Cálculos matemáticos POR EL MÉTODO DE DIAGONALES

Transcripción

1 Cálculos matemáticos POR EL MÉTODO DE DIAGONALES Para realizar este cálculo es necesario contar con el croquis dibujado en la hoja de registro y trazado, con los promedios de las mediciones recabadas durante el trabajo de campo en los levantamientos planimétricos con longímetro. Como recordarás, el croquis que se dibuja es de poligonales irregulares que se dividen en triángulos oblicuángulos, esto facilita los cálculos matemáticos que dan a conocer las dimensiones de un terreno, siempre que no existan obstáculos que impidan su medición. A continuación observarás la figura que utilizaremos en este ejemplo, el cual fue obtenido de la hoja de registro anexa a este subtema:

2 Triángulo 1 Paso 1. Cálculo del perímetro Para sacar el perímetro (P) de la figura triangular emplearemos la siguiente fórmula: Ahora debes sustituir las tres medidas de los lados del triángulo, el cual se muestra a continuación: Obteniendo el siguiente resultado:

3 Paso 2. Cálculo del semiperímetro Ahora calcularás el semiperímetro (S o Sp), para ello podrás utilizar una de las siguientes fórmulas: En los siguientes cálculos utilizaremos (S) como referencia del semiperímetro. Sustituyendo en la fórmula el resultado del perímetro del triángulo 1 (P= m), obtenemos:

4 Paso 3. Cálculo del área Cuando calculamos el área de un triángulo debemos asignar una literal a cada uno de sus lados, ésta debe corresponder a la misma letra de su vértice opuesto, pero con letra minúscula. Por ejemplo, el lado opuesto del vértice A mayúscula se le asignaría la letra a minúscula, como se muestra a continuación: Por tanto, la asignación de las letras para nuestro triángulo oblicuángulo quedaría de la siguiente forma: Una vez asignadas las literales, comenzaremos a calcular el área del triángulo 1, para ello aplicaremos la fórmula de Herón, que se utiliza en triángulos oblicuángulos debido a que está en función de sus lados. La fórmula es la siguiente: ( )( )( )( )

5 Antes de sustituir los datos será necesario obtener los resultados que se encuentran entre paréntesis. Nuestro primer valor ya lo conocemos, corresponde al semiperímetro: S = m Para los siguientes valores se resta el valor del semiperímetro del triángulo 1 ( m) a cada uno de los lados (a = m, b = m y d = m), como se muestra a continuación: s - a (resta S al lado a) = m m = 3.74 m s - b (resta S al lado b) = m m = m s - d (resta S al lado d) = m m = m Ahora sustituimos los resultados en la fórmula: ( )( )( )( ) Y multiplicamos los datos de los paréntesis (recuerda que m*m*m*m = m 4 ), obteniendo el siguiente resultado: Para finalizar, se calcula la raíz cuadrada del resultado obteniendo el área total del triángulo 1. Respecto a las unidades, la raíz cuadrada de m 4 es igual a m 2, como se expresa a continuación: Observa que el área se expresa en metros cuadrados. Recuerda redondear tu cifra a dos decimales.

6 Paso 4. Cálculo de los ángulos interiores Es importante que recuerdes que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es de 180, por lo tanto, la suma de los ángulos del triángulo 1 debe ser ésa. Para calcular los ángulos interiores de cualquier triángulo, puedes emplear la fórmula del seno, coseno o tangente. Para simplificar el cálculo, en este ejemplo utilizaremos la función seno, la cual te mostramos a continuación: ( )( ) ( )( ) Como puedes observar, la fórmula está en relación al vértice o ángulo A, sin embargo, puedes sustituir la letra mayúscula del seno de acuerdo con el ángulo que desees calcular (A, B, C o D). Una vez seleccionado el ángulo, sustituye en los paréntesis las letras de los lados que conforman dicho vértice (a, b, c o d).

7 Por ejemplo, el vértice B con los lados a y d del triángulo 1, quedan de la siguiente manera: Enseguida observarás cómo se aplica la fórmula del seno, en el cálculo de los ángulos interiores de nuestro triángulo 1. Cálculo del ángulo A A) Recopilación de datos Como lo dijimos anteriormente, la fórmula del seno para calcular el vértice o ángulo A es la siguiente: ( )( ) ( )( )

8 Por tanto, los datos que emplearemos son: Los resultados de la resta del semiperímetro con los lados b y d obtenidos en el paso 3 cálculo del área : s - b = m s - d = m Los lados b y d del triángulo que forman dicho ángulo. Recuerda que estas literales se asignaron en el paso 3, quedando de la siguiente manera: b = m d = m

9 B) Sustitución de los datos Con los datos recabados, sustituye los valores en la fórmula: Al multiplicar los datos de los paréntesis, obtenemos los siguientes resultados: ( ) ( ) Realiza la división solicitada, recuerda que la unidad de longitud (m 2 ) se cancela obteniendo sólo un valor numérico, como observarás a continuación: Obtén la raíz cuadrada de nuestro valor, el resultado será el siguiente:

10 C) Despeje de variables A continuación, despejaremos las variables que se encuentran del lado izquierdo de la fórmula, es decir, el seno y denominador 2 de la fracción. Como ya has aprendido, el seno, coseno y tangente si multiplican en el primer miembro pasan al segundo dividiendo, de la siguiente forma: Recuerda que, por lo tanto:

11 Con ayuda de una calculadora obtén la función trigonométrica Sen -1 del resultado, como te explicamos a continuación: El resultado aparecerá en tu calculadora al presionar la tecla igual =. Por tanto, el resultado de la función trigonométrica sen -1 de nuestro valor es el siguiente:

12 Ahora debes despejar el denominador 2 de la fracción: Recuerda que al realizar el despeje, si el 2 está dividiendo pasa multiplicando, quedando de la siguiente manera: ( ) Al realizar la multiplicación, obtenemos el siguiente resultado: D) Conversión del sistema métrico al sistema sexagesimal Observa que tu resultado está dado en sistema métrico decimal, por ello será necesario convertirlo al sistema sexagesimal, es decir: grados, minutos y segundos.

13 Para realizar este cambio en tu calculadora, sigue los siguientes pasos: Con esta operación obtenemos el ángulo interior del vértice A de nuestro primer triángulo. Observarás que en la calculadora aparecerán todos los valores en grados, debido a que es un formato preestablecido, sin embargo, el resultado final lo representarás de la siguiente forma:

14 Cálculo del ángulo B Ahora calcularemos el ángulo B empleando nuevamente la fórmula del seno. Recuerda, sustituiremos las letras en la fórmula por las que forman el vértice del ángulo a calcular, es decir, el vértice B con los lados a y d del triángulo 1: ( )( ) ( )( ) A) Recopilación de datos Los datos que emplearemos son: Los resultados de la resta del semiperímetro con los lados a y d obtenidos en el paso 3: s - a = 3.74 m s - d = m Los lados a y d del triángulo que forman dicho ángulo. Estas literales se asignaron en el paso 3, quedando de la siguiente manera: a = m d = m

15 B) Sustitución de los datos Sustituye los valores en la fórmula: Multiplica los datos de los paréntesis. ( ) ( ) Divide ambas cantidades, recuerda que se cancelan las unidades. Obtén la raíz cuadrada.

16 C) Despeje de variables A continuación despejaremos el seno y el denominador 2 de la fracción que se encuentran del lado izquierdo de la fórmula. Como te mencionamos en el inciso C del cálculo del ángulo A, el seno de la fórmula pasa multiplicando el resultado, con exponente 1 negativo, de la siguiente forma: Con ayuda de una calculadora, obtén la función trigonométrica Sen -1 del valor calculado. El resultado es el siguiente: Ahora debes despejar el denominador 2 de la fracción:

17 Quedando de la siguiente manera: ( ) Al realizar la multiplicación, obtenemos el siguiente resultado: D) Conversión del sistema métrico al sistema sexagesimal Ahora convertiremos el resultado del ángulo B al sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos). Para realizar este cambio, coloca el valor en la calculadora y oprime la tecla ( ). Obtendrás el siguiente resultado: Cálculo del ángulo D Finalmente calcularemos el ángulo D con la fórmula del seno, los lados que conforman este vértice son el a y el b, por tanto, la fórmula que emplearemos quedará de la siguiente manera: ( )( ) ( )( )

18 A) Recopilación de datos Los datos que emplearemos son: Los resultados de la resta del semiperímetro con los lados a y b obtenidos en el paso 3: s - a = 3.74 m s - b = m Los lados a y b del triángulo que forman dicho ángulo. Recuerda que estas literales se asignaron en el paso 3, quedando de la siguiente manera: a = m b = m

19 B) Sustitución de los datos Sustituye los datos recabados en la fórmula: Multiplica los datos de los paréntesis: ( ) ( ) Divide ambas cantidades: Obtén la raíz cuadrada:

20 C) Despeje de variables Pasa la variable seno con exponente 1 negativo, multiplicando el valor del lado derecho de la fórmula, como se muestra a continuación: Con ayuda de una calculadora, obtén la función trigonométrica Sen -1 del valor calculado. El resultado es el siguiente: Ahora pasa multiplicando el denominador 2 de la fracción. ( ) Al realizar la multiplicación, obtenemos el siguiente resultado: D) Conversión del sistema métrico al sistema sexagesimal Convierte el resultado del ángulo D a grados, minutos y segundos, colocando el valor en la calculadora y oprimiendo la tecla ( ). El resultado es el siguiente:

21 Paso 5. Comprobación del cierre angular En planimetría, de la misma manera que en trigonometría, toda figura geométrica debe tener un cierre angular perfecto, por ello, para la comprobación angular de cualquier poligonal debemos realizar algunos cálculos, en este caso del triángulo 1, como se explica en los siguientes incisos: A) Suma de ángulos interiores Para la suma de los ángulos interiores, emplearemos la siguiente fórmula: ( ) Donde: n = Número de vértices o de lados del polígono. Como en este caso son tres lados, sustituimos este valor en la fórmula: ( ) Realizando la resta dentro del paréntesis, obtenemos: ( ) El resultado final será:

22 B) Cierre angular Como observaste en el inciso anterior, la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre debe dar 180º; por lo tanto, para determinar su cierre angular utilizaremos la siguiente comparación: Para realizar estas operaciones necesitamos los ángulos interiores que calculamos en el paso 4 cálculo de los ángulos interiores ; éstos son: A = B = C = Ahora sustituimos los valores:

23 Para efectuar esta suma en tu calculadora, realiza lo siguiente: Una vez colocado el valor de nuestra primera cifra ( ) oprime la tecla de la operación que vas a realizar (en este caso el signo más + ) e introduce, realizando nuevamente los pasos anteriores, la cifra siguiente ( ). Esta operación la efectuarás hasta concluir todos los ángulos que sumarás. Como en este caso son tres, colocamos nuestra última cifra ( ) en la calculadora y oprimimos la tecla igual =. El resultado de la suma de los ángulos es el siguiente:

24 Como podrás darte cuenta, la suma de los tres ángulos que calculamos es mayor a 180º, o dicho de otra manera, no cierra a 180 ; esto se define como error angular ( ), el cual calcularemos a continuación. C) Error angular ( ) El error angular se calcula restando la suma de los tres ángulos interiores del triángulo que estamos calculando ( ) con el cierre perfecto de un triángulo (180º), utilizando la siguiente fórmula: ( ) ( ) Sustituye los valores solicitados en la fórmula: ( ) ( )

25 Esta operación la realizarás con ayuda de tu calculadora: Una vez colocado el primer valor, oprime la tecla de la operación que vas a realizar (en este caso el signo de menos ( - ) e introduce la cifra 180º siguiendo los pasos uno y dos de la ilustración anterior; finalmente, oprime la tecla igual =. El resultado del error angular es el siguiente: Una vez calculado el error angular, que puede ser mayor o menor a 180º, determinaremos el margen de error permitido a nuestro cálculo.

26 D) Tolerancia angular ( ) En este inciso realizaremos las operaciones para establecer qué margen de error tiene mi cálculo, es decir, determinaremos la tolerancia angular ( ). En levantamientos planimétricos con longímetro siempre se aplica la siguiente fórmula: Donde: = Tolerancia angular. = Símbolo de más menos. 30 = Constante angular para levantamientos con longímetro. n = Número de vértices o lados de un polígono, en este caso un triángulo. A continuación, sustituimos el valor de n, es decir 3, en la fórmula: Al calcular su raíz cuadrada, obtenemos el siguiente resultado: ( ) Una vez calculado este valor, multiplícalo por la constante angular 30. Por último, convierte el resultado del sistema métrico al sistema sexagesimal como lo hiciste en el inciso D del cálculo del ángulo A. Obtendrás el siguiente resultado:

27 E) Comparación de la tolerancia angular con el error angular Finalmente realizaremos una comparación entre el valor de la tolerancia angular ( ) y el error angular ( ), de acuerdo con la siguiente fórmula: Como puedes observar, dicha comparación busca que la tolerancia angular sea mayor al error angular; por ello es importante sustituir los valores correspondientes y evaluar el resultado. Este resultado nos indica que si tu valor se encuentra entre 179º y 180º tu resultado ( ) está dentro de la tolerancia permitida. Finalmente concluimos que en el triángulo 1 la tolerancia es mayor al error, por lo tanto, los resultados se aceptan para continuar con los cálculos del triángulo 2. Triángulo 2 Resultados de los cálculos para el triángulo 2 A continuación te daremos los resultados del triángulo 2, debido a que los pasos para calcular el perímetro, el semiperímetro, el área, los ángulos interiores y el cierre angular deben ser iguales para ambos triángulos. En la siguiente imagen podrás observar los datos que utilizamos para llegar a dichos resultados

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29 Dado que la tolerancia es mayor al error, los cálculos desarrollados hasta el momento se aceptan, y se procede a calcular los resultados totales del polígono. Cálculos del polígono Ahora procederemos a recabar los resultados finales de cada triángulo oblicuángulo calculado, esto para realizar las últimas operaciones que nos proporcionen las dimensiones totales del polígono o terreno al que le realizamos el levantamiento planimétrico. Los pasos son los siguientes: Paso 1. Cálculo del perímetro Primero debes sacar el perímetro (P) del polígono, para ello es necesario emplear la siguiente fórmula: De acuerdo con la fórmula, los datos que necesitamos son las cuatro medidas de los lados de la poligonal, como podrás observar a continuación

30 Sustituyendo los valores obtenemos: Paso 2. Cálculo del área La fórmula que emplearemos para realizar este cálculo es la siguiente: ( ) ( ) Recabamos estos datos de los pasos 3 de cada triángulo y sustituimos los valores: Al realizar la operación correspondiente obtenemos el área total del polígono, la cual se muestra a continuación: Paso 3. Cálculo de los ángulos interiores Si tenemos dos ángulos interiores con la misma letra, el resultado final será la suma de ellos, por ejemplo: Sustituimos los ángulos en la fórmula de la siguiente manera:

31 Realizando la operación correspondiente sabemos que nuestro ángulo B total tendrá el siguiente valor: Lo mismo sucede con el ángulo D. Realizando las operaciones correspondientes obtenemos el siguiente resultado: Por el contrario, si sólo contamos con un ángulo en nuestros cálculos finales, éste será nuestros ángulo total del polígono, como sucede en el vértice A y C.

32 Paso 4. Comprobación del cierre angular Ahora realizaremos la comprobación angular total. A) Suma de ángulos interiores Para sumar los ángulos interiores, emplearemos la siguiente fórmula: ( ) Donde: n = Número de vértices o de lados del polígono. Como en este caso son cuatro lados, sustituimos este valor en la fórmula: ( ) Al realizar la resta del paréntesis obtenemos: ( ) El resultado final será:

33 B) Cierre angular Como observaste en el inciso anterior, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre debe dar 360º; por lo tanto, para determinar su cierre angular utilizaremos la siguiente comparación: Por lo tanto, la suma de los cuatro ángulos totales debe ser 360 : El resultado de la suma es el siguiente: Como puedes ver, la suma de los cuatro ángulos es mayor a 360º, dicho de otra manera, no cierra a 360. Esto se define como error angular ( ), el cual calcularemos a continuación.

34 C) Error angular ( ) El error angular se calcula restando la suma de los cuatro ángulos interiores del cuadrilátero que estamos calculando ( ") con el cierre perfecto de un polígono de cuatro lados (360º), utilizando la siguiente fórmula: ( ) ( ) Sustituye los valores solicitados en la fórmula: ( ) ( ) El resultado de la resta será el siguiente: Una vez calculado el error angular, que puede ser mayor o menor a 360º, determinaremos el margen de error permitido a nuestro cálculo.

35 D) Tolerancia angular ( ) Realizaremos las operaciones para establecer qué margen de error tiene mi cálculo, es decir, determinaremos la tolerancia angular ( ). En levantamientos planimétricos con longímetro, como lo mencionamos en el método de diagonales, siempre se aplica la siguiente fórmula: Donde: = Tolerancia angular. = Símbolo de más menos. 30 = Constante angular para levantamientos con longímetro. n = Número de vértices o lados de un polígono, en este caso un cuadrilátero irregular. A continuación, sustituimos el valor de n, es decir 4, en la fórmula: Al calcular su raíz cuadrada obtenemos el siguiente resultado: ( ) Una vez calculado este valor, multiplícalo por la constante angular 30. Por último, convierte el resultado del sistema métrico al sistema sexagesimal como lo hiciste en el inciso D del cálculo del ángulo A. Obtendrás el siguiente resultado:

36 E) Comparación de la tolerancia angular con el error angular Finalmente realizaremos una comparación entre el valor de la tolerancia angular ( ) y el error angular ( ), de acuerdo con la siguiente fórmula: Como puedes observar, dicha comparación busca que la tolerancia angular sea mayor al error angular, por ello es importante sustituir los valores correspondientes y evaluar el resultado. Este resultado nos indica que si tu valor se encuentra entre 359º y 361º tu resultado ( ) está dentro de la tolerancia permitida. Finalmente concluimos que la tolerancia es mayor al error, por lo tanto los resultados se aceptan para continuar con la representación gráfica de nuestro levantamiento o terreno en un plano topográfico.