Propiedades efectivas de medios periódicos magneto-electroelásticos a través de funciones de Green

Transcripción

1 Propedades efectvas de medos peródcos magneto-electroelástcos a través de funcones de Green utores: Lázaro Makel Sto Camacho Julán Bravo Castllero LOGO Renaldo Rodríguez Ramos Raúl Gunovart Díaz

2 Introduccón No se puede mostrar la magen. Puede que su equpo no tenga sufcente memora para abrr la magen o que ésta esté dañada. Rence el equpo a contnuacón abra el archvo de nuevo. S sgue aparecendo la roa puede que tenga que borrar la magen e nsertarla de nuevo. v En un problema de valores de frontera Luf con condcones de frontera de la forma Buh el par fh es conocdo colectvamente como los datos para el problema u es la respuesta a ser determnada. Para problemas de valores de frontera lneales el prncpo de superposcón s u₁ es solucón para los datos f₁;h₁ u₂ para los datos f₂;h₂ entonces u₁+bu₂ es una solucón para los datos f₁+bf₂;h₁+bh₂

3 Introduccón permte descomponer datos complcados en posblemente en partes smples para resolver cada uno de los problemas de valores de frontera smples entonces reagrupar estas solucones para buscar la solucón del problema orgnal. La determnacón de sus propedades globales efectvas c u a n d o l a s característcas físcas geométrcas del compuesto son conocdas pueden ser un elemento útl para un estudo adecuado.

4 Introduccón v Una descomposcón de los datos frecuente es f;hf;0+0;h. En este trabao se hace un estudo de los compuestos termo-magneto-electroelástcos lneales. Hacendo uso de esto para resolver el problemas de valores de frontera para datos arbtraros f;h se defne un problema accesoro donde f representa una undad de fuente concentrada h0; este problema accesoro se toma en lugar del problema smple f;0.

5 Introduccón La respuesta del problema accesoro es conocda como la funcón de Green. v En este trabao sguendo estrctamente la teoría desarrollada por V.I. Gorbachev B. Ye. Pobedra 1995 para obtener las característcas efectvas de las propedades térmcas parcalmente elástcas de materales nhomogéneos ncluendo compuestos se realza una etensón para el caso de un materal compuesto nhomogéneo con propedades magneto-electro-elástcas.

6 Introduccón v EL operador lneal L es tal que para Luf el operador de Green G: LGI es conocdo entonces ugf S los datos de entrada f no son aleatoros para el campo de entrada <u> se tene <u><g>f

7 Introduccón v El operador efectvo Lˆ está defndo como luego Lˆ Lˆ <u>f <G> ¹ el problema de materales nhomogenéos estocástcamente promedados se reduce a la construccón de la funcón de Green promedada.

8 Problema MEE lneal v Compuesto magneto-electro-elástco MEE con volumen V acotado por una superfce cerrada v En prncpo se tenen funcones materales suaves a pedazos.

9 Problema MEE lneal ckl Elástco α Magneto-eléctrco e k qk Pezoeléctrco Pezomagnétco κ Permtvdad eléctrca µ Permeabldad magnétca

10 Problema MEE lneal v El comportamento MEE del compuesto está dado por ε u ϕ ψ Campo de desplazamento elástco Campo potencal eléctrco Campo potencal magnétco

11 Problema MEE lneal v Condcones de smetría c c c kl kl lk c kl e e q k k k q k κ κ µ µ α α

12 Problema MEE lneal v Condcones de elptcdad c kl a a donde kl E X X X X αa a α E 3 a E s κ α para todo X R⁶ espaco de las matrces smétrcas de 3 3 ab producto escalar usual de R². α µ E 3 s

13 Problemas de frontera v Sea el problema de frontera U l l + F 0 V U U 0 donde l c e q kl kl kl e l κ α l l q l α µ l l k123 U u ϕ ψ 12 3 F f con g g

14 Problemas de frontera v El problema anteror se llama prmer problema de valores de frontera Problema 1 dada la condcón n U n S0 componentes del vector untaro de la normal eteror a la superfce S s α 0 0 vector de funcones

15 Problemas de frontera v Para la formulacón dual del segundo problema de valores de frontera se defne σ las relacones ε ε J σ ε U k J k J k k I I 0 s s J J donde es el tensor nverso a I es la matrz dentdad de denota la matríz nula de 5 5

16 Problemas de frontera v El segundo problema de valores de frontera en la formulacón dual es Problema 2 σ + F 0 V con la condcón de frontera σ n S 0 la ecuacón de compatbldad ε k J σ l l k 0

17 Problemas smples 0;h v Para determnar las componentes de los ˆ tensores efectvos respectvamente se fórmulan el prmero el segundo problema de valores de frontera con condcones de frontera especales cuando no ha campo eterno F; estos problemas de valores de frontera son los problemas smples 0;h Ĵ

18 Problemas smples 0;h v Prmer problema de valores de frontera especal Problema 1₀ U 0 V U γ γ const v El segundo problema especal de frontera Problema 2₀ en la formulacón dual σ 0 V σ n τ τ const

19 Resultados v Para los problemas 1 1₀ al gual que en Gorbachev 1995 resultan las dentdades para los problemas 2 2₀ se obtenen donde d n U V γ ε 1 0 F d S V τ σ dv g V g V 1

20 Resultados v partr de la solucón del problema 1₀ σ de la solucón del problema 2₀ ˆ γ ε J los tensores con componentes son mutuamente nversos Pobedra 1984 ˆ τ J

21 Funcones de Green v Se asume que las funcones de Green para el Problema 1₀ del Problema 2₀ G ~ G son conocdas v Para el Problema 1₀ el problema accesoro es G δ I V l l G para el Problema 2₀ ~ l G l δ I ~ G n 0 V l l 0

22 Funcones de Green v Se defnen v nálogamente a Gorbachev 1995 con G G E Γ ~ ~ ~ ~ G G E Γ I V δ 1 ~ Γ I V 1 ~ Γ g g

23 Funcones de Green v La solucón del Problema 1 en térmnos de la funcón de Green v Para el Problema 1₀ G V dv F G d n U U 0 + Γ ζ V dv F G d n U 0 + Γ ε V k dv F G d n U 0 + Γ σ k l V ˆ k Γ

24 Funcones de Green v La solucón del segundo problema de frontera Problema 2 para el Problema 2₀ + V dv F G d S G U ~ ~ 0 + V dv F E d S G ~ 0 ε V k dv F d S G ~ ~ 0 k Γ + σ E V J ~ ˆ

25 Coefcentes efectvos v El problema de frontera para obtener el coefcente efectvo resulta  l + N l k l k l N η 0 0 el efectvo resulta ˆ l l + k Nl k donde N V Γ

26 Coefcentes efectvos v En partcular en que la matrz MEE nhomogénea l depende de una sola varable se tene ζ 3 ζ Nʹ ζ ʹ + ʹ ζ el efectvo N 0 N l 0 ˆ

27 Coefcentes efectvos v El problema de frontera para obtener el coefcente efectvo resulta ε ε k kl ε v Y el efectvo Ĵ L ] + ε J 0 lpn[ J l mp n k k m k L η n η 0 ε 0 k l kl L k l donde J ˆ J + P δ I + ε L l l km l ε J L lk m kpm k lp m P M l k l k ~ M V E l l

28 Coefcentes efectvos v En el caso que coordenada ε IJ ε LP ζ 3 J depende de una sola [ J ζ Lʹ ζ ] ʹ + ε J ʹ ζ JL mp IJ Jm 0 n ε I IJ Lʹ mj 0 ε IK Lʹ K ζ 0 el efectvo Jˆ J + J N J 1 NJ J 1 JP 1 J 1 PL J LJ J N J 1 NJ J J

29 Conclusones recomendacones v Las espresones obtendas para los efectvos magneto-electro-elástcos muestran concordanca con los efectvos para obtendos en Bravo-Castllero 2009 para medos peródcos

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