PROGRAMA INSTRUCCIONAL ASIGNATURA :CÁLCULO II. PROGRAMA: Licenciatura en Ciencias Matemáticas

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1 UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁREA DE CÁLCULO Y ANÁLISIS PROGRAMA INSTRUCCIONAL ASIGNATURA :CÁLCULO II PROGRAMA: Licenciatura en Ciencias Matemáticas LAPSO

2 ASIGNATURA: Calculo II CODIGO: 2125 ÁREA CURRICULAR: Formación Profesional SEMESTRE: Segundo(II) CARÁCTER: Obligatorio PRELACION: 1116 NÚMERO DE HORAS: Teóricas 3; Prácticas 2 FECHA DE ÚLTIMA MODIFICACIÓN: FECHA DE ELABORACIÓN: COORDINADOR: Dr. Eibar Hernández DOCENTES: Lic. Miguel Vivas Barquisimeto, Abril

3 FUNDAMENTACIÓN El cálculo como herramienta de la Matemática es la entrada a casi todas las carreras Científico- Tecnológicas, en particular para estudiantes de la Licenciatura en Ciencias Matemáticas. El cálculo es la columna vertebral de su formación. En este curso de Cálculo II, ubicado en el área curricular de formación profesional, se hace uso de conceptos previamente vistos como: límite, continuidad, derivadas de una función de una variable; para presentar otros como la integración de una función y sus aplicaciones. También se presenta la regla de L'Hôspital como herramienta para calcular formas indeterminadas y aplicar tales cálculos a la determinación de la convergencia de integrales impropias. PROPÓSITO El curso de cálculo II, tiene como propósito dos cosas: 1) completar la formación básica teórica y práctica en el cálculo de una variable, presentando la teoría de integración y sus aplicaciones. 2) Presentar la regla de L'Hôspital como herramienta para calcular formas indeterminadas y aplicar tales cálculos a la determinación de la convergencia de integrales impropias. La experiencia en la enseñanza de estos temas a este nivel, muestra que los estudiantes no tienen la madurez requerida para hacer uso de un estudio formal y riguroso, debido a esto se hace énfasis en el cálculo, dejando algunas demostraciones para los cursos de análisis. OBJETIVOS GENERALES 3

4 Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: 1. Relacionar el cálculo diferencial e integral. 2. Interpretar el concepto de integral indefinida en la resolución de problemas 3. Resolver algunas integrales mediante el manejo de técnicas de integración. 4. Resolver problemas que conduzcan al cálculo de integrales definida aplicando el 1er y 2do teorema fundamental del cálculo 5. Resolver ecuaciones diferenciales de variable separables, así como algunos modelos exponenciales. 6. Resolver límites mediante la Regla de L Hôspital. 7. Calcular integrales impropias a través de la definición y entender el concepto de convergencia. 8. determinar la convergencia de integrales impropias. Utilizando las herramientas estudiadas 9. Realizar investigación documental mediante la consulta de bibliografía especializada. 4

5 TEMA I: La Diferencial y la antiderivada Tiempo estimado: 10 horas Objetivo terminal: Resolver problemas relativos a la diferencial y calcular la antiderivada de una función. Aplicar la definición de la diferencial en resolución de problemas relativos a ésta. Interpretar el significado geométrico y numérico de la diferencial y de la derivada como primera aproximación lineal de una función. Aplicar el concepto la antiderivada o integral indefinida de una función calculando justificando y deduciendo algunas fórmulas básicas Calcular integrales indefinidas mediante las técnicas de cambio de variables e integración por partes. La Diferencial, definición, significado geométrico. Formulas diferenciales, la antiderivada y sus propiedades. Regla de la cadena para la antiderivada (Integración por cambio de variable). Formula de la integral de la función exponencial y de integrales que conducen a la función logaritmo. Método de integración por partes. Exposición por parte del profesor. Matemáticas en el contexto. Dibujos a mano alzada. Recursos: libros de texto, pizarras, tiza, marcadores, retroproyectores. TEMA II: La integral definida Objetivo terminal: Calcular la integral definida como 5

6 Tiempo estimado: 8 horas limite de una suma de Riemann y mediante el 2do teorema fundamental del calculo, además de área bajo una curva. Notación sigma, suma de Riemann. Área bajo una curva. Propiedades de la integral definida. Aplicar las Definiciones de partición de un intervalo, norma de una partición, notación sigma y propiedades en la resolución de problemas. Calcular el área bajo una curva. Calcular la integral definida como limite de sumas de Riemann. Aplicar los Teoremas fundamentales del Cálculo Integral en la resolución de problemas 1ro y 2do teorema fundamental del cálculo. Exposición por parte del profesor. Matemáticas en el contexto. Dibujos a mano alzada. Recursos: libros de texto, pizarras, tiza, marcadores, retroproyectores. TEMA III: Funciones Trascendentes. Tiempo estimado: 10 horas Objetivo terminal: Familiarizar al estudiante con la función logaritmo natural, la exponencial, las funciones hiperbólicas y sus respectivas inversas. Utilizar la integral para definir la función logaritmo natural Calcular la derivada de la función logaritmo natural. Definir la función logaritmo en base arbitraria y su derivada. Utilizar la Definición de función inversa para definir exponencial Calcular derivadas mediante diferenciación logarítmica. Calcular derivadas de funciones inversas La función logaritmo natural y su derivada. La función exponencial y su derivada. Formulas de cambio de base. Demostración de las fórmulas dadas en el tema I sobre las integrales de la exponencial e integrales que involucran la función logaritmo. Funciones Hiperbólicas e Hiperbólicas inversas, así como sus respectivas derivadas. Diferenciación Logarítmica. Derivadas de funciones trigonométricas inversas. Exposición por parte del profesor. Matemáticas en el contexto. Dibujos a mano alzada. Recursos: Libros de texto, pizarras, tiza, marcadores, retroproyectores. 6

7 TEMA IV: Otras técnicas de integración Objetivo terminal: Manejar con destreza técnicas de Tiempo estimado: 15 horas integración y resolver ecuaciones diferenciales de variables separables. Utilizar las técnicas de integración para resolver integrales de funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. Utilizar la integración por sustitución trigonométrica, integrales hiperbólicas, integración por fracciones parciales y sustituciones diversas. Integrales de funciones trigonométricas y sus inversas. Integración por sustitución trigonométrica. Integrales Hiperbólicas. Integración por fracciones parciales. Sustituciones diversas. Exposición por parte del profesor. Matemáticas en el contexto. Recursos: libros de texto, pizarras, tiza, marcadores y retroproyectores. TEMA V: Aplicaciones de la integral definida. Tiempo estimado: 10 horas Objetivo terminal: Entender las principales aplicaciones de la integral para el cálculo de área y volúmenes de sólidos de revolución. Calcular el área entre dos curvas. Interpretar y demostrar el teorema del valor medio para integrales. Calcular el volumen de un sólido de revolución mediante el método del disco, método de la arandela y el método de la corteza cilíndrica. Calcular la longitud de arco de una curva rectificable. Resolver ecuaciones diferenciales por separación de variables. Resolver problemas que involucren algunos modelos exponenciales. Área entre dos curvas, teorema del valor medio para integrales. Volumen de un sólido de revolución, método del disco, método de la arandela y de la corteza cilíndrica. Longitud de arco de una curva rectificable. Ecuaciones diferenciales de variables separables. Modelos exponenciales. Torbellino de ideas. Recursos: Libros de texto, pizarras, tiza, marcadores. 7

8 TEMA VI: Formas indeterminadas, Regla de L'Hôspital e integrales impropias. Tiempo estimado: 15 horas Objetivo terminal: Calcular limites mediante la regla de L'Hôspital, calcular integrales impropias y determinar su convergencia. Identificar y clasificar las diferentes formas indeterminadas. Demostrar la regla de L'Hôspital para las formas indeterminadas 0/0 e /. Interpretar la regla de L'Hôspital. Y algunas de sus versiones utilizándolas en el cálculo de límites. Definir integral impropia de 1ra, 2da y 3era especie. Interpretar algunos criterios de convergencia para integrales impropias ( comparación directa y paso al límite) utilizándolos en la resolución de problemas Formas indeterminadas 0/0, /, otras formas indeterminadas y su reducción a la forma 0/0. La Regla de L'Hôspital. Integrales impropias con limites de integración infinitos, integrales impropias con singularidades del integrando en el intervalo de integración. Algunos criterios de convergencia. Torbellino de ideas. Recursos: Libros de texto, pizarras, tiza, marcadores. 8

9 PLAN DE EVALUACIÓN SUGERIDO Parcial Semana Contenido Instrumento Tipo de Evaluación Ponderación I 7 Temas I y II Prueba Objetiva 14/10/11 Sumativa 30% II 10 Tema III Prueba Objetiva 04/11/10 Sumativa 15% 13 Tema IV hasta Sustituciones Diversas Prueba Objetiva 18/11/11 Sumativa 20% III 16 Ecuaciones Diferenciales (Tema IV) hasta Tema VI. Prueba Objetiva 19/01/12 Sumativa 35% 9

10 BIBLIOGRAFIA [1] Apóstol, Tom. Calculus. Tomos I. F.E.I., Bogotá, 1981 [2] Kreider, D; Kuller, R y Osterberg, D. Ecuaciones Diferenciales. F.E.I., Bogotá, 1973 [3] Purcell, E. El Cálculo. Prentice Hall, México, 2001 [4] Zill, D. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, G. Editorial Iberoamericano, México, 1981 [5] Kitchen Jr., Joseph. CÁLCULO, McGraw-Hill. México, [6]Sáenz Jorge, CALCULO INTEGRAL para Cs. e Ing., Hipotenusa, Barquisimeto, [7] Arias S., Nicolás, Tópicos para un tercer curso de Matemáticas, Barquisimeto, 1988 [8] Stewart, James, Cálculo. Conceptos y contexto.. México, [9] Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. México Nota: Los temas I y II pueden tratarse como los Cáp. 9 y 11 en [6], el tema III puede seguirse por el Cáp. 8 en [6] y por [1], El tema IV puede tratarse como en el Cáp. 10 de [ 6], El tema V puede tratarse como en el Cáp. 11 y 12 de [6], para el tema VI recomendamos [1] y [7], sugerimos además completar con la bibliografía indicada y con notas de clase y ejercicios. Recursos en Internet: 10

11 (Integral definida ejemplo sencillo) (Integración por partes) 11