Ecuaciones de 1 er y 2º grado

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1 Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (números y letrs) seprds por un signo de iguldd. Pueden precer de dos tipos diferentes: ) Identidd: cundo l iguldd es ciert pr culquier vlor de ls vribles b) Ecución: cundo l iguldd sólo se cumple pr lgunos vlores de ls letrs 4 En nuestro cso nos interesn más ls ecuciones. Por eso vmos ver como se conocen los elementos de ells: Se llmn miembros de l ecución cd un de ls epresiones lgebrics que hy cd ldo de l iguldd. Cd sumndo de un ecución se llm término. Los números se denominn términos independientes. Ls incógnits son ls letrs o vribles que figurn en los términos (en estos csos precerá l letr ). Resolver un ecución es encontrr los vlores numéricos (soluciones) de l incógnit que verificn l iguldd. El grdo de un ecución es el eponente máimo con el que figur l incógnit después de relizr ls operciones que se indicn en ell. Se dice que dos o más ecuciones son equivlentes si tienen ls misms soluciones (como mucho el número de soluciones coincide con el del grdo de l ecución). Pr obtener ecuciones equivlentes bst con sumr, restr, multiplicr o dividir por los mismos números o epresiones en mbos miembros de l iguldd. Por ejemplo: 6 cuy solución es es equivlente 6 9 que tmbién equivle Ecuciones de primer grdo Un ecución de primer grdo es un iguldd lgebric que se puede epresr de l form b, donde y b pueden ser números reles. Este tipo de ecuciones tendrán un únic solución cundo el vlor de se distinto de, en cso contrrio, no tiene solución (siempre que b no se ). Ejemplos de ecuciones de primer grdo son:

2 Pr resolver este tipo de ecuciones vmos eplicr los psos del método generl de resolución, los cules se usrán según l complejidd que presente l ecución. Los psos seguir son los siguientes: 1) Quitr denomindores, clculndo el mcm de los denomindores y multiplicndo mbos miembros de l ecución por él. Por ejemplo, dd l ecución su mcm serí 1 por lo que se obtendrí y operndo se obtiene ( ) ( ) ( ) ) Eliminr préntesis, teniendo en cuent que el signo que precede l préntesis es negtivo, hemos de cmbir el signo todos los términos del interior de él. Con el ejemplo nterior relizmos ls multiplicciones y obtenemos ) Trnsponer términos, llevndo los vlores con un miembro y los términos independientes l otro. Hemos de tener en cuent pr hcer esto lo siguiente: si un término est sumndo o multiplicndo ps hci el otro miembro restndo o dividiendo. Siguiendo con el ejemplo nterior obtenemos ) Reducir los términos semejntes en cd miembro, relizndo ls operciones que nos prezcn. Siguiendo con el ejemplo se obtiene ( sumndo ls y los números) 19 1 ) Despejr l incógnit y hllr l solución. Pr ello hemos de psr el coeficiente de l que est multiplicndo l otro miembro, donde psrí dividiendo, obteniendo sí l solución de l ecución 1 l cul no se puede simplificr 19 6) Comprobr que l solución obtenid es l correct, pr lo que hemos de sustituir el vlor de l obtenid en l ecución de prtid se sustituye por el vlor obtenido y sí

3 se relizn ls operciones y obtenemos { hllmos el mcm} ( simplifico) lo buscdo Ecuciones de segundo grdo Un ecución de segundo grdo con un incógnit es un iguldd lgebric que se puede epresr de l form b c, donde, b y c son números reles y es distint de. Según los vlores de los coeficientes, b y c, ls ecuciones de segundo grdo pueden ser complets o incomplets (cundo b o c son nulos). Ejemplos de ests ecuciones son: ( ) 4 8 Un ecución de segundo grdo es complet cundo todos sus coeficientes son distintos de cero. Pr obtener sus soluciones utilizmos l siguiente fórmul: b ± b 4c 1 b b b 4c b 4c sí se obtienen ls dos posibles soluciones Como nos prece un ríz cudrd en el numerdor, solo podremos obtener soluciones reles cundo dicho vlor se no negtivo. De este modo podemos podremos sber cunts soluciones tendremos sin necesidd de hllrls. El rdicndo b 4c se denomin discriminnte y se simboliz por l letr grieg. El número de soluciones o ríces depende del signo del discriminnte. Así pues: b > soluciones dist int s 4c 1 ríz doble < no tiene soluciones reles Un ecución de segundo grdo es incomplet si los coeficientes b o c son cero. Se obtienen sí tres tipos de ecuciones de º grdo incomplets: Si c, l ecución es de l form b, que se resuelve scndo fctor común. ( b) b b

4 Si b, l ecución es de l form c, que se resuelve despejndo l incógnit. c c ± c Si b y c, l ecución es de l form, que posee l ríz doble..- Relción de ejercicios 1.- Indic el grdo de cd ecución: ) 4( 9) b) 7 ( 1)( ) 4 c) 1.- Resuelve ests ecuciones de primer grdo: ) 1 b) 7 1 c) 4-1 d) e) ( ) 6 f) ( 8) 6( ) 4 1 g) 7 6 h) 8 1 i) j) l) 7 k) 4( 1) ( 4) Determin el número de soluciones y resuélvels: ) 7 1 b) c) e) 7 f) d) 16 ( ) g) h) i) 4

5 4.- Resuelve por el método más decudo: b) ( )( ) 1 c) ( ) 6 ) 7 d) 1 7 e) 6 f) 1 48 g) ( 1 )( ) h) 4 4 i) Clcul un número tl que su doble y su triple sumn Hll el número que sumdo l cudrdo de su quint prte nos d 6.

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