Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

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1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices, de cierta manera, heredan las operaciones del cuerpo K, así podemos definir las siguientes operaciones de matrices: Suma: A, B M m n (K), entonces A + B = (a ij + b ij ). Producto de un elemento de K por una matriz: Si a K y A M m n (K), entonces a A = (a a ij ). Propiedades: 1) (M m n (K), +) es grupo abeliano. 2) a (A + B) = a A + a B 3) (a + b) A = a A + b A 4) a (b A) = (ab) A 5) 1 A = A 1

2 Producto de Matrices: Si A M m n (K) y B M n p (K), entonces AB = n k=1 Propiedades 1. A(BC) = (AB)C 2. AI n = I m A = A a ik b kj M m p (K) El anillo de las matrices cuadradas: (M n n (K), +, ) es un anillo con unidad (la matriz identidad). A los elementos de este anillo que son inversibles, les llamaremos matrices regulares o inversibles, en caso contrario las llamaremos matrices singulares. Si A es cuadrada de orden n, se define A = I n. Para cualquier k Z + se tiene que A k = AA k 1 y si A es inversible A k = (A 1 ) k. 2

3 Tipos especiales de matrices cuadradas Sea A = (a ij ) una matriz cuadrada, se tiene Matriz diagonal a ij = si i j. Matriz escalar a ii = λ para cada i. Es decir A = λ I n. Matriz triangular inferior a ij = si i < j. Matriz triangular superior a ij = si i > j. Matriz simétrica A = A T. Matriz antisimétrica A = A T. 3

4 Matrices escalonadas Matrices de m filas y n columnas. M. escalonada por filas M. escalonada por columnas Diremos que una matriz es escalonada reducida por filas si los elementos que están en la misma columna que el primer 1 de cada fila son todos ceros. Análogo para matrices escalonadas reducidas por columnas. Ejemplos: Las siguientes matrices son escalonadas por filas: ( ) Ninguna es escalonada reducida por filas Ejemplos: Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas: 1 1 ( )

5 Matrices elementales Las siguientes operaciones sobre una matriz identidad definen las matrices elementales Tipo I Intercambiar dos filas (i) (j) Tipo II Multiplicar una fila por una constante c de K. (i) (i)... c Tipo III Sumar a una fila otra fila multiplicada por c K (i) (j) c Teorema 1 Las matrices elementales son inversibles y su inversa es una matriz elemental del mismo tipo. 5

6 Operaciones elementales Dada una matriz A M m n (K) diremos que efectuamos una operación de tipo I, II o III por filas si multiplicamos a la izquierda una matriz elemental E de dicho tipo a la matriz A. Si multiplicamos a la derecha, obtenemos una operación elemental por columnas. Definición 1 (Equivalencia por filas) Dos matrices A y B son equivalentes por filas si una de ellas se puede obtener a partir de la otra por operaciones elementales por filas. B = E k E k 1... E 1 A Análogamente se define la equivalencia por columnas. B = AE 1... E k 1 E k Diremos que dos matrices son equivalentes si una de ellas se puede obtener a partir de la otra por operaciones elementales por filas y/ columnas. B = E k E k 1... E 1 AF 1... F l 1 E l 6

7 Ejemplo: Las matrices y son equi- 3 2 valentes por filas, puesto que = Independencia y dependencia lineal Llamaremos combinación lineal de filas (o columnas) f 1, f 2... f k a una expresión de la forma a 1 f 1 + a 2 f a k f k donde los a i son elementos del cuerpo K. Diremos que un conjunto de filas (o columnas) de una matriz son linealmente independientes si ninguna de ellas se puede expresar como combinación lineal de las restantes. En caso contrario se dice que el conjunto de filas (o columnas) es linealmente dependiente. 7

8 Rango de una matriz Llamaremos rango por filas de una matriz al número máximo de filas linealmente independientes. Así mismo llamaremos rango por columnas al número máximo de columnas linealmente independientes. Teorema 2 El rango por filas de cualquier matriz coincide con su rango por columnas. A dicho número le llamaremos simplemente rango de la matriz. Una serie de resultados nos permite calcular, de forma cómoda, el rango de una matriz. Teorema 3 Las matrices equivalentes, equivalentes por filas o equivalentes por columnas tienen el mismo rango. Teorema 4 El rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas distintas de cero. Análogamente, el rango de una matriz escalonada por columnas es el número de columnas distintas de cero. 8

9 Teorema 5 Toda matriz es equivalente por filas (resp. columnas) a una matriz escalonada por filas (resp. columnas). También es equivalente por filas (resp. columnas) a una única matriz escalonada reducida por filas (resp. columnas). Ejemplo: La matriz tiene rango Corolario 6 Una matriz cuadrada es inversible si y solo si es equivalente por filas a la matriz identidad. Este corolario sigue siendo válido si cambiamos la palabra fila por columna. Esto nos permite carcular la inversa, aunque de una manera engorrosa, de una matriz A. E k E k 1... E 1 A = I A 1 = E k E k 1... E 1 Ejemplo: Calcular la inversa, si existe, de la matriz A = A 1 = 1/2 1/2 1/ /8 1/8 1/8 9

10 Resolución de Sist. de Ec. lineales Métodos de Gauss Y Gauss-Jordan Dado un sistemas de ecuaciones Ax = b, donde A M m n (K) y b K m, representaremos por (A b) la matriz ampliada obtenida añadiendo a la matriz A la columna formada por los elementos de b. Teorema 7 Los sistemas Ax = b y Bx = c tienen las mismas soluciones si y solo si sus matrices ampliadas son equivalentes por filas. Los teoremas 5 y 7 nos permiten concluir que, dado un sistema Ax = b, existe un sistemas Gx = g donde (G g) es escalonada y equivalente por filas a la matriz (A b) que tiene las mismas soluciones. Un algoritmo para resolver un sistemas de ecuaciones basado en este hecho lo denominaremos Método de Gauss. Ejemplo: El sistema de ecuaciones 2x + 3y + z = 2 x + z = 2 4x + 4y + z = 2 es compatible determinado en el cuerpo K = R, en cambio es compatible indeterminado en el cuerpo K = Z 5. Comprueba ambos hechos usando el método de Gauss. 1

11 Modificando el método de Gauss para que la matriz (G g) sea escalonada reducida por filas se obtiene el método de Gauss-Jordan. Ejemplo: En el anterior ejemplo, sobre el cuerpo Z 5, el método de Gauss-Jordan nos daría la matriz escalonada reducida ( 1 1 ) x = 2 z = 2 + 4z y = 1 3z = 1 + 2z z = z Nota.- El método de Gauss o Gauss-Jordan puede usarse para resolver simultáneamente varios sistemas de ecuaciones en lo único que cambia son los términos independientes. Para ello basta con extender el concepto de matriz ampliada (A b 1 b 2... b k ) y esto último nos da un cómodo algoritmo de cálculo de la matriz inversa. Ejemplo: Usar este método para calcular la matriz inversa de uno de los ejemplos anteriores. ( )

12 Método LU de resolución de Sistemas Dada una matriz A cuadrada, se dice que es factorizable LU si existen una matriz L triangular inferior y una matriz U triangular superior de forma que A = LU. Nota.- Existen matrices que no ( son ) factorizables 1 LU, por ejemplo la matriz A =. 1 3 Si tenemos un sistema de ecuaciones Ax = b donde A es una matriz cuadrada factorizable LU, podemos aprovechar este hecho para obtener dos sistemas de ecuaciones donde las matrices de ambos sistemas sean triangulares (por tanto más fáciles de resolver) en que la resolución consecutiva de ambos sistemas nos resuelva el sistema de ecuaciones inicial. { Ly = b Ax = b (LU)x = b L(Ux) = b Ux = y Nos quedaría encontrar un algoritmo cómodo que nos permita encontrar una factorización LU de una matriz A dada. Esto nos lo proporciona un método similar al algoritmo de Gauss. 12

13 Teorema 8 Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operaciones elementales de tipo I (cambio de filas). El algoritmo de factorización LU se explica en clase Ejemplo: El sistema de ecuaciones 2x + 3y + z = 1 x + 2y + 3z = x 2y + z = 1 se reduce a resolver los sistemas 2y 1 = 1 x + y y 2 = y y y después y 3 = y z = y 1 y + 5z = y 2 z = y 3 El método LU se puede aplicar para resolver sistemas en los que A no es factorizable LU, sin más que aplicar el siguiente teorema. 13

14 Teorema 9 Si A es inversible, existe una matriz P del mismo orden obtenida por operaciones de tipo I sobre la identidad, tal que la matriz P A es factorizable LU. Los sistemas triangulares que nos resuelven el sistema inicial se obtienen por el siguiente razonamiento: Ax = b P Ax = P b { (LU)x = P b Ly = P b L(Ux) = P b Ux = y Ejemplo: El sistema de ecuaciones x + y z = 1 x + y + z = 2 y z = 3 se reduce a resolver los sistemas y 1 = 1 x + y z = y 1 y 2 = 3 y 1 + 2y 3 = 2 y después y z = y 2 z = y 3 14

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