Régimen transitorio. Respuesta a funciones elementales

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Clara Hidalgo Coronel
hace 7 años
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1 Régie rasiorio Vibració Trasioria: Desaparece co el paso el iepo, pero puee ser iporae e respuesa a fuerzas o perióicas (golpes, explosioes...). Respuesa a fucioes eleeales c () x ució escaló ució rapa () = Expoecial Decreciee ució ipulso Pricipio e superposició: Siseas ecáicos lieales: Acció: () Respuesa: x () Acció: 2 () Respuesa: x 2 () Acció: A ()+B 2 () Respuesa: Ax ()+Bx 2 () Ejeplo aplicació: Coicioes iiciales c x()=x v()=v = x c x()=x v()=v + x c x()= v()= x 2 () () Vibració libre co coicioes iic. Respuesa co sisea e reposo

2 ució escaló Escaló: () < = x + cx + x = Ecuació oviieo: Solució: x () = x () + x () Respuesa peraee: Respuesa rasioria: oe: p x () p = [ ω ω ] x () = e A cos + Ase A h 2 = x y A = x + ξω x 2 Respuesa. Zoas: () ució e coicioes iiciales (2) ució e la fuerza aplicaa (3) Respuesa peraee x + ξωx x () = e x cos+ se + ω ξω e cosω + seω + ω h 2

3 ució Rapa Ecuació e Rapa () < = D Ecuació oviieo: x + cx + x = D 2 D x+ 2ξωx + ωx= x = R+ S Respuesa peraee: p() D cd co: R = y S = 2 Respuesa rasioria: [ ω ω ] x () = e A cos + Ase h 2 cd oe: A = x y cd D A = 2 x + ξω x + ω 2 2 Respuesa rapa: x () = x () + x () = 2 x + ξωx = e x cos+ se + 2 cd cd D D cd cos se e + + Ora fora: x () = x () (superposició) rapa escalo 3

4 ució Expoecial Decreciee Expoecial Decreciee () < = a e x + cx + x = e a Ecuació oviieo: Respuesa peraee: () co: Respuesa rasioria: x = Re p R = a 2 ca + [ ω ω ] x () = e A cos + Ase h 2 Respuesa expoecial ecreciee: x () = x () + x () = 2 x + ξω x = e x cos+ se + a e cosω se 2 + a ca+ a + e 2 a ca+ a 4

5 ució Ipulso <, > + Ecuació Ipulso () = I / + co I = () cosae Si Dela e Dirac: () co δ ( ) = = y + + = Iδ ( ) = δ ( ) = δ ( ) f() = f( ) Ecuació e oviieo: x+ cx+ x = Iδ () p () = Teorea el oeo ciéico x x Aes Despues I x x + VIBRACIÓN LIBRE (subaoriguao): x + ξωx Ie x () = e x cos+ se + se Respuesa a ipulso uiario (h()) cuao I= y sisea e reposo ( x = y x = ): e h () = seω ω 5

6 Respuesa a ipulso () = Iδ ( ) es x () = I h ( ) p ( ) ( ) Ie x () = I h = seω p ( ) ω ( ) () x + ξωx xh = e xcos ( ) + se ( ) Respuesa co coicioes iiciales ( x y ẋ ): ( ) ( ) x () = e x cos + se + se x + ξωx Ie ( ) ( ) ( ) Respuesa a cualquier ució Méoos: - Iegral e covolució o e Duhael - Trasforaa e ourier - Trasforaa e Laplace c - Méoos Nuéricos: * Iegració uérica ireca e la ecuació iferecial. * Diviir fuerza e exciació () e pasos iscreos (escaló o rapa). * Ajuse polioio a serie e puos y iegral e Duhael o rasforaa. x 6

7 Iegral e covolució o Duhael (a) () Se basa e: () es sua e ifiios ipulsos (b) o x() x(τ) x(τ+τ) τ τ+τ τ h(-τ) o τ e Respuesa a ipulso uiario δ(): h () = ω seω E isae τ ipulso iferecial: = ( τ) Respuesa el sisea a ipulso I τ () = Iδ ( ) es xp () = I h ( ) luego respuesa a ipulso I e isae τ: x = I h τ = τ h τ τ ( ) ( ) ( ) ( ) La respuesa coplea () será la sua e la respuesa a oos los ipulsos ifereciales: ( ) = ( ) ( ) x τ h τ τ Iegral e Duhael o Para sisea subaoriguao: ( ) ( τ) ( ) = ( ) ( ) xp τ e se ω τ τ ω o 7

8 Aálisis e frecuecia e la respuesa (Trasforaa e ourier) () ua fució perióica, co perioo T, llaao ω=/t su serie copleja e ourier es: () = = Ce ω i T i i C e () ω ω ω = = e ω T + Respuesa: () ( ω ) co H( ω) = xp = H Ce ω = / ( 2 2 τ ) + i2ξτ i Para fució aperióica se puee cosierar perióica co u perioo ifiio Cóo se rasfora la serie e ourier? Serie ourier Trasf. ourier (T<) (T=) ω ω (iscreo) ω ω (coiuo) ω ω = = T T 8

9 E cosecuecia: T /2 iω ω iω C = C( ω ) = li e () e () T T = T /2 ω () = li Ce = e () e T = iω iω iω iω llaao: ( ω) = e () eeos: iω () = ( ω) e ω (w) es la rasforaa e ourier (T) e () (ω) () Re((ω)) o ω I((ω)) Doiio el iepo Especro Coplejo Coiuo RESPUESTA: + + ω x () = H Ce x () = e H iω iω ( ω) ( ω) ( ω) p T p = H( ω ) H( ω) luego respuesa e el oiio el iepo: + iω xp () = H( ω) ( ω) e ω 9

10 Recorao que la T e X() es X(ω): iω X( ω) = iω Xe () X() = X( ω) e ω Ieificao e la respuesa: X( ω) = H( ω) ( ω) Doe X(ω) es la respuesa e frecuecia (ω) (uerza) Eraa Sisea Mecáico H(ω) ució e Trasferecia X(ω) (Desplaz.) Salia Ese éoo es eos epleao que oros porque para obeer la respuesa e el iepo es ecesario realizar iegrales e cooro e el plao coplejo Relació ere h() y H(w) Ipulso uiario: () δ () = y iω ( ω) = δ() = = e e Resp. ipulso uiario h(): X( ω) = H( ω) ( ω) = H( ω) Luego: iω h () = H( ω) e ω iω H( ω) = he () Relació ipulso uiario y exciació aróica

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