ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

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1 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1

2 Definición: Matriz Sean m, n N y K un cuerpo (R, ó C). Se llama función Matricial sobre K a una función A : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} K, (i, j) A(i, j). Se designa por a ij al valor de A en el par (i, j). Se escribe: A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn o bien A = (a ij ), i = 1,..., m, j = 1,..., n, y se dice que A es una matriz de orden m n. También se escribe A = (a ij ), cuando está claro el número de filas y columnas de A. 2,

3 Si K = R (K = C), entonces la matriz se dice real ( compleja) o a valores reales (complejos). El conjunto de todas las matrices de orden m n, con elementos en K, se denota por M m n (K). Se llama Matriz nula a la matriz (a ij ), con a ij = 0, i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n} y se denota por θ. Igualdad de Matrices. Sean A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K) dos matrices, entonces A = B a ij = b ij, i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. 3

4 Operaciones con matrices. Definición : suma y multiplicación de matrices. Suma. Sean A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K), entonces la matriz suma A + B es A + B = (c ij ) con c ij = a ij + b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Multiplicación Sean A = (a ij ) M m n (K), B = (b ij ) M n p (K). La matriz producto C = A B es una matriz de M m p (K), con c ij = n a ik b kj. k=1 4

5 Propiedades de la suma y del producto de matrices. A, B, C M m n (K) se tiene: S1). (A + B) + C = A + (B + C). S2). A + B = B + A. S3). θ M m n (K) : A + θ = A S4). ( A) M m n (K) : A + ( A) = θ Para A, B, C matrices de modo que los productos estén definidos, se tiene: M1). (A B) C = A (B C) M2). A (B + C) = A B + A C M3). A θ, B θ : A B = θ. 5

6 Ejemplos Producto de Matrices Si A = y B = Entonces, solo el producto AB es posible y en tal caso: AB =

7 Definición : Producto de un escalar por una matriz. Para A = (a ij ) M m n (K), λ K, se define el producto λa = B, por λa = (b ij ) con b ij = λa ij. Propiedades A, B M m n (K), α, β K α(a + B) = αa + αb. (α + β)a = αa + βa. (αβ)a = α(βa) = β(αa). α(a C) = (αa) C = A (αc), C M n p (K). 7

8 Definición : Transpuesta de una matriz. Para A M m n (K), se define la transpuesta de A como la matriz A t M n m (K), donde A t = (b ij ) con b ij = a ji, 1 i n, 1 j m. Propiedades A, B M m n (K), α K (A t ) t = A. (A + B) t = A t + B t. (αa) t = α(a t ). (C D) t = D t C t, C M m n (K), D M n p (K). 8

9 Definición : Una matriz cuadrada de n filas y n columnas es una matriz A M n n (K) = M n (K). Se dice que una matriz cuadrada A = (a ij ) es: Triangular superior si a ij = 0, para i > j. Triangular inferior si a ij = 0, para i < j. Diagonal si a ij = 0, para i j. Escalar si es diagonal y a ii = λ, para 1 i n, λ K. Identidad si es escalar y a ii = 1, para 1 i n. Simétrica si A t = A. Antisimétrica si A t = A. 9

10 Observaciones. Denotaremos la matriz Identidad de orden n como I n y cuando no exista confusión la denotaremos por I, además A I = I A = A, A M n (K). Toda Matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz simétrica con una antisimétrica. 10

11 Definición: Matrices Invertibles. Una matriz A M n (K) se dice invertible (o no singular) si existe una matriz B M n (K) tal que A B = I B A = I, donde I denota la matriz identidad. La matriz B se llama inversa de A y se denota por A 1. Si A es invertible, entonces su inversa A 1 es única. Si A y B son invertibles, entonces AB también lo es y (A B) 1 = B 1 A 1. 11

12 Definición: Operaciones Elementales sobre filas Sea A M m n (K). Se llaman operaciones elementales sobre filas sobre A a las siguientes operaciones. Intercambio de dos filas de A, la fila i con la fila j. Se escribe f ij, i, j {1, 2,..., m}. Multiplicar una fila de A por un escalar α no nulo. Para la fila i se escribe αf i, α K. Sumar un múltiplo escalar de una fila a otra. Si a la fila j se suma α veces la fila i, entonces se escribe f j + αf i, α K. 12

13 Teorema. Sea A M m n (K) y F una operación elemental sobre filas cualquiera, entonces F(A) = F(I) A. Corolarios. Si A M m n (K), B M n p (K) y F es una operación elemental sobre filas, entonces F(AB) = F(A) B. Si F 1, F 2,..., F n son operaciones elementales de filas, entonces (F n F 2 F 1 )(A B) = (F n F 2 F 1 (A)) B.

14 Teorema. Toda operación elemental sobre filas es invertible y su inversa es una operación elemental sobre filas del mismo tipo. Definición. Matrices equivalentes por filas. Dos matrices A M m n (K) y B M m n (K) se dicen equivalentes por filas si una se obtiene de la otra por aplicación de una o varias operaciones elementales sobre filas. Teorema. Si A M n (K) es equivalente por filas con I, entonces A es invertible. 14

15 Observaciones. Si A es invertible y F 1,..., F n son operaciones elementales sobre filas que permiten pasar de A a la matriz identidad I, entonces la matriz inversa A 1 se obtiene aplicando, en el mismo orden, las operaciones elementales F 1,..., F n a la matriz I. Para calcular A 1 se efectúan las operaciones elementales sobre filas en la matriz ampliada (A I) hasta obtener la matriz (I B). En tal caso B = A 1. 15

16 Ejemplo. Encuentre la inversa de A = Solución f f 2 3f 1 f 3 4f f 3 4f

17 f 1 + f 2 1 f f 1 + 2f Así f 2 + 3f A 1 =

18 Ejemplo. Encuentre valores de α R para que A = Solución 1 α α f 23 f 2 2f 1 f 3 f 1 1 α α α 1 α α 1 0 2α 1 α α 5 1 α α f 3 f 2 21f 3 + (2α + 1)f 2 Resolviendo 2α 2 4α + 30 = 0. Tenemos que A es invertible si y sólo si, α 3 y α 5. sea invertible. 1 α 1 0 2α 1 α α 12 1 α α α 2 4α

19 Notación. Si A M m n (K), entonces designamos por A ij M m 1 n 1 (K) a la matriz obtenida de A eliminando la fila i y la columna j. Definición. Determinante. Se llama Función determinante sobre K a la función det : M n (K) K, A det(a), tal que: Si n = 1 y A = (a), entonces det(a) = a. n Si n N, n > 1, entonces det(a) = ( 1) i+j a ij det(a ij ), para cualquier i = 1, 2,..., n. j=1 19

20 Notación. También se escribe det(a) = A. Propiedades. Para A M n (K) se tiene. Si A tiene una fila nula, entonces det(a) = 0. Si A es una matriz triangular, entonces det(a) = det(a t ) = det(a). n a ii. i=1 Si F es una operación elemental sobre filas que intercambia dos filas de A, es decir, B = F(A), entonces det(b) = det(a). Si F es una operación elemental sobre filas que multiplica una fila de A por un escalar α, es decir, B = F(A), entonces det(b) = αdet(a). 20

21 Si F es una operación elemental sobre filas que suma un múltiplo escalar α de la fila i a la fila j, es decir, B = F(A), entonces det(b) = det(a). Si A tiene dos filas iguales, entonces det(a) = 0. Si una fila de A es combinación lineal de otras filas de A, entonces det(a) = 0. det(a B) = det(a) det(b). Observación. Dado que det(a t ) = det(a), se tiene que todas las propiedades indicadas también valen para las columnas. 21

22 Definiciones. Sea A M n (K). Se llama Menor de un elemento a ij al determinante de la matriz A ij, es decir es el escalar det(a ij ). Se llama Cofactor de un elemento a ij al escalar c ij = ( 1) i+j det(a ij ). Si c ij es el cofactor del elemento a ij, entonces n a ij c ij = det(a), para cualquier i = 1,..., n. j=1 n a ij c kj = 0, k i, para cualquier i = 1, 2,..., n. j=1 22

23 Ejemplo. Calcular A = Solución. A = (+1) Se procedera por la tercera fila = ( 1) = = 2 23

24 Se llama Matriz de cofactores de la matriz A a la matriz que contiene los cofactores de cada elemento a ij. Se escribe cof(a) = A c. Se llama Matriz Adjunta de la matriz A a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores. Se escribe adj(a) = (A c ) t. Teoremas. A es inversible sí y sólo sí det(a) 0. Si A M n (K) y det(a) 0, entonces A 1 = 1 det(a) adj(a). 24

25 Definición. Rango de una matriz. Sea A M m n (K). Se llama rango de A al orden de la mayor submatriz cuadrada de A con determinante no nulo. Se escribe r(a). Observaciones. Si A y B son equivalentes por filas, entonces r(a) = r(b). Una matriz A M m n (K) se dice escalonada por filas si el primer elemento no nulo de cada fila de A está a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. El número de filas no nulas de cualquier matriz escalonada equivalente por filas con A es igual a r(a). 25

26 Ejemplo Sea A = Notemos que:. [A I 3 ]

27 En Consecuencia, A 1 existe y es definida por: A 1 = /2 5 1/2 =

28 Alternativamente, como det(a) = 86 0, la inversa de A existe y A 1 = 1 det(a) Adj(A), es decir: A 1 =

29 Ejemplo Sea entonces: Como r(a) min{n 0 de filas de A, N 0 de columnas de A} = = 12 0 se tiene que 3 r(a)

30 Aplicando, operaciones elementales a A, se tiene: A Luego no existe ningún subdeterminante de A de orden 4 distinto de cero, en consecuencia r(a) =

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