8. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Transcripción

1 8. EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante números y letras. Las letras la utilizamos para expresar cantidades desconocidas. Javier tiene 4 años más que su hermana Marta. Cómo expresamos esta situación? MARTA EDAD DESCONOCIDA x JAVIER EDAD 4 más que Marta x + 4 El lenguaje algebraico es un lenguaje propio y como tal tiene una serie de normas que hay que conocer. Así podemos transcribir de forma correcta enunciados a lenguaje algebraico. - Si una letra va multiplicada por un número, por ejemplo x multiplicado por 4, se expresa de la forma 4x, es decir el número delante de la letra y a continuación la letra. - el exponente 1 y el número 1 que multiplica a una letra no los ponemos, por ejemplo una x más 3 se escribe x + 3. Veamos algunos ejemplos de traducir a lenguaje algebraico: El doble de un número: 2x Un número menos 5 : x -5 Viajeros de un avión después de bajarse 34: x - 34 El cuádruple de un número menos 5: 4x - 5 Otro ejemplo de lenguaje algebraico: Un fontanero cobra 30 euros por desplazarse a casa y 25 euros por cada hora de trabajo. La expresión 25x + 30 nos expresa el coste de la visita en función de las horas que trabaja, que como es una cantidad desconocida, llamamos x. 1

2 1.- Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados: Dos números consecutivos. Dos números pares consecutivos. El triple del perímetro de un cuadrado. 4 menos el triple de un número. La edad de Paula dentro de 5 años. La edad de Paula hace 4 años. 7 más la tercera parte de un número. El doble de un número más tres. El doble de un número, más 2.- Laura tiene x años, expresa las siguientes cantidades: La edad que tenía hace 3 años La edad que tendrá dentro de 7 La edad que tiene su padre que es 30 años mayor que ella La edad de su madre que tenía 27 años cuando ella nació La edad de su abuela que es el triple de la edad de su madre La edad de su hermano que es la cuarta parte de la de su abuela 3.- Llamando x al precio de una revista y sabiendo que un tebeo cuesta 2 euros más que una revista, completa con expresiones algebraicas: 2

3 Una revista cuesta Un tebeo cuesta Dos revistas y un tebeo cuestan 4.- En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los lados iguales. escribe una expresión algebraica para indicar el perímetro. 5.- Una empresa envasa sus productos en cajas pequeñas y cajas grandes. Una caja grande pesa 2 kilos más que la pequeña. Traduce a lenguaje algebraico: El peso de una caja pequeña El peso de una caja grande El peso de 7 cajas pequeñas El peso de 7 cajas grandes MONOMIOS La expresión algebraica más simple se llama monomio y está formado por un número conocido que se llama coeficiente multiplicado por una o varias letras que se llaman parte literal. MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL 3x 2 3 x 2 4ab 4 ab -xy 2-1 xy 2-7x 3 y 2-7 x 3 y 2 GRADO DE UN MONOMIO 3

4 El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que componen la parte literal. Ejemplos: 2x 2 GRADO: 2 -x 2 y 3 GRADO: = 5 4x GRADO: 1 VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO El valor numérico de un monomio consiste en sustituir las letras por unos números determinados y realizar las operaciones. Ejemplo: Calcula el valor numérico del monomio -4xy 2 para x =3 e y = -1-4 xy (-1) 2 = = - 12 MONOMIOS SEMEJANTES Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Ejemplos: Monomios semejantes a -3x 2 y: 5x 2 y, 2/5x 2 y, -x 2 y. OPERACIONES CON MONOMIOS SUMA/ RESTA: Para sumar/restar dos monomios es necesario que sean semejantes. Los sumamos o restamos sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal. Ejemplos: -3x + 5x = (-3+5)x = 2x 7xy - 8xy = (7-8)x = -x MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes por un lado y la parte literal por otra. Ejemplos: (-3x). (5xy) = (-3 5)(x xy) = -15 x 2 y (-2x 2 y) (-7xy 3 ) = ((-2) (-7))(x 2 y xy 3 ) = 14 x 3 y 4 4

5 1.- Completa la siguiente tabla: MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO -3x 3 y 1/2 xy 2 xyz -1 ab 7a 2 b Calcula el valor numérico del monomio -5ab 3 para los siguientes valores: a = 3, b=-2 a = -1, b= -1 a = 5, b= 2 a = 7, b = 0 a = -4, b= Realiza las siguientes sumas y restas de monomios, cuando se pueda: a) -3x + 6x = b) 2x 2 y - 3 x 2 y = c) 7y + 5y = d) 3xy + 11x 3 y = e) -2ab - 5ab = 5

6 f) 4xy -4xy = g) 3a 3 b - 8a 3 b = h) 5a 2 b + 3ab 2 = 4.- Simplifica : a) x 2 + 3x - x - 4x 2 = b) 8xy - 6x - 4xy + 3x - x = c) 4y 2-10y 3 + 2y 3 +7y 2 = d) 2a 2 + 3a - a + 4a 2-11a 3 = 5.- Elimina paréntesis y simplifica: a) 6x 2 - (2x - 5x 2 ) = b) (-3x - 2y) - (5y - 2x) = c) -(2ab - 3a) + ( -ab - 6a) = d) (3x + 3y ) + (8y - 3x) = 6.- Calcula las siguientes multiplicaciones de monomios. a) 2x 3x = b) -3ab 7ab = c) (-4x) (-4xyz) = d) 2 ( -3a) = e) ½ 6b = f) (-3y) (-4y 2 ) = g) 4ab 2ab = h) (-2x) ( -2y) = i) 3xy x = j) 2a 2 ( - 4a 3 ) = 6

7 7.- Coloca el monomio que falta para que se cumpla la igualdad. a) x = 3x 2 b) 4x 3 = -12x 4 c) xy = -x 2 y d) 5x 2 = 20x 4 ECUACIONES Una igualdad algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas. 3x + 3 = -2x - 1 Hay dos tipos de igualdades algebraicas: Identidad: igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor que tomen las letras. 7x +1 = 2x x Damos un valor cualquiera a la x, por ejemplo x = 1, y calculamos el valor numérico de los dos miembros de la igualdad, = = = 9 SE CUMPLE LA IGUALDAD Si probamos con otro valor también se cumple la igualdad, veámoslo, por ejemplo para x = -2, 7 (-2) + 1 = 2 (-2) (-2) = = -13 SE CUMPLE LA IGUALDAD 7

8 Si seguimos probando se seguirá cumpliendo la igualdad, luego es una IDENTIDAD Ecuación: igualdad algebraica que es cierta para algún o algunos valores de las letras. 3x -2 = 10 Probemos si para x = 1 se cumple la igualdad, 3 1-2= = 10 2 = 10 NO SE CUMPLE, por tanto no es una identidad, es una ECUACIÓN Sólo para x = 4 la igualdad es cierta, = = = 10 SE CUMPLE Cómo encontramos ese valor o valores que cumplen la igualdad? Primeros veremos los elementos de una ecuación. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN Las dos expresiones que aparecen en cada lado de la igualdad se llaman miembros. Los sumandos de cada miembro se llaman términos. El grado de la ecuación es el mayor de los grados de los términos una vez simplificado. Las letras que aparecen se llaman incógnitas. 8

9 Una solución de una ecuación es el valor que tienen que tomar las incógnitas para que se cumpla la igualdad. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo grado y las mismas soluciones. 4x = x + 12 es equivalente a 2x = 12, ya que ambas son de grado uno y tienen como solución x = 6. Resolver una ecuación es encontrar las soluciones de la misma. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Despejar una incógnita es dejarla sola en un lado de la igualdad. Para ello vamos a usar la técnica de TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS, que consiste en mover los términos de un lado a otro de la igualdad, con la operación inversa, para obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta tener despejada la incógnita. Veamos esta técnica en ecuaciones de primer grado sencillas. ECUACIONES DE LA FORMA x + a = b El término a que está sumando, pasa restando al otro miembro. 9

10 ECUACIONES DE LA FORMA x - a = b El término a que está restando, pasa sumando al otro miembro. ECUACIONES DE LA FORMA ax = b El término a que está multiplicando, pasa dividiendo al otro miembro. 10

11 Casos especiales: 0x = a esta ecuación no tiene solución. 0x = 0 esta ecuación tiene infinitas soluciones. ECUACIONES DE LA FORMA x/a = b El término a que está dividiendo, pasa multiplicando al otro miembro. 11

12 1.- Completa la siguiente tabla: ECUACIÓN PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO INCÓGNITA GRADO 3x - 2 = 7-2x 3 x - 7 2x = 8x -4 2x + y x =0 2.- Rodea la solución de las siguientes ecuaciones, y justifica tu respuesta: a) 3x + 4 = 10 x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 b) 5x - 6 = 9 x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 c) -2x + 3 = -1 x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 d) -x + 5 = 4 x = 1, x = 2, x = 3, x = Rodea la solución de las siguientes ecuaciones, y justifica tu respuesta: a) 4x - 2 = 10 x = 3, x = 4, x= 5 b) 3x - 4 = x x = 0, x = 1, x = 2 c) = 1 x = -2, x = 1, x = 6 d) + 2 = 5 x = 4, x = 9, x = 16 e) - 5 = 20 x = 4, x = 5, x = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 4 = 7 b) x - 3 = 10 c) x + 2 = -4 12

13 d) x - 4 = -4 e) x + 1 = 2 f) x - 10 = 5 g) 8 = x + 3 h) 9 = x Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 17 b) x - 2 = 0 c) x + 5 = -4 d) x - 9 = -4 e) x + 10 = -12 f) x - 1 = g) -3 = x + 3 h) 9 = x Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4x = 16 b) -5x = -25 c) 8x = 24 d) -2x = 18 e) x = -6 f) x = 6 h) -x = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 4x = 1 13

14 b) -x = -25 c) 0x = 24 d) -2x = 12 e) 3x = 0 f) x = 6 h) -2x = 2 Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial- CompartirIgual 3.0. Elaborado durante el curso