Escuela Politécnica. Universidad de Alcalá

Transcripción

1 Escuela Politécnica. Universia e Alcalá Asignatura: PROPAGACIÓN Y ONDAS Grao en Ingenieria Electrónica e Comunicaciones (G37) Grao en Ingeniería Telemática (G38) Grao en Ingeniería en Sistemas e Telecomunicación (G39) PROBLEMAS Sesión 1 1

2 1. Una línea e transmisión biplaca está formaa por os placas metálicas paralelas entre las que se ispone un material ieléctrico. Las imensiones e los iferentes elementos, así como sus características electromagnéticas (permitivia, permeabilia magnética y conuctivia) son las inicaas en la figura ajunta. Entre las placas conuctoras se aplica un generaor e tensión e amplitu V 0 y frecuencia f, conectano la placa situaa en y = 0 a masa. Se quiere estuiar el comportamiento e esta línea y para ello se pie eterminar la ecuación e ona a resolver, la istribución e potencial, la potencia transmitia y las expresiones e cálculo e los parámetros primarios. Nota: Suponer que se cumple que W para evitar los efectos e bore. Para facilitar la resolución el ejercicio siga los pasos siguientes: 1. Inicar qué ocurrirá si no se cumple que W. 2. Analice con qué coorenaas varía el potencial. 3. Justifique que el moo e propagación es un moo TEM. 4. Plantee la ecuación e ona (ecuación e Laplace) a resolver para eterminar la istribución el potencial. 5. Resuelva la ecuación e Laplace. 6. Aplique las coniciones e contorno para ar la expresión final e la istribución e potencial. 7. Dibuje la istribución e potencial. 8. Determine las expresiones el campo eléctrico a partir el potencial. 9. Determine el campo magnético a partir el campo eléctrico tenieno en cuenta que el moo e propagación es un TEM. 10. Dibuje las líneas e campo eléctrico y magnético sobre la estructura e la línea. 11. Determine los valores e los parámetros primarios e la línea, a partir e las expresiones corresponientes. 1. Como explicábamos en clase, las líneas e campo conectan cualquier punto a e un conuctor con un cierto punto b el otro. Ya que V a V b = b E l = b E l a a (las líneas e campo están efinias tal que E l, e manera que E l = E l) y es constante, los caminos más largos implican valores muy bajos el campo eléctrico. Si no se cumple que W, entonces la iferencia e recorrios no es tan grane, y las líneas que conectan los bores tienen una magnitu no espreciable. Es lo que se enomina efecto bore, que en este caso e no cumplirse W, iremos que es 2

3 relevante. Figura 1: Geometría e la biplaca. La Figura 4 es el resultao e una simulación numérica e las líneas e campo en una biplaca y aclara lo icho arriba. 2. Fuera el apartao a) estamos suponieno que W y, por tanto, que no hay efectos e bore y el campo solamente tiene una magnitu relevante en la zona entre las placas. El campo eléctrico es perpenicular a la entraa y a la salia e las placas y no se curva ya que suponemos que ve placas e imensiones infinitas, y por tanto, ve lo mismo a ambos laos, por lo que no hay razón para curvarse en ninguna irección. 3. La existencia e moos TEM es posible por la existencia e os conuctores, lo cual es conición necesaria pero no suficiente. Que se genere uno u otro moo (TEM, TE, etc) epene e cómo se alimenta la línea e transmisión. En concreto, en nuestro caso, estamos suponieno que no hay efectos e bore, pero no solamente en los laterales e la línea e transmisión, sino tampoco en su entraa. Si hubiese componente longituinal (=en z) el campo eléctrico o magnético, tenríamos efectos e bore en la boca e la línea. Trabajar bajo la hipótesis e ausencia e efectos e bore a la entraa e la línea implica hablar e moos TEM. 4. Las ecuaciones e los campos eléctrico y magnético en un moo TEM se ponen como E = 0 E = 0 (1a) (1b) 3

4 es ecir, ya que = ˆx / x + ˆy / y. E x x + E y y = 0 E x y E y x = 0 La ecuación (1b) implica que existe un potencial en función el cual se puee poner el campo eléctrico E = V (2) e moo que (1a) junto con (2) se puee poner como es ecir, 2 V = 0 (3) 2 V x V y 2 = 0 (4) Cualquiera e las os maneras e escribirla ((3) o (4)) se enomina ecuación e Laplace. Recoramos que la E a la que nos referimos es el campo eléctrico transversal E xy o E e un moo TEM sin los términos e fase en z y en t E = [E xˆx + E y ˆy] }{{} exp{j(wt βz)} (5) E(= E xy = E ) 5. Tenemos lo siguiente E ˆy E = ˆx V x ˆy V y V = V (y) (6) Aunque no habéis estuiao e manera sistemática cómo solucionar ecuaciones iferenciales, y menos aún en erivaas parciales, sí poemos solucionar la ecuación e Laplace ya que tiene os particulariaes: i) no epene e y, como acabamos e ecir y quea como 2 V y 2 = 0 (7) y ii) se puee integrar fácilmente 2 V y 2 = 0 V y = C 1 V = C 1 y + C 2 (8) 4

5 6. Ahora concretamos esta solución, genérica para toos los casos e campos conservativos en los que solamente hay epenencia en y, con nuestras coniciones e contorno específicas: V (y = 0) = 0 C 2 = 0 Por tanto, 7. La gráfica es la siguiente V (y = ) = 0 C 1 = V 0 V (y) = V 0 y (9) 8. De (2) tenemos y el campo completo será E = V = ˆy V 0 (10) E = ˆy V 0 9. El campo magnético viene ao por exp[j(wt βz)] (11) H = 1 η ˆz E = ˆx V 0 exp[j(wt βz)] (12) η 10. Véase la Figura 4, en la que se representa el campo eléctrico y las superficies equipotenciales. El campo magnético será perpenicular al campo eléctrico y a la normal al papel (que representa el eje z). 5

6 11. Hemos visto que la manera e relacionar voltaje e intensia con los campos a la hora e tratar una línea e transmisión en la que queremos llegar a las expresiones e los parámetros primarios es poner las ecuaciones integrales que los relacionan con los campos. b V 0 = E y = V 0 a ( ) = V 0 OK, ya lo sabíamos (13) I = H l = Hl + Hl + Hl + Hl = Hl = V 0 W (14) C a C 1 C 2 C 3 C 4 C 1 η one hemos supuesto que no la corriente es espreciable fuera e la cara interna e las placas por serlo E en último término. Figura 2: Circuito e integración e corriente alreeor e uno e los conuctores. También tenemos que Q }{{} Q = z = σl = C C a V 0 σl = ε C 1 El = εη C 1 C 1 Hl = εηi = ε V 0 W y que C = ε W [F/m] (15) }{{} Φ = Φ b b z = B s = μ Hy = μ b Ey = μ L a a η a η V 0 I L = μ V 0 η I = μ [H/m] (16) W 6

7 Figura 3: Sección e ancho z e los conuctores y significao e la carga Q y el flijo Φ por unia e longitu. Estos resultaos serían los corresponientes al caso e línea sin périas. Cómo se ven afectaos al introucir périas? C V 0 = Q = ε V 0 W ( C + 1 jw G ) V 0 = Q V 0 = ε c W (17) ε c = ε j σ w e one volvemos a obtener, igualano parte real y parte imaginaria con parte real y parte imaginaria a caa lao, la ecuación (15) por la parte real y (18) G = σ W (19) por la parte imaginaria. En cuanto a las périas en el conuctor, una σ c finita implica una E finita para que haya I ( J z = σ c Ez ). Es ecir, que como la I ocurre en la irección z, las périas en el conuctor, a iferencia e las périas en el ieléctrico, implican que no poemos tener un moo TEM (iremos que es un cuasi-tem). Para obtener la R no poemos moificar la ecuación el flujo e una manera a como hemos moificao la ecuación e la carga ya que la formulación puramente TEM no es estrictamente vália. De ahí que obtengamos la R e R = 1 σ c Área efectiva = 1 σ c δ W (20) 7

8 one δ es la istancia e penetración en un conuctor e conuctivia finita y es igual a 2 δ = (21) wμσ c e one R = 1 W wμ 2σ c (22) Tanto las ecuaciones (18) como (21) se suponen conocias e la asignatura e Física. 8

9 9 Figura 4: Las líneas e campo eléctrico están inicaas por líneas rojas. Las veres señalan las líneas equipotenciales. Se comprueba que la ensia e líneas es muy baja fuera e la zona entre las placas. El convenio e la representación e líneas e campo es tal que se ibuja una baja ensia e las mismas one el campo tiene un valor e móulo bajo.