n es una matriz triangular superior, entonces el determinante de A es el producto de todos los elementos de su diagonal principal: A A A A nn Así, en los ejemplos anteriores tendríamos: ( ) 4 8 ( ) 5 Realizando operaciones elementales podemos llegar a una matriz triangular, por lo que ya sólo nos falta conocer cómo afectan las operaciones elementales al determinante. Para representar las operaciones escribiremos símbolos de igualdad con la operación elemental y pondremos un coeficiente delante del determinante según corresponda a la operación elemental que estamos realizando. Proposición. Sumar a una fila, otra multiplicada por una constante no nos altera el valor del determinante.
4 En este casi indicaremos la operación que hemos realizado, poniendo un símbolo de igualdad puesto que el determinante no se altera: F F +F 5 Proposición. Intercambiar dos filas nos cambia el determinante de signo. Así por ejemplo pondríamos que 5 5 F 5 5 F 3 Proposición. Multiplicar una fila por una constante nos multiplica todo el determinante por la misma cantidad. Habitualmente lo que hacemos es dividir toda la fila por una cantidad para convertir el pivite en, para compensar esta división, lo que tenemos que hacer es sacar fuera el elemento por el que dividimos, así podemos poner un símbolo de igualdad. Un ejemplo de este tipo de operación es: 5 F 3 3 F Hemos sacado el factor 3 dejando el vector(,,, ) el realizar la operación. Cuando lleguemos al final de la reducción, tendremos una matriz triangular que calcularemos multiplicando los elementos de la diagonal y que multiplicaremos por el coeficiente que llevamos acumulado para obtener el resultado final. Vamos a ver unos ejemplos de aplicación que nos van a aclarar el proceso.
5 3. Ejemplos de Aplicación Ejercicio. Calcular el determinante de la siguiente matriz sobre el cuerporealizando operaciones elementales: F F F F +F 5 F 3 F +F 3 5 F F 5 F 3 F +F F 4 F +F F 3 3 F F 4 6F 3 +F F 4 5 F 4 5 5
6 El determinante es pues 5. Ejercicio. Calcular el determinante de la siguiente matriz sobre el cuerporealizando operaciones elementales: F F +F F 3 F +F 3 F 5 4 F +F 4 5 F 5 F +F 5 F 5 F 3
7 5 F 3 F +F F 4 F +F F 5 F 3+F F 4 F F 5 F 4+F F 5 F F 5 5 F 3 El determinante es pues. Ejercicio 3. Calcular el determinante de la siguiente matriz sobre el cuerporealizando operaciones elementales:
8 F F F F +F F 3 F +F 3 F 4 F +F 4 F 5 F +F 5 F 4 F 3 +F 4 4 F 5 F 3 +F F 4 F 4 F 5 4F 4 +F 5 4 F F El determinante es pues.
9 Vamos a hacerlo ahora en el cuerpo de 5 elementos. Ejercicio 4. Calcular el determinante de la siguiente matriz sobre el cuerpo 5 realizando operaciones elementales: F 4F +F F 4 F +F 4 F 3 F +F 3 F 3 3F F 3 3F +F 3 F 3F F 4 F +F 4 F 4 F 3 +F 4 El determinante es pues 4. Vamos a ver un ejemplo en el cuerpo de 8 elementos. Si no conoces este cuerpo, mejor que ignores este ejemplo:
10 Ejercicio 5. Calcular el determinante de la siguiente matriz sobre el cuerpo 3 realizando operaciones elementales: F (a+)f a + a a+ a a + a+ a a + a + a+ a+ a + a+ a + a+ a + a a+ a a + a+ a a + a + a+ a+ a + a+ a + a+ a + a + a a (a + a) a+ a a + a + a+ a+ a + a+ a + a+ a + a + a a (a + a) a a + a+ a+ a + a+ a + a+ a + a + a a F 4 (a +a+)f +F 4 (a + a) a a + a+ a + a a + a + a a F 4 (a +)F +F 4 (a + a) a a+ a + a a + a + a a F 3 (a +)F 3 (a + a+ ) a+ a + a F 3 (a+)f +F 3
11 F 4 (a +a)f 3 +F 4 (a + a+ ) a + a + a a a El determinante es pues a. a + a + a a a+ a F 3 F 4 F 4 (a +a)f 4 a + a + a a
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