Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

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1 elementales Diciembre 2010

2 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices elementales 5

3 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas a coeficientes en R es una tabla de doble entrada a a 1n.... a m1... a mn con a ij R para todo (i, j) {1,..., m} {1..., n}. También denotamos la matriz A = (a ij ) y llamamos M mn (R) al conjunto de las matrices de m filas y n columnas a coeficientes en R. El elemento genérico a ij se encuentra en la i-ésima fila y en la j-ésima columna, y a veces nos referiremos a este elemento como entrada (i, j). Un caso especial de matrices son aquellas que poseen una sola fila: a estas matrices las llamaremos vectores. Diremos que dos matrices son iguales si poseen iguales dimensiones y todas sus entradas son iguales.

4 elementales Definición 1.2 (Matriz cuadrada) Llamaremos M nn (R) al conjunto de matrices cuadradas de tamaño n, es decir, a aquellas que tienen n filas y n columnas. Definición 1.3 (Matriz diagonal) Diremos que A M nn (R) (conjunto de matrices cuadradas) es una matriz diagonal si a ij = 0 para todo i j. Es decir, los únicos términos no nulos que tenga caen en la diagonal: a a a nn Se representan como A = diag(a 11,..., a nn ).

5 elementales Definición 1.4 (Matriz triangular superior) Diremos que una matriz A M nn (R) es triangular superior si a ij = 0 para todo i > j, es decir, todos los términos bajo la diagonal son nulos. a 11 a a 1n 0 a a 2n a nn En particular las matrices diagonales también son matrices triangulares superiores. Las siguientes matrices son triangulares superiores: ( ) ( ) ,

6 elementales Definición 1.5 (Matriz triangular inferior) Diremos que una matriz A M nn (R) es triangular inferior si a ij = 0 para todo i < j, es decir, todos los términos sobre la diagonal son nulos. a a 21 a a n1 a n2... a nn En particular las matrices diagonales también son matrices triangulares inferiores. Las siguientes matrices son triangulares inferiores: ( ) ( ) ,

7 elementales Definición 1.6 (Matriz traspuesta) Sea A M mn (R) y consideremos la matriz B = (b ij ) tal que b ij = a ji. Entonces la matriz B M nm (R), la llamaremos matriz traspuesta de A y la denotaremos por A t Esto corresponde a intercambiar el rol de las filas y columnas. Más claramente, la primera fila de A t es la primera columna de A y asi sucesivamente. Por ejemplo, el siguiente par de matrices corresponde a una matriz y su traspuesta: A = ( ), A t = Diremos que una matriz es simétrica si A = A t, es decir, a ij = a ji y diremos que es antisimétrica si A t = A, es decir, a ij = a ji. En particular, todas las matrices diagonales son simétricas. Cabe notar que estas definiciones tienen sentido solo en matrices cuadradas.

8 elementales Definición 1.7 (Matriz fila) Es una matriz que solo tiene una fila, es decir, m = 1 y por lo tanto A = (a 1 a 2 a n ) M 1n (R) En particular, los vectores son matrices fila. Definición 1.8 (Matriz columna) Es una matriz que solo posee una columna, es decir, n = 1 y por lo tanto A = a 1 a 2. a n M m1(r) Podemos ver también una matriz columna como la traspuesta de una matriz fila.

9 elementales Definición 1.9 (Traza de una matriz) Se define la traza de una matriz cuadrada A M nn (R) como la suma de los elemento de la diagonal, y se denota tr(a). Es decir: tr(a) = Cabe destacar que las definiciones de matrices triangulares y diagonales solo tienen sentido si la matriz es cuadrada. n i=1 a ii

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11 elementales Definición 2.1 (Suma de matrices) Sean A, B M mn (R). La matriz suma, denotada por A + B es aquella tal que (A + B) ij = a ij + b ij. Esta operación definida en el conjunto de las matrices hace que la suma de matrices sea conmutativa, posea elemento neutro y posea inverso. El elemento neutro es la matriz nula, es decir, aquella en la que todas sus entradas son cero, y el inverso aditivo de una matriz A es una matriz B tal que b ij = a ij. En otras palabras, es multiplicar por 1 todas las entradas de A. Esta matriz la denotaremos como A. Ejemplo: ( ) + ( ) = ( )

12 elementales Definición 2.2 (Ponderación por escalar) Dada una matriz A M mn (R), y un número real λ, se define la matriz λa M mn (R) como aquella matriz tal que (λa) ij = λa ij Es decir, se ponderan todas las entradas de A por el escalar λ. Por ejemplo: A = ( ) ( , 3A = )

13 elementales Definición 2.3 (Producto matricial) Sea A M mr (R) y b M rn (R). Se define la matriz producto C = AB M mn (R) como aquella tal que A = ( c ij = r a ik b kj k=1 ) M 23 (R) y B = AB = ( ) M 24 (R) M 34 (R)

14 elementales Una observación importante es que el producto matricial no es conmutativo. Por ejemplo: ( ( ) ( ) ( ) = ) = ( ( A pesar de esto, si existe una especie de neutro para el producto matricial y corresponde a la matriz diagonal de unos, es decir, si A M mn (R) y I n = diag(1,..., 1) M nn (R), entonces AI n = I m A = A. A la matriz I n la llamaremos matriz identidad (o unidad) de tamaño n. Una buena propiedad que posee el producto matricial es que si es asociativo. ) )

15 elementales Teorema 2.4 (Asociatividad y Distributividad) Si A M mr (R), B M rn (R) y C M nq (R) entonces (AB)C = A(BC) Si P M mn (R) y Q, R M ns (R) entonces P (Q + R) = P Q + P R Teorema 2.5 Si A M mn (R) y B M np (R), entonces (AB) t = B t A t

16 elementales Definición 2.6 (Matriz inversa y potencia de una matriz) Diremos que una matriz A M nn (R) es invertible si y solo si existe una matriz B M nn (R) tal que AB = BA = I A la matriz B la denotaremos por B = A 1. Además, se define la potencia n-ésima de una matriz como A n = AA n 1, A 0 = I. Es decir, se define de manera recursiva. Existirá un inverso multiplicativo para el producto matricial? la respuesta a esta pregunta es que depende de la matriz. Es decir, hay matrices que si son invertibles pero otras que no.

17 elementales Teorema 2.7 Sean A, B M nn (R) dos matrices invertibles. Entonces: La inversa de A es invertible y (A 1 ) 1 = A. El producto AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. Para todo n 0, (A n ) 1 = (A 1 ) n. La traspuesta A t es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t Un caso especial que vale la pena estudiar es cuando n = 2. Veremos en que casos esta inversa existe, y la calcularemos cuando asi sea. En general, una matriz A M 22 (R) se escribe como: ( ) a b A = c d donde a, b, c, d R están dados.

18 elementales ( ) e f Queremos encontrar una matriz B = M g h 22 (R) tal que: ( ) ( ) ( ) a b e f 1 0 = c d g h 0 1 Usando la definición de producto matricial, tenemos que: ( ) ( ) ae + bg af + bh 1 0 = ce + dg cf + dh 0 1 Por definición de igualdad de matrices, obtenemos el siguiente set de ecuaciones: ae + bg = cf + dh = 1 af + bh = ce + dg = 0

19 elementales Se puede probar que existe solución única al problema anterior siempre y cuando ad bc 0, y en cuyo caso, A 1 existe y vale: ( ) A 1 1 d b = ad bc c a El término ad bc cumple un rol muy importante en el estudio matricial, y se le conoce como el determinante para una matriz cuadrada de 2 2.

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21 elementales El cálculo de determinantes tiene sentido solo cuando la matriz es cuadrada. Luego, en base a la dimensión que tenga la matriz, el determinante de una matriz A, el cual denotaremos por A corresponde a: Si A M 11 (R) = R, entonces A = a 11 Si A M 22 (R), entonces Si A M 33 (R), entonces A = a 11 a 22 a 12 a 21 A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Estas fórmulas se conocen como Regla de Sarrus. Sin embargo, existe otra manera de calcular determinantes, la cual consiste en calcular determinantes de submatrices, y de esa forma obtener expresiones más pequeñas.

22 elementales Más generalmente, podemos definir el determinante de una matriz en base a lo siguiente: Definición 3.1 (Submatriz) Sea A M mn (R), diremos que B = (a ij ) i I,j J es una submatriz de A, es decir, corresponde a una matriz formada al extraer las entradas (i, j) de A, donde i I {1,..., m} y j J {1,..., n}. Es claro que la dimensión de B es de I J, donde I es la cantidad de elementos del conjunto I. Análogamente se tiene para J. Por ejemplo, si A = J = {2, 3} obtenemos que B = entonces si elegimos I = {1, 2} y ( )

23 elementales Definición 3.2 (Determinante: caso general) Si A M nn (R), se define A j0i = (a ij ) i I,j J donde I = {1, 2,..., n} \ {j 0 } y J = {1, 2,..., n} \ {i}. Luego, el determinante de la matriz A se define como: A = n a j0i( 1) i+j0 A j0i i=1 Esto entrega una forma recursiva de calcular determinantes, y además cómoda, pues nos permite elegir la fila que más convenga. Usualmente, la que posea la mayor cantidad de ceros. Junto con los casos particulares vistos anteriormente, se puede calcular el determinante de una matriz de dimensiones superiores. A continuación, enunciamos algunas propiedades que posee el deteminante:

24 elementales A = A t. Como consecuencia, cualquier propiedad de los determinantes se sigue cumpliendo si se sustituye la palabra fila por columna y viceversa. Si se multiplican todos los elementos de una fila por un mismo número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Si se permutan dos filas, el determinante cambia de signo pero su valor absoluto es el mismo. Si todos los elementos de una fila son cero, entonces el determinante es cero. Si dos filas están en proporción, entonces el determinante es cero.

25 elementales Si una fila es combinación lineal de otras filas, entonces el determinante es cero. Si a una fila de le suma una combinación lineal de otras paralelas, el determinante no varía. Si A M nn (R), entonces λa = λ n A. En general, A + B A + B. AB = A B

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27 elementales Definición 4.1 (Matriz elemental de permutación) Sea I M nn (R) la matriz identidad. La matriz elemental de permutación I pq se construye al permutar las filas p y q de la matriz identidad. Por ejemplo: I 24 = Las matrices de permutación son invertibles y además I 1 pq = I pq.

28 elementales Teorema 4.2 Sea I pq M nn (R), A M ns (R) y B M qn (R): I pq A corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas. BI pq corresponde a la matriz B con sus columnas p y q permutadas Por ejemplo, si A = 0 2 8, entonces: I 13 A = , AI 13 =

29 elementales Definición 4.3 (Matriz elemental) Se define E pq (λ) M nn (R), con p < q, como aquella matriz tal que todas sus entradas son iguales a la identidad, salvo la (q, p) en donde vale λ. Por ejemplo: E 12 (λ) = λ M 33 (R)

30 elementales Es importante destacar que el efecto, sobre A, de la premultiplicación por E pq (λ) (es decir, E pq (λ)a) es una matriz que solo difiere de A en la fila q: esta fila es la suma de la fila p ponderada por λ y la fila q. Otra propiedad de este tipo de matrices es que son invertibles, y su inversa es bastante fácil de calcular: (E pq (λ)) 1 = E pq ( λ) Uno de los objetivos al definir estas matrices elementales es poder calcular inversas. A continuación, se describe un método que permite encontrar la matriz inversa luego de una serie de operaciones basadas en las matrices elementales definidas anteriormente.

31 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices elementales 5

32 elementales Sea A M nn (R) una matriz invertible. Si se encontrase una serie de operaciones elementales fila en A que nos llevase a la identidad, entonces podriamos encontrar matrices elementales fila E pi q i (λ i ) de orden n tales que ( Epi q i (λ i )) A = I y por lo tanto, como A es invertible, podemos despejar la inversa de A como A 1 = E pi q i (λ i )

33 elementales En la práctica, el método de Gauss consiste en escribir la matriz ampliada (A I) y mediante operaciones elementales fila sobre esta matriz ampliada poder llegar a una matriz ampliada del tipo (I B) Por la parte anterior sabemos que B = A 1. Se debe tener cuidado en no mezclar operaciones elementales fila( y columna. ) 2 3 Veamos el siguiente ejemplo. Sea A =, entonces: 4 2 (A I) = ( )

34 elementales ( ) ( ) 2 0 1/2 3/ ( ) 1 0 1/4 3/ /2 1/4 ( ) 1/4 3/8 A 1 = 1/2 1/4

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