2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo"

Transcripción

1 2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un plicción : X [, es un norm en el espcio vectoril X si stisfce ls siguientes propieddes: 1. > si x 2. x + y + y (propiedd tringulr 3. λx = λ pr todo x, y X, λ R. Tod norm en un espcio vectoril define un distnci entre puntos de dicho espcio: d(x, y = x y que tiene ls propieddes 1. d(x, y = x = y 2. d(x, y = d(y, x (simetrí 3. d(x, z d(x, y + d(y, z (propiedd tringulr. Cundo el espcio métrico (X, d sí obtenido es completo (es decir, tod sucesión de Cuchy en X es convergente, se dice que el espcio normdo (X, es un espcio de Bnch. Proposición 2. Se I = [, b] un intervlo de R, y consideremos el espcio vectoril de ls funciones continus de I en R n, que denotremos C(I, R n, con l norm = sup x(t : t I}. El espcio (C(I, R n, es un espcio de Bnch. Definición 3. Se dice que un plicción F de un espcio métrico X en sí mismo es contrctiv si es λ-lipschitz pr lgún λ [, 1, es decir si pr todo x, y X, siendo λ [, 1. d(f (x, F (y λd(x, y Teorem 4 (de l plicción contrctiv. Se (X, d un espcio métrico completo, y se F : X X un plicción contrctiv (con constnte de Lipschitz λ [, 1. Entonces existe un único punto fijo x X (es decir un único punto x tl que F (x = x, que demás stisfce d(f n (x, x λn d(f (x, x 1 λ pr todo x X. Demostrción: Elíjse culquier x X, y defínse x n = F n (x. Usndo l contrctividd de F y l desiguldd tringulr, se comprueb que d(x m, x n λn 1 λ d(x 1, x pr todos m > n y por tnto (x n es de Cuchy, luego converge un punto x, que puede verse que es el único punto fijo de F. 1

2 2 CAPÍTULO 2. Integrción de funciones con vlores en R n. Si g : [, b] R n, g = (g 1,..., g n es un función continu, definiremos su integrl como el vector formdo por ls integrles de sus funciones coordends, es decir ( g(tdt := g 1,..., g n. Usndo el hecho de que = supt (x : T L(R n, R, T = 1} pr todo x R n (ver l hoj de ejercicios de este cpítulo, se comprueb sin dificultd que g(tdt g(t dt, culquier que se l norm considerd en R n (recuérdese tmbién que l norm de un funcionl linel T L(R n, R se define por T = supt (x : 1}. Tmbién se comprueb fácilmente, usndo el teorem fundmentl del cálculo coordend coordend, que si g : [, b] R n es de clse C 1 entonces g(t = g(t + t g (sds. Existenci y unicidd del problem de vlor inicil en R n. Se f C(I U, R n (donde U es un bierto de R n Se comprueb, usndo el teorem fundmentl del cálculo, que el problem de vlor inicil x(t = x (1 es equivlente l ecución integrl x(t = x + t f(s, x(sds, (2 y en prticulr (1 tiene solución únic si y sólo si (2 tiene solución únic. Teorem 5 (Picrd Lindelöf.. Se f C(I U, R n, donde U es bierto en R n, y x U, t I. Supongmos que f es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t. Entonces existe un entorno de t en el cul (1 tiene solución únic. Demostrción: Puede suponerse t =. Aplicr el teorem de l plicción contrctiv l operdor F : C C definido por F (x(t = x + f(s, x(sds, donde C = B(x, δ es un bol cerrd en X = (C([, T ], R n,, con δ > y T > elegidos de form decud. Dependenci de l condición inicil. Desigulddes de Gronwll. Lem 6 (Desiguldd de Gronwll generlizd. Supongmos que ψ(t stisfce con β(t. Entonces se tiene ψ(t α(t + ψ(t α(t + β(sψ(sds, t [, T ], ( α(sβ(s exp β(rdr ds, t [, T ]. s

3 Si demás α es creciente entonces se tiene ( ψ(t α(t exp Corolrio 7. Si ψ stisfce donde b, entonces ψ(t + CAPíTULO 2. 3 β(sds, t [, T ]. (b ψ(s + cds, t [, T ], ψ(t e bt + c b (ebt 1. Teorem 8 (Dependenci continu respecto de f. Sen f, g C(I U, R n, y supongmos que f es Lipschitzin. Si x(t e y(t son ls respectivs soluciones de los p.v.i. y (t = g(t, y(t e x(t = x y(t = y, entonces se tiene que x(t y(t x y e L t t + M L ( e L t t 1, donde L = Lip(f, y M = sup (t,x I U f(t, x g(t, x. Demostrción: Puede suponerse t =. Se tiene x(t y(t x y + f(s, x(s g(s, y(s ds. Aplicr l desiguldd tringulr pr cotr el integrndo por L x(s y(s +M y plicr el corolrio nterior. Definición 9. Supongmos que f C(I U, R n es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t. Pr cd x U, denotremos por φ(t, x l únic solución locl del problem de vlor inicil x(t = x A l plicción (t, x φ(t, x se le llm flujo socido l ecución diferencil. Corolrio 1 (Dependenci continu de l condición inicil. Si f C(I U, R n es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t, entonces φ(t, x φ(t, y x y e L t t. En prticulr ls soluciones de dependen continumente del dto inicil x( = x. De hecho vmos probr que el flujo φ(t, x es loclmente Lipschitz. Teorem 11. Supongmos que f C(I U, R n es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t. Entonces, lrededor de cd (t, x I U puede encontrrse un compcto de l form J B = [t δ, t + δ] B(x, δ tl que el flujo φ(t, x está bien definido y es Lipschitz en este conjunto. De hecho donde φ(t, x φ(s, y x y e L t t + s t M pr todo (t, x, (s, y J B L = sup (t,x (t,y J B f(t, x f(t, y, y M = máx f(t, x. x y (t,x J B

4 4 CAPÍTULO 2. Indicción: estudir l demostrción del teorem de Picrd-Lindelöf pr encontrr un δ decudo, y observr que φ(t, x φ(s, y φ(t, x φ(t, y + φ(t, y φ(s, y x y e L t t + s f(r, φ(r, ydr. De hecho, sumiendo que f C 1 (I U, R n, probremos continución que el flujo (t, x φ(t, x (bien definido loclmente en un entorno de cd (t, x es un plicción de clse C 1. Teorem 12 (de diferencibilidd del flujo, locl.. Supongmos que f C k (I U, R n, con k 1. Entonces, lrededor de cd (t, x I U puede encontrrse un bierto de l form (t δ, t + δ B(x, δ tl que el flujo φ(t, x está bien definido y es de clse C k en este conjunto. Demostrción: completr los siguientes psos. 1. Suponer primero que φ(t, x es diferencible respecto de x y comprobr que en tl cso su derivd ( φ/ (t, x necesrimente stisfce l primer ecución vricionl y (t = A(t, xy(t, donde A(t, x = f (t, φ(t, x, (EV 1 y( = I, que es un ecución linel (con coeficientes vribles equivlente l ecución integrl y(t = I + t A(s, xy(sds, donde I es l identidd en el espcio de mtrices n n (nturlmente isomorfo R n2. 2. Comprobr que l nterior ecución integrl tiene solución únic y(t pr (t, x en un entorno J B de (t, x en el que el flujo φ(t, x está bien definido y es continuo. Nuestro objetivo es probr que φ(t, x es diferencible respecto de x, y que l derivd de φ respecto de x en (t, x es precismente l solución y(t de (EV Añdiendo t ls vribles dependientes y l ecución t = 1 nuestro sistem, se obtiene un ecución equivlente en R n+1 que es utónom. Por tnto, podemos suponer sin pérdid de generlidd que nuestr ecución es utónom (es decir x (t = f(x(t y que t =. 4. Queremos probr que φ(t, x es diferencible en un punto x 1 B. Por fcilitr l notción supondremos que x 1 =, y definiremos φ(t, x φ(t, ψ(tx θ(t, x =, en donde ψ(t denotrá l únic solución l ecución (EV 1 con condición inicil y( = I. El objetivo entonces es probr que lím x θ(t, x =. 5. Comprobr que puede escribirse f(y f(x = f (x(y x + R(y, x (y x, con lím y x R(y, x = uniformemente pr x en un entorno de. 6. Comprobr que θ (t, x = 1 Integrr pr obtener φ(t, x φ(t, (f(φ(t, x f(φ(t, A(t, ψ(tx = A(t, θ(t, x + R(φ(t, x, φ(t,. θ(t, x R(x + A(s, θ(s, x ds, con R(x = e LT T R(φ(s, x, φ(s, ds, J = [ T, T ]. 7. Aplicr l desiguldd de Gronwll pr deducir que ( T θ(t, x R(x exp A(s, ds y concluir que lím x θ(t, x =. Esto muestr que φ(t, x/ existe y es igul ψ(t. 8. Usndo dependenci continu de l ecución (teorem 8 pr l ecución vricionl (EV 1, comprobr que ls derivds prciles φ φ (t, x, y (t, x t son continus, y por tnto φ(t, x es de clse C 1 en J B.

5 CAPíTULO Usr inducción pr trtr el cso k 2. Observción 13. Usndo el método de ls proximciones sucesivs puede drse un demostrción más simple del teorem nterior en el cso k =. En efecto, consideremos el sistem y (t = f (t, x(ty(t (es decir, el sistem formdo por l ecución y l primer ecución vricionl, con ls condiciones iniciles x( = x, y( = I. Si f C 2 entonces, por el teorem de Picrd-Lindelöf, este sistem tiene solución únic (x(t, y(t, l cul convergen ls proximciones sucesivs definids por (φ n (t, x, ψ n (t, x, donde φ n+1 (t, x = x + f(s, φ n(s, xds ψ n+1 (t, x = I + f (s, φ n(s, xψ n (s, xds, con φ (t, x = x, ψ = I. Observr que φ / = ψ, y comprobr por inducción que φ n / = ψ n. Concluir que φ(t, x = lím n φ n (t, x es diferencible respecto de x, con φ/ = ψ(t, x := lím n ψ n (t, x. Corolrio 14 (Dependenci diferencible de prámetros. Supongmos que f depende de un prámetro λ Λ R p, y consideremos el p.v.i. x (t = f(t, x(t, λ x(t = x, cuy solución denotremos por φ(t, x, λ. Supongmos que f C k (I U Λ, R n. Entonces lrededor de cd (t, x, λ existe un entorno tl que φ(t, x, λ está bien definid y es de clse C k en ese entorno. Demostrción: considerr el sistem λ (t =.

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

El Teorema de Arzela-Ascoli Rodrigo Vargas

El Teorema de Arzela-Ascoli Rodrigo Vargas El Teorem de Arzel-Ascoli Rodrigo Vrgs Definición 1. Sen M, N espcios métricos y E un conjunto de plicciones f : M N. El conjunto E se dice equicontinuo en el punto M cundo, pr todo ε > eiste δ > tl que

Más detalles

Capítulo 2. Espacios normados Introducción

Capítulo 2. Espacios normados Introducción Cpítulo 2 Espcios normdos 2.1. Introducción Hbímos visto en el cpítulo nterior que en los espcios de prehilbertinos se podí definir un norm trvés del producto esclr por l fórmul x = (x y) 1/2, y que ést

Más detalles

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

Funciones de una variable real II Integrales impropias

Funciones de una variable real II Integrales impropias Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Integrales de ĺınea complejas

Integrales de ĺınea complejas Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos 1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Teorema de la Función Inversa

Teorema de la Función Inversa Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2

Campos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2 Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i

Más detalles

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS FUNCIONAL

PRÁCTICAS DE ANÁLISIS FUNCIONAL PRÁCTICAS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Deprtmento de Análisis Mtemático Curso 3/4 Profesores responsbles : Pblo Glindo (AA) y (AB) Fuensnt Andreu (BA) Enrique Llórens (BB) Práctic 1 Espcios normdos: Generliddes.....................

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

La Integral Multiplicativa

La Integral Multiplicativa Universidd del Pís Vsco Mtemátic Aplicd y Estdístic L Integrl Multiplictiv Jun-Miguel Grci Extrcto: Se nliz l relción de l integrl multiplictiv de Volterr con l derivd logrítmic y los sistems diferenciles

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Funciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto

Funciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto Funciones de R n en R m Teorem de l Función Invers Funciones de R en R Se f(x) un función rel de vrible rel con derivd continu sobre un conjunto bierto A se x 0 un punto de A donde f (x 0 ) 0. Considere

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Teoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita

Teoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita Teorems de l Función Invers y de l Función Impĺıcit Betriz Porrs 1 Introducción En el cpítulo nterior estudimos lguns propieddes de ls funciones diferencibles que tenín l diferencil nul El desrrollo de

Más detalles

y se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C.

y se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C. Cpítulo I Concepto de curv 1. Curvs regulres Intuitivmente, un curv en R n es un conjunto C R n que puede describirse con un único prámetro que vrí en un intervlo I de l rect rel R. Dich descripción se

Más detalles

CALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales

CALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales mpos vectoriles ALULO VETORIAL Un cmpo vectoril o cmpo de vectores es un función que sign un vector un punto del plno o del espcio. Si M y N son funciones de vriles definids en un región R del plno, un

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

es pa c i o s c o n p r o d U c t o

es pa c i o s c o n p r o d U c t o Unidd 5 es p c i o s c o n p r o d U c t o i n t e r n o (n o r M, d i s t n c i ) Objetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Aplicrá los conceptos de longitud y dirección de vectores en R. Aplicrá el concepto

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

Leccion 6. Espacio tangente. Espacio cotangente.

Leccion 6. Espacio tangente. Espacio cotangente. Leccion 6. Espcio tngente. Espcio cotngente. Estudir: 1 14,20 25. 6.1. Introduccion 1. El objetivo de est leccion es probr que los vectores tngentes X en hcen justici su nombre, ie., que el conjunto T

Más detalles

Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3

Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3 Dpto. de Mtemátics. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13 Problems. Hoj 3 Problem 1. Escrib explícitmente l mtriz de iterción M del método de Jcobi. Acotndo el rdio espectrl de M por l norm infinito dé un condición

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Introducción a los Espacios de Sobolev

Introducción a los Espacios de Sobolev ntroducción los Espcios de Sobolev Mrin Forstieri Análisis Funcionl Índice 1. Motivción 4 2. Preliminres 4 2.1. somorfismos.................................... 4 2.2. Espcios Reflexivos................................

Más detalles

Sucesiones de Funciones

Sucesiones de Funciones Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

Integrales sobre caminos

Integrales sobre caminos Cpítulo 9 Integrles sobre cminos Hst hor hemos estudido integrción de funciones sobre conjuntos (con volumen) de R n. En este y los próximos cpítulos discutiremos l integrción de funciones sobre cminos

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

Integral impropia Al definir la integral definida b

Integral impropia Al definir la integral definida b Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Integral de ĺınea. Tema Caminos y curvas en IR n.

Integral de ĺınea. Tema Caminos y curvas en IR n. Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n. Definición 3.1 Se [, b] IR, diremos que α: [, b] IR n es un cmino en IR n si α es continu en [, b]. A los puntos α y αb de IR n los llmremos extremos del

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Mtrices 11 Definición Se K un cuerpo y n, m N Un mtriz n m sobre K es un plicción: A : {1,,n} {1,,m} K Si (i, j) {1,,n} {1,,m} denotremos ij

Más detalles

Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas.

Series de Taylor. Antes de comenzar con la series de Taylor, repasemos algunas propiedades importantes de las series infinitas. Semn 2 - Clse 5 15/1/1 Tem 1: Series Series de Tylor Antes de comenzr con l series de Tylor, repsemos lguns propieddes importntes de ls series infinits. 1. Algebr de series de potencis El álgebr elementl

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) "x D

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) x D INTEGRAL DE RIEMANN 1- Primitivs e integrl indefinid - Integrl de Riemnn 3- Interpretción geométric de ls integrles de Riemnn 4- Propieddes de ls integrles de Riemnn 5- Cmio de vrile en ls integrles de

Más detalles

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por Operdor nbl El operdor nbl es: = xˆ x + ŷ y + ẑ z Definimos el grdiente de un cmpo esclr ϕ(x ) por: ϕ =xˆ ϕ x + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z e A (x ) =A x (x )xˆ +A y (x )ŷ +A z (x )ẑ un cmpo vectorl. L divergenci de

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

Capítulo 4 El Teorema Fundamental del Cálculo (G. Izquierdo 06/2017)

Capítulo 4 El Teorema Fundamental del Cálculo (G. Izquierdo 06/2017) Tis is pge Printer: Opque tis Cpítulo 4 El Teorem Fundmentl del Cálculo G. Izquierdo 6/7) En este cpítulo remos uso del Cálculo Diferencil por lo que resultrá conveniente que el lector repse los métodos

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Funciones vectoriales de una variable

Funciones vectoriales de una variable Cpítulo 4 Funciones vectoriles de un vrible Derivción de funciones vectoriles de un vrible. Teorem del incremento finito y desrrollo de Tylor. Longitud de un rco de curv. Integrl respecto l rco. Aplicciones

Más detalles

Teorema de Green. 6.1 Introducción

Teorema de Green. 6.1 Introducción SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne

Más detalles

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente.

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente. 1.6. Integrl de líne de un mpo Vectoril Grdiente. n Definición. Se l función esclr f definid por f : D R R, un función continumente diferencible, y se l curv, un curv prcilmente suve definid prmétricmente

Más detalles

1 Métodos Matemáticos I. Parte: Integrales de ĺınea y superficie. I.T.I. en Mecánica

1 Métodos Matemáticos I. Parte: Integrales de ĺınea y superficie. I.T.I. en Mecánica 1 Métodos Mtemáticos I Prte II Integrles de ĺıne y superficie Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic 2 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en

Más detalles

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO

CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Existen vris forms de presentr lo que intuitivmente entendemos por un curv. Vemos un ejemplo. Ddo p 0 R 2 y R > 0, l circunferenci

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clsificción, forms y problems bien plntedos Por Guillermo Hernández Grcí Clsificción Aquí se estudirán tres tipos de ecuciones diferenciles prciles: Ecuciones elíptics,

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

V. TEORÍA ESPECTRAL EN ESPACIOS NORMADOS

V. TEORÍA ESPECTRAL EN ESPACIOS NORMADOS V. TEORÍA ESPECTRAL EN ESPACIOS NORMADOS Dmos comienzo en este cpítulo l llmd teorí espectrl de operdores en espcios normdos. Tod l informción cumuld hst el momento se irá plicndo sucesivmente l estudio

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA

2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA 2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA Ojetivo: El lumno identificrá los conceptos de ls integrles definid e indefinid y los plicrá en el cálculo y otención de integrles Notción sum Se k un numero rel

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas.

Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas. Boletín de l Asocición Mtemátic Venezoln, Vol. XVIII, No. 2 (2011) 89 ARTÍCULOS Expnsión de ls soluciones pr ecuciones integrles cudrátics. Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Resumen. En este

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Cálculo integral y series de funciones

Cálculo integral y series de funciones UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Cálculo integrl y series de funciones Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Febrero 2005

Más detalles

OBJETIVO. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.

OBJETIVO. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. DEPARTAMENTO DE IENIAS BÁSIAS ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO TALLER 3 INTEGRALES DE LINEA O INTEGRALES URVILINEAS, TRABAJO BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY OBJETIVO Logrr

Más detalles

Teoremas de convergencia

Teoremas de convergencia Cpítulo 3 Teorems de convergenci L necesidd de considerr límites de sucesiones o series de funciones es básic en el estudio del nálisis. Por tnto, es nturl preguntrse bjo qué condiciones se tiene que un

Más detalles

CAPÍTULO 2. , para 0 p 1. [] x

CAPÍTULO 2. , para 0 p 1. [] x CAPÍTULO LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Deprtmento de Métodos Cuntittivos pr l Economí y l Empres Fcultd de

Más detalles

CÁLCULO DE VARIACIONES

CÁLCULO DE VARIACIONES Págin 1 Cpítulo 1 CÁLCULO DE VARIACIONES 1. Introducción. Consideremos los siguientes dos problems. Problem 1. Sen P y Q dos puntos en el plno crtesino. Se requiere encontrr l curv que v de P Q y que teng

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

10. Optimización no lineal sin restricciones

10. Optimización no lineal sin restricciones 10. Optimizción no linel sin restricciones 10. Optimizción no linel sin restricciones Conceptos básicos Optimizción sin restricciones en dimensión 1 Métodos numéricos pr dimensión 1 Optimizción sin restricciones

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

1. Introducción: longitud de una curva

1. Introducción: longitud de una curva 1. Introducción: longitud de un curv Integrles de L ide pr clculr l longitud de un curv contenid en el plno o en el espcio consiste en dividirl en segmentos pequeños, escogiendo un fmili finit de puntos

Más detalles

2 Funciones vectoriales

2 Funciones vectoriales 2 Funciones vectoriles 2.1. Definición, dominio, imgen, gráfic Definición de función Un función de vlor vectoril o simplemente un función vectoril (en R n ) vectoril es un función cuyo dominio es un conjunto

Más detalles

La integral indefinida

La integral indefinida Tem 8 L integrl indefinid Aclrdo el concepto de integrl y sus principles propieddes, bordmos hor l relción entre derivd e integrl, que se sintetiz en el Teorem Fundmentl del Cálculo, sin dud el resultdo

Más detalles