SOLUCIONES: Identificamos los parámetros de la ecuación general: f (x)= 1 3 2x +2 ; K = 1 3 ;a=2;b=2

Transcripción

1 SOLUCIONES:.- Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales indicando la asíntota y el punto de corte con el eje OY. Una vez dibujada la gráfica, analiza la función: a) f (x)= 3 2x +2 Identificamos los parámetros de la ecuación general: f (x)= 3 2x +2 ; K = 3 ;a=2;b=2 Esto nos permite esbozar aproximadamente la gráfica de la función. Por ser a > ; 2 x es creciente, y por ser 0< K <, la gráfica de 2 x estará desplazada hacia la derecha. Por ser b>0, estará desplazada además 2 unidades hacia arriba por tanto, aproximadamente, sabemos que la gráfica tendrá esta forma: figura Ahora, para concretar, obtengamos la asíntota, el punto de corte y demos algún valor más: Asíntota horizontal: { y = b}, es decir: {y = 2 } Punto de corte con OY: x=0 y= = 3 +2= 3 +2= = 7 3 ( 0, 7 3) Damos más valores: x= y= = 3 2+2= = =8 3 (, 8 3) x=2 y= = 3 4+2= = = 0 3 (, 0 3 ) x=3 y= = 3 8+2=8 3 +2= =4 3 (, 4 3 ) Llevamos la asíntota y los puntos obtenidos a los ejes de coordenadas y esbozamos la gráfica teniendo en cuenta que debe ajustarse a lo estimado anteriormente (figura )

2 x b) f (x)= ( Identificamos los parámetros de la ecuación general: x f (x)= ( ; K =; a= ;b= Esto nos permite esbozar aproximadamente la 2 gráfica de la función. Por ser a < ; 0,5 x es decreciente, y por ser b < 0, estará desplazada además unidad hacia abajo por tanto, aproximadamente, sabemos que la gráfica tendrá esta forma: figura Ahora, para concretar, obtengamos la asíntota, el punto de corte y demos algún valor más: Asíntota horizontal: { y = b}, es decir: {y = - } Punto de corte con OY: 0 x=0 y= ( = =0 (0, 0) Damos más valores: x= y= ( x=2 y= ( x= y= ( = 2 = 2 (, 2 = 4 = 3 4 (, 3 4) =2 = (,) Llevamos la asíntota y los puntos obtenidos a los ejes de coordenadas y esbozamos la gráfica teniendo en cuenta que debe ajustarse a lo estimado anteriormente (figura )

3 2x c) f (x)= 2 ( + 3) Identificamos los parámetros de la ecuación general: ] f (x)= 2 ( 2x 3) += 2 [( 2 x 3) +=( ( x +; K = 2; a= 9) 9 ;b= Esto nos permite esbozar aproximadamente la gráfica de la función. Por ser a < ; a x es decreciente, y por ser K negativo, la gráfica además de desplazada horizontalmente estará reflejada respecto de la asíntota, siendo finalmente creciente. Además, como b > 0, estará desplazada además unidad hacia arriba por tanto, aproximadamente, sabemos que la gráfica tendrá esta forma: figura Ahora, para concretar, obtengamos la asíntota, el punto de corte y demos algún valor más: Asíntota horizontal: { y = b}, es decir: {y = } Punto de corte con OY: x=0 y=( ( Damos más valores: 9) x= y=( ( x= y=( ( 9) 0 += 2+= (0, ) 9) += 2 9 += 7 9 (, 7 9) +=( 9+= 7 (, 7) Llevamos la asíntota y los puntos obtenidos a los ejes de coordenadas y esbozamos la gráfica teniendo en cuenta que debe ajustarse a lo estimado anteriormente (figura )

4 d) 2 f (x)=4 3 x+ e) f (x)=e 2 x 3 3 (hechos en clase) 2.- Expresa como una función exponencial el Dinero que tendrás en la cuenta (f(x)) en función de los años que han pasado desde que lo ingresaste (x) si lo depositas a un interés compuesto del 8 %, Para un ingreso inicial de K euros. Una vez expresada la función, calcula cúal será el capital inicial necesario (K) para poder sacar al cabo de 20 años ( sustituye f(x) por 0000, x por 20 y despeja K). a) f (x)=k (,08) x b) f (20)= =K (,08) 20 K= 0000 =245,48 20 (,08) 3.- El seguro de la comunidad de vecinos tiene una clausula de revalorización de la cuota anual del 6 %. Si el año de firma del contrato, la cuota anual era de 500 Euros. Se pide. a) Expresa como función exponencial la cuota (f(x)) en función del número de año desde la firma del contrato (x). b) dibuja la gráfica que representa como sube la cuota por cada año. c) Si el contrato incluye una cláusula en la que se indica que la cuota nunca puede superar 000 (es decir cuando supere 000 se deja en 000 y ya se mantiene así) a partir de qué año ya no subirá más la cuota? a) f (x)=500 (,06) x b) K= 500; a =,06 > (creciente); b = 0. El dominio ahora es los reales positivos ya que no tiene sentido hablar de años negativos. Valores: x=0 ; y = 500 x = ; y = 530 x = 0; y = 500,06 0 = 895,42 x = ; y = 500,06 = 949,5 x = 2; y = 500,06 2 = 006, Gráfica:

5 c) Dado que el año 2, la cuota debería ser 006,0 Euros pero no puede pasar de 000, entonces a partir del año 2, la cuota se quedará fija en 000 : 4.- Una bacteria se reproduce por mitosis cada hora. De manera que si comenzamos con una población de 0 bacterias, en una hora tendremos 20, en dos horas 40, en tres horas 80,... Expresa como función exponencial el número de bacterias (f(x)) en función de las horas que han pasado desde el comienzo(x). Dibuja la gráfica. x = 0 horas; y = 0 bacterias x = hora; y = 0 2 bacterias x = 2 horas; y = bacterias f(x)= 0 2 x Gráfica:

6 5.- La población de un pueblo disminuye un 20% cada año. Si actualmente el pueblo cuenta con habitantes. Expresa como función exponencial el número de habitantes (f(x)) en función de los años que pasen desde ahora (x). Dibuja la gráfica. Cuántos habitantes habrá dentro de 0 años? a) Diminución del 20 % significa que cada año se multiplica por (- 0, = 0,8: f(x)= ,8 x b) Gráfica. Decreciente, punto incial (0, 7500) Valores: x = ; y = 6000 x = 5 ; y = 2458 x= 0 ; y = 805 c) Dentro de 00 años habrá solo f(0) = 805 habitantes.