Bloque 5 Análisis de circuitos en régimen transitorio. Teoría de Circuitos

Transcripción

1 Bloque 5 Análisis de circuitos en régimen transitorio Teoría de Circuitos

2 5.1 Análisis de circuitos de primer orden en régimen transitorio

3 Régimen transitorio de los circuitos eléctricos En los capítulos anteriores se han analizado los circuitos en RÉGIMEN PERMANENTE: ESTADO DE EQUILIBRIO impuesto por los parámetros de la red. Ante cualquier maniobra (conmutación / encendido / apagado / fallos / variaciones de la carga...), antes de alcanzar el equilibrio: RÉGIMEN TRANSITORIO Las variables del circuito están sometidas a factores EXPONENCIALES DECRECIENTES cuyos valores dependen de los parámetros del circuito De corta duración (del orden de milisegundos) pero pueden ocasionar problemas en los circuitos y máquinas eléctricas.

4 Régimen transitorio de los circuitos eléctricos Al aplicar los lemas de Kirchhoff a los circuitos con bobinas y condensadores (elementos dinámicos) resultan ecuaciones diferenciales que deben resolver para conocer u, i. Estudiaremos únicamente circuitos de primer orden (=con un solo elemento dinámico) df ( t) a + b f ( t) = dt g( t)

5 Circuito RL serie u + t=t 0 u R R i u L u = u + u R L ur u L = Ri di = L dt di u = Ri+ L Ecuación diferencial de dt primer orden Solución de la ecuación homogénea: Respuesta natural del sistema Solución + Solución particular: Respuesta forzada es la que hemos estudiado hasta el momento

6 Circuito RL Solución de la ecuación homogénea Ri di + L = dt 0 di i R = dt L ln R i = t+ K L ih = Ae R t L Exponencial decreciente con constante de tiempo L/R τ = L R La respuesta natural del sistema está superpuesta a la forzada durante un cierto tiempo

7 Función exponencial decreciente f ( t) = K e t τ f(0+)=k f(inf)=0 f(t) f(0 + )=K Para t= τ f=0,368f(0) (decae un 63,2%) Para t= 5τ fin del transitorio (<1% del valor inicial) ,5 1 1,5 2 2,5 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ t Cuanto menor sea τ, más rápido pasa el transitorio τ es el tiempo que tarda la función f(t) en decaer un 63,2%

8 Circuito RL Solución particular: es la respuesta del sistema a una excitación i = i () t p Solución de la ecuación diferencial: i(t)=i h +i p t τ it () = Ae + i () t Para hallar la constante A hay que imponer una condición de contorno + 0 it0 it ( ) ( ) = La corriente no puede variar bruscamente en el momento de cerrar el interruptor

9 Circuito RL t τ it () = Ae + i () t Aplicando la condición de contorno: it Ae i t t0 τ ( ) = + ( ) ( ( + ) ( + ) ) t0 0 0 A = it i t e τ ( + + ) t t0 0 0 it it i t e i t ( ) τ () = ( ) ( ) + ()

10 Circuito RL Cualquier circuito de primer orden, por complejo que sea se puede sustituir por un circuito como el analizado mediante el cálculo de su equivalente Thevenin u th + t=t 0 u R R th i u L τ = L R th ( + + ) t t0 0 0 it it i t e i t ( ) τ () = ( ) ( ) + ()

11 Simulación conexión de una bobina en continua t=5τ=10ms RP t=τ=2ms 68%RP El conmutador conecta en t=0 τ = L R = = 0.002s

12 Simulación conexión de una bobina en continua Al disminuir la resistencia aumenta la constante de tiempo τ=0.02s

13 Carga y descarga de una bobina Segundo transitorio 1. Antes de cerrar: UL=0 2. Primer transitorio: La bobina se carga y entre sus terminales aparece tensión: por la resistencia circula corriente 2. En régimen permanente UL=0 3. Segundo transitorio: La bobina se descarga por la resistencia (se comporta como una fuente de corriente) Primer transitorio

14 Circuito RC paralelo i N i R R th i C u in = ir + ic i i C R u = Rth du = C dt i N u = + C R th du dt Ecuación diferencial de primer orden ut u u () = h + p Solución de la ecuación homogénea du C dt u + = R th 0 du u 1 = R C th dt CRth u h Ae t τ = CR = th

15 Circuito RC Solución particular u = u () t p Solución de la ecuación diferencial: i(t)=i h +i p condición de contorno t τ ut () = Ae + u () t + 0 ut0 ut ( ) ( ) = La tensión en un condensador no puede variar bruscamente

16 Circuito RC t τ ut () = Ae + u () t Aplicando la condición de contorno: t0 τ ( ) = + ( ) ut Ae u t ( ( + ) ( + ) ) t0 0 0 A = ut u t e τ ( + + ) t t0 0 0 ( ) τ () = ( ) ( ) + () ut ut u t e u t τ = CR th

17 Carga de un condensador El condensador mantiene su carga En t=0s se cierra el interruptor y en t=0.2s se vuelve a abrir

18 Carga de un condensador Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto durante el transitorio circula corriente

19 Carga de un condensador Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto durante el transitorio circula corriente

20 Carga y descarga de un condensador Apertura interruptor Al abrir el interruptor el condensador se descarga por la resistencia de 5 Ω

21 Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio 1. Dibujar el circuito para t<t 0 y calcular el valor de la corriente en régimen permanente en la bobina o de la tensión en régimen permanente en el condensador. + 0 = it0 + 0 = ut0 it ( ) ( ) ut ( ) ( ) 2. Dibujar el circuito para t>t 0 y calcular la Rth vista en bornes de la bobina o del condensador. Calcular τ L τ RL = R th τ = CR RC th

22 Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio 3. Calcular la respuesta en régimen permanente y particularizar para t=t 0 4. Escribir la solución completa ( + + ) t t0 0 0 ( ) τ () = ( ) ( ) + () it it i t e i t ( + + ) t t0 0 0 ( ) τ () = ( ) ( ) + () ut ut u t e u t 5. Calcular otras variables de interés del circuito