Problemas de Electromagnetismo

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1 Problemas de Electromagnetismo 1.- El potencial medio temporal de un átomo de H2 neutro, en el estado fundamental viene dado por e Φ (r) = ( a + 1) exp ( -2r/a) 4πε 0a r siendo e la carga del electrón, en valor absoluto, y a el radio de la primera órbita de Bohr. Calcular: a) La distribución de carga que origina dicho potencial. b) La carga total asociada a la distribución. c) El campo eléctrico. 2.- Dos láminas planas infinitas conductoras de espesor uniforme t1 y t2, respectivamente, se colocan paralelamente una a la otra con sus cargas adyacentes separadas por una distancia L. La primera lámina tiene una carga total por unidad de área (suma de las densidades superficiales de carga en cada lado) igual a q1, mientras que en la segunda es q2. Usando argumentos de simetría y la ley de Gauss, demostrar: a) las densidades superficiales de cargas sobre las caras adyacentes son iguales y opuestas; b) las densidades superficiales de carga en las caras exteriores de ambas láminas son iguales; c) los módulos de los campos y el valor de las densidades de carga son independientes de los espesores t1 y t2 y de la separación L. Obténgase explícitamente las densidades superficiales de carga y los campos en función de q1 y q2 y aplíquense estos resultados al caso especial q1 = -q2 = q. 3.-Sobre una esfera conductora de radio a, cargada con una carga q, se coloca un estrato dieléctrico isótropo y esférico, concéntrico con la esfera conductora y de radios a y b (a<b). Calcular: a) la permitividad del estrado para que el campo en el dieléctrico sea constante y no exista carga de polarización sobre la superficie esférica de radio b; b) los campos E y D, así como el potencial, en todo punto del espacio. 4.-Un dieléctrico de permitividad no uniforme ε=ε 0 e ax llena el espacio comprendido entre las placas de un condensador plano-paralelo, una de las cuales, coincidente con el plano YZ está a tierra, mientras que la otra, separada una distancia d en el sentido positivo del eje X, se encuentra a un potencial V. Calcular: a) el campo eléctrico de manera directa; b) el potencial, a partir de la ecuación diferencial que verifica, resolviendo el correspondiente problema de contorno y comprobar que su gradiente coincide con el campo calculado en a); c) la densidad superficial de carga en las placas del condensador, a partir de la capacidad equivalente; d) las cargas de polarización, comprobando la neutralidad eléctrica de la totalidad de ellas; e) la fuerza neta, por unidad de superficie, ejercida sobre las placas del condensador. 5.-Se desea medir la permitividad de un líquido dieléctrico llenando con el mismo un depósito que tiene forma de condensador cilíndrico, con el fondo de material aislante y las paredes conductoras, de manera que éstas se conectan a una fuente de potencial a través de un medidor de corriente. Los radios de los cilindros que forman el depósito

2 valen 10 cm y 27.2 cm. Si la velocidad de llenado del depósito es de 1 cm/s y la diferencia de potencial de la fuente es de 1000 V, la corriente entre la batería y el depósito es de 45 x 10-9 A. a). Calcúlese la permitividad del líquido. b). Si en lugar de un medidor de corriente cuya sensibilidad alcanza hasta el nanoamperio, se dispusiese de un medidor menos sensible, incapaz de medir por debajo de 1x10-3 A, cuál debería ser la mínima velocidad de llenado del depósito para poder medir la permitividad del líquido sabiendo que su campo de ruptura es 10 MV/m? 6.-El espacio entre dos planos conductores, paralelos e indefinidos, está ocupado por cuatro regiones distintas y el potencial entre las placas varía según se indica en la figura. Sabiendo que la región en contacto con la placa a potencial cero es el vacío y que esta placa tiene una densidad de carga superficial que es la mitad de la que tiene la placa que está a potencial V=10V: qué información se puede obtener de las otras regiones? V cm 7.-Un solenoide de gran longitud que tiene 100 espiras por metro y un radio de 5 cm dispone de dos orificios A y B, situados en el plano de la figura, que representa la sección correspondiente a un corte transversal perpendicular al eje del solenoide en su parte central. Ambos orificios están separados un ángulo de 90º. Un protón con velocidad de 100 m/s penetra en el solenoide a través de A, en dirección perpendicular al eje del solenoide. Se desea que el campo magnético del solenoide obligue al protón a salir a través del orificio B, en dirección perpendicular al eje del solenoide. a) Cúal debe ser la corriente en el solenoide? b) Cómo será la energía cinética del protón cuando sale del solenoide en relación con la que tenía cuando entró en el mismo? A B 8-Un cilindro de radio a y longitud 2L se admite que está imanado uniformemente con imanación M en la dirección de su longitud. 1) Calcular el valor del potencial

3 magnético escalar en un punto del eje del cilindro. 2) Calcular los campo H y B en un punto del eje a partir de: a) los polos magnéticos, b)las corrientes de imanación. 9-Un largo tubo cilíndrico de un material magnéticamente lineal de permeabilidad µ tiene radios interior y exterior R 1 y R 2 respectivamente. Si en el eje del tubo hay un hilo recto, indefinido, recorrido por una corriente I, hallar: a) los campos B y H en las distintas regiones del espacio, b) las corrientes de imanación en el tubo, utilizando dichas corrientes para comprobar el valor obtenido del campo magnético de B. 10-Un circuito magnético está formado por un núcleo ferromagnético en forma de toroide de sección 2 cm 2 y longitud 50 cm y un entrehierro de 1mm, rodeado de 200 espiras recorridas por una corriente de 2A. Determinar los campos en el entrehierro si la curva de primera imanación del material ferromagnético corresponde con la siguiente tabla B(T) H(A/m) Una esfera ferromagnética de radio a está uniformemente imanada. La curva de desimanación del material ferromagnético que constituye la esfera está representada en la gráfica de la figura. Utilizando el valor del campo desimanador de la esfera, hallar: a) el punto de trabajo del imán, b) el valor de la imanación de la esfera, la densidad de polos magnéticos y las corrientes de imanación. 12.-Un solenoide muy largo de radio a, que tiene n espiras por metro, está recorrido por una corriente i=kt. En su parte central, se sitúan dos anillos coaxiales con el solenoide, de radios R 1 =a/2 y R 2 =2a, teniendo ambos la misma sección. Calcúlese la relación que debe haber entre las resistividades de los materiales que forman los anillos para que disipen la misma potencia eléctrica. 13.-Un anillo circular hecho con hilo de diámetro d, resistividad ρ y densidad de masa ρm, cae libremente desde una gran altura en un campo magnético cuya componente vertical es Bz = Bo ( 1 + kz ), donde k es constante. El anillo tiene un diámetro D y se mantiene siempre paralelo al plano x-y. a) Explicar cualitativamente el movimiento del anillo; b) Despreciando la resistencia del aire, calcular la velocidad final del anillo en su caída. 14.-Utilizando el método de imágenes, estudiar el comportamiento del potencial electrostático en los siguientes casos: a) una esfera conductora en un campo E 0 uniforme y b) un cilindro de longitud infinita en un campo E 0 uniforme perpendicular al eje del cilindro Un alambre indefinido recorrido por una corriente de intensidad I está situado en un medio de permeabilidad µ 1 y a la distancia d de la superficie plana de un medio extenso de permeabilidad µ 2 >µ 1. Determinar los campos en ambas regiones y la fuerza sobre el alambre, indicando si será atractiva o repulsiva respecto al plano.

4 16.- Dos esferas conductoras de radios a y b tienen sus centros separados una distancia c > a, b. Hallar los coeficientes de influencia del sistema hasta segundo orden de aproximación, es decir, despreciando términos (a/c) 3, (b/c) 3, etc. 17.-El electroimán de la figura mantiene una barra de acero de peso W. El imán y la barra son del mismo material y tienen la misma sección de 500 cm 2. La longitud media del circuito magnético es de 3 m y los valores medios de la separación entre la barra y el imán (entrehierro) son de 1 mm. La bobina del electroimán tiene 1000 espiras y está recorrida por una corriente de 2 A. Calcular: a) la energía almacenada en el entrehierro; b) el peso de la barra. La curva de imanación del material está dada en la siguiente tabla B(T) H(A/m) Las placas cuadradas de un condensador plano, de arista a, separadas una distancia y, están conectadas a una batería de f.e.m. V, cerrando el circuito una resistencia R. Hállese: a) la fuerza eléctrica sobre las placas, indicando su dirección y sentido; b) la fuerza magnética; c) determínese si existe un valor de R para el que no hay fuerza neta sobre las placas, y en caso afirmativo, calcúlese su valor, tomando a=1m, y=1 cm. Despréciense efectos de borde. V R 19. Un solenoide largo y estrecho, de radio a tiene n espiras por unidad de longitud y está recorrido por una corriente I 0 que en un cierto instante empieza a disminuir linealmente hasta anularse, según la ecuación I = I 0 kt. En el exterior y coaxial con el solenoide se coloca un tubo conductor de radios b y c (c>b>a), de conductividad σ, permitividad ε 0 y pemeabilidad µ 0. Durante el tiempo que tarda en anularse la intensidad de la corriente del solenoide se pide: a) La energía magnética almacenada por unidad de longitud en el solenoide. b) El flujo por unidad de longitud del vector de Poynting a través del área del tubo. c) El balance energético mediante la comprobación del teorema de Poynting en el tubo conductor.

5 20. Un tubo cilíndrico indefinido, de radio interior R y espesor e (e<<r) está hecho de un material conductor de conductividad σ, permitividad ε 0 y permeabilidad µ 0. El tubo está rodeado por un arrollamiento que tiene n espiras por unidad de longitud recorrido por una corriente variable con el tiempo de la forma I=I 0 t/t, siendo I 0 y T constantes. Calcular: a) Los campos E y H en el interior del tubo. b) La energía magnética almacenada en el espacio interior al tubo y la potencia disipada en el mismo, ambas por unidad de longitud. c)comprobar el teorema de Poynting en el volumen interior al tubo. 21. Un condensador plano-paralelo de placas circulares de radio R y distancia entre placas d tiene en su interior un dieléctrico imperfecto de permitividad ε, y conductividad σ. El condensador está inicialmente descargado y comienza a cargarse mediante una corriente eléctrica de valor constante I 0, que permanecerá siempre con este valor. Hallar: a) La ecuación diferencial que describe la evolución en el tiempo de la carga de una de las placas. b) El vector de Poynting en un punto cualquiera del interior del condensador. c) El flujo del vector de Poynting a través del área lateral del condensador comprobando el teorema de Poynting. 22. Un condensador cilíndrico de radios a y b (a<b) tiene inicialmente una carga libre por unidad de longitud λ 0. Si se llena su interior de un medio dieléctrico imperfecto de permitividad ε y conductividad σ, demostrar que no existe campo magnético en el interior del dieléctrico. Hallar el balance energético. 23. Dos solenoides coaxiales de radios R 1 y R 2 tienen n 1 y n 2 espiras por unidad de longitud, respectivamente. Por el solenoide interior se hace pasar una corriente de intensidad I=kt, mientras que el solenoide exterior que tiene una resistencia por unidad de longitud r, está cortocircuitado. Hallar: a) Los vectores B y E en todo el espacio. b) La energía almacenada en ambos solenoides por unidad de longitud. c) El flujo del vector de Poynting a través de las distintas superficies interpretando el resultado. 24.-Un cable coaxial, de radio interior a y exterior b, conecta una batería de voltaje V con una resistencia R. La longitud del cable coaxial es l (l >> a, b). Se desprecian los efectos de bordes y, en principio, también la resistencia del cable. Calcule: a) La energía eléctrica y magnética almacenada en el cable. b) La potencia disipada en la resistencia mediante aplicación del teorema de Poynting. Si se consideran que las resistencias totales de los conductores interior y exterior del cable son R a y R b respectivamente: c) Repítase el apartado b) previa solución del problema de contorno correspondiente con solución general en coordenadas cilíndricas Φ(ρ,z) = A z ln ρ + B ln ρ + C z + D d) En el supuesto anterior, calcule la potencia disipada en el cable coaxial.

6 25. Una onda electromagnética plana, linealmente polarizada, se propaga en el vacío siendo su longitud de onda 3 cm y transportando una intensidad media de 1 W/m2. Esta onda incide sobre un electrón libre inicialmente en reposo. a) Estudiar el movimiento, en régimen estacionario, del electrón, supuesto que sólo actúa sobre él el campo eléctrico y que se desprecian efectos de radiación. Calcular la potencia media cedida al electrón. b) Discutir hasta qué punto es correcto considerar sólo acciones eléctricas.

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