2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo
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- Nieves Araya Ojeda
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1 2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un plicción : X [, es un norm en el espcio vectoril X si stisfce ls siguientes propieddes: 1. > si x 2. x + y + y (propiedd tringulr 3. λx = λ pr todo x, y X, λ R. Tod norm en un espcio vectoril define un distnci entre puntos de dicho espcio: d(x, y = x y que tiene ls propieddes 1. d(x, y = x = y 2. d(x, y = d(y, x (simetrí 3. d(x, z d(x, y + d(y, z (propiedd tringulr. Cundo el espcio métrico (X, d sí obtenido es completo (es decir, tod sucesión de Cuchy en X es convergente, se dice que el espcio normdo (X, es un espcio de Bnch. Proposición 2. Se I = [, b] un intervlo de R, y consideremos el espcio vectoril de ls funciones continus de I en R n, que denotremos C(I, R n, con l norm = sup x(t : t I}. El espcio (C(I, R n, es un espcio de Bnch. Definición 3. Se dice que un plicción F de un espcio métrico X en sí mismo es contrctiv si es λ-lipschitz pr lgún λ [, 1, es decir si pr todo x, y X, siendo λ [, 1. d(f (x, F (y λd(x, y Teorem 4 (de l plicción contrctiv. Se (X, d un espcio métrico completo, y se F : X X un plicción contrctiv (con constnte de Lipschitz λ [, 1. Entonces existe un único punto fijo x X (es decir un único punto x tl que F (x = x, que demás stisfce d(f n (x, x λn d(f (x, x 1 λ pr todo x X. Demostrción: Elíjse culquier x X, y defínse x n = F n (x. Usndo l contrctividd de F y l desiguldd tringulr, se comprueb que d(x m, x n λn 1 λ d(x 1, x pr todos m > n y por tnto (x n es de Cuchy, luego converge un punto x, que puede verse que es el único punto fijo de F. 1
2 2 CAPÍTULO 2. Integrción de funciones con vlores en R n. Si g : [, b] R n, g = (g 1,..., g n es un función continu, definiremos su integrl como el vector formdo por ls integrles de sus funciones coordends, es decir ( g(tdt := g 1,..., g n. Usndo el hecho de que = supt (x : T L(R n, R, T = 1} pr todo x R n (ver l hoj de ejercicios de este cpítulo, se comprueb sin dificultd que g(tdt g(t dt, culquier que se l norm considerd en R n (recuérdese tmbién que l norm de un funcionl linel T L(R n, R se define por T = supt (x : 1}. Tmbién se comprueb fácilmente, usndo el teorem fundmentl del cálculo coordend coordend, que si g : [, b] R n es de clse C 1 entonces g(t = g(t + t g (sds. Existenci y unicidd del problem de vlor inicil en R n. Se f C(I U, R n (donde U es un bierto de R n Se comprueb, usndo el teorem fundmentl del cálculo, que el problem de vlor inicil x(t = x (1 es equivlente l ecución integrl x(t = x + t f(s, x(sds, (2 y en prticulr (1 tiene solución únic si y sólo si (2 tiene solución únic. Teorem 5 (Picrd Lindelöf.. Se f C(I U, R n, donde U es bierto en R n, y x U, t I. Supongmos que f es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t. Entonces existe un entorno de t en el cul (1 tiene solución únic. Demostrción: Puede suponerse t =. Aplicr el teorem de l plicción contrctiv l operdor F : C C definido por F (x(t = x + f(s, x(sds, donde C = B(x, δ es un bol cerrd en X = (C([, T ], R n,, con δ > y T > elegidos de form decud. Dependenci de l condición inicil. Desigulddes de Gronwll. Lem 6 (Desiguldd de Gronwll generlizd. Supongmos que ψ(t stisfce con β(t. Entonces se tiene ψ(t α(t + ψ(t α(t + β(sψ(sds, t [, T ], ( α(sβ(s exp β(rdr ds, t [, T ]. s
3 Si demás α es creciente entonces se tiene ( ψ(t α(t exp Corolrio 7. Si ψ stisfce donde b, entonces ψ(t + CAPíTULO 2. 3 β(sds, t [, T ]. (b ψ(s + cds, t [, T ], ψ(t e bt + c b (ebt 1. Teorem 8 (Dependenci continu respecto de f. Sen f, g C(I U, R n, y supongmos que f es Lipschitzin. Si x(t e y(t son ls respectivs soluciones de los p.v.i. y (t = g(t, y(t e x(t = x y(t = y, entonces se tiene que x(t y(t x y e L t t + M L ( e L t t 1, donde L = Lip(f, y M = sup (t,x I U f(t, x g(t, x. Demostrción: Puede suponerse t =. Se tiene x(t y(t x y + f(s, x(s g(s, y(s ds. Aplicr l desiguldd tringulr pr cotr el integrndo por L x(s y(s +M y plicr el corolrio nterior. Definición 9. Supongmos que f C(I U, R n es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t. Pr cd x U, denotremos por φ(t, x l únic solución locl del problem de vlor inicil x(t = x A l plicción (t, x φ(t, x se le llm flujo socido l ecución diferencil. Corolrio 1 (Dependenci continu de l condición inicil. Si f C(I U, R n es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t, entonces φ(t, x φ(t, y x y e L t t. En prticulr ls soluciones de dependen continumente del dto inicil x( = x. De hecho vmos probr que el flujo φ(t, x es loclmente Lipschitz. Teorem 11. Supongmos que f C(I U, R n es loclmente Lipschitz en l vrible x, uniformemente respecto de t. Entonces, lrededor de cd (t, x I U puede encontrrse un compcto de l form J B = [t δ, t + δ] B(x, δ tl que el flujo φ(t, x está bien definido y es Lipschitz en este conjunto. De hecho donde φ(t, x φ(s, y x y e L t t + s t M pr todo (t, x, (s, y J B L = sup (t,x (t,y J B f(t, x f(t, y, y M = máx f(t, x. x y (t,x J B
4 4 CAPÍTULO 2. Indicción: estudir l demostrción del teorem de Picrd-Lindelöf pr encontrr un δ decudo, y observr que φ(t, x φ(s, y φ(t, x φ(t, y + φ(t, y φ(s, y x y e L t t + s f(r, φ(r, ydr. De hecho, sumiendo que f C 1 (I U, R n, probremos continución que el flujo (t, x φ(t, x (bien definido loclmente en un entorno de cd (t, x es un plicción de clse C 1. Teorem 12 (de diferencibilidd del flujo, locl.. Supongmos que f C k (I U, R n, con k 1. Entonces, lrededor de cd (t, x I U puede encontrrse un bierto de l form (t δ, t + δ B(x, δ tl que el flujo φ(t, x está bien definido y es de clse C k en este conjunto. Demostrción: completr los siguientes psos. 1. Suponer primero que φ(t, x es diferencible respecto de x y comprobr que en tl cso su derivd ( φ/ (t, x necesrimente stisfce l primer ecución vricionl y (t = A(t, xy(t, donde A(t, x = f (t, φ(t, x, (EV 1 y( = I, que es un ecución linel (con coeficientes vribles equivlente l ecución integrl y(t = I + t A(s, xy(sds, donde I es l identidd en el espcio de mtrices n n (nturlmente isomorfo R n2. 2. Comprobr que l nterior ecución integrl tiene solución únic y(t pr (t, x en un entorno J B de (t, x en el que el flujo φ(t, x está bien definido y es continuo. Nuestro objetivo es probr que φ(t, x es diferencible respecto de x, y que l derivd de φ respecto de x en (t, x es precismente l solución y(t de (EV Añdiendo t ls vribles dependientes y l ecución t = 1 nuestro sistem, se obtiene un ecución equivlente en R n+1 que es utónom. Por tnto, podemos suponer sin pérdid de generlidd que nuestr ecución es utónom (es decir x (t = f(x(t y que t =. 4. Queremos probr que φ(t, x es diferencible en un punto x 1 B. Por fcilitr l notción supondremos que x 1 =, y definiremos φ(t, x φ(t, ψ(tx θ(t, x =, en donde ψ(t denotrá l únic solución l ecución (EV 1 con condición inicil y( = I. El objetivo entonces es probr que lím x θ(t, x =. 5. Comprobr que puede escribirse f(y f(x = f (x(y x + R(y, x (y x, con lím y x R(y, x = uniformemente pr x en un entorno de. 6. Comprobr que θ (t, x = 1 Integrr pr obtener φ(t, x φ(t, (f(φ(t, x f(φ(t, A(t, ψ(tx = A(t, θ(t, x + R(φ(t, x, φ(t,. θ(t, x R(x + A(s, θ(s, x ds, con R(x = e LT T R(φ(s, x, φ(s, ds, J = [ T, T ]. 7. Aplicr l desiguldd de Gronwll pr deducir que ( T θ(t, x R(x exp A(s, ds y concluir que lím x θ(t, x =. Esto muestr que φ(t, x/ existe y es igul ψ(t. 8. Usndo dependenci continu de l ecución (teorem 8 pr l ecución vricionl (EV 1, comprobr que ls derivds prciles φ φ (t, x, y (t, x t son continus, y por tnto φ(t, x es de clse C 1 en J B.
5 CAPíTULO Usr inducción pr trtr el cso k 2. Observción 13. Usndo el método de ls proximciones sucesivs puede drse un demostrción más simple del teorem nterior en el cso k =. En efecto, consideremos el sistem y (t = f (t, x(ty(t (es decir, el sistem formdo por l ecución y l primer ecución vricionl, con ls condiciones iniciles x( = x, y( = I. Si f C 2 entonces, por el teorem de Picrd-Lindelöf, este sistem tiene solución únic (x(t, y(t, l cul convergen ls proximciones sucesivs definids por (φ n (t, x, ψ n (t, x, donde φ n+1 (t, x = x + f(s, φ n(s, xds ψ n+1 (t, x = I + f (s, φ n(s, xψ n (s, xds, con φ (t, x = x, ψ = I. Observr que φ / = ψ, y comprobr por inducción que φ n / = ψ n. Concluir que φ(t, x = lím n φ n (t, x es diferencible respecto de x, con φ/ = ψ(t, x := lím n ψ n (t, x. Corolrio 14 (Dependenci diferencible de prámetros. Supongmos que f depende de un prámetro λ Λ R p, y consideremos el p.v.i. x (t = f(t, x(t, λ x(t = x, cuy solución denotremos por φ(t, x, λ. Supongmos que f C k (I U Λ, R n. Entonces lrededor de cd (t, x, λ existe un entorno tl que φ(t, x, λ está bien definid y es de clse C k en ese entorno. Demostrción: considerr el sistem λ (t =.
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