Aplicaciones de la Serie Fourier

Transcripción

1 Uiversidad de Satiago de Chile Autores: Miguel Martíez Cocha Facultad de Ciecia Carlos Silva Corejo Departameto de Matemática y CC Emilio Villalobos Marí Part I Aplicacioes de la Serie Fourier. Problema. Oda cuadrada alta frecuecia Ua aplicació simple de la Serie de Fourier la podemos ecotrar e el aálisis de circuitos electróicos que so diseñados para maejar pulsos variables agudos, tales como, ua oda cuadrada o u "diete de sierra".supogamos que ua oda cuadrada está de ida por la fució: ; < x < h; < x < h A partir de la de ició, de los coe cietes podemos ecotrar: a = a = hdt = h h cos tdt = ; b = hsetdt = h ( b = h ; impar =) b = b = ; par uego la serie resultate es: De itio X h ( ) se ( ) x = h sex + cos ) h ( ) + se3x 3 + se5x 5 + ::: Es importate decir que el primer térmio represeta el promedio de f(x) sobre el itervalo [ ; ]y que todos los térmios e base coseo se aula. Además h f (x) es ua fució impar, luego,teemos ua serie de fourier solo co base seo. Por otra parte, los co cietes b decrece iversamete proporcioal co :Fisicamete esto sigi ca que la oda cuadrada debe coteer muchos compoetes de alta frecuecia.si el aparato electróico o deja pasar estos compoetes, la oda cuadrada resultate emerge más o meos redodeada.

2 . Problema. Recti cador de oda completa. Cosideremos ahora la salida de u recti cador de oda completa, que produce corriete cotiua pulsate como muestra la gura. El recti cador se puede modelar como u dispositivo que se alimeta co ua oda seoidal,que deja pasar los los pulsos positivos, e ivierte los pulsos egativos. Esto produce: se!x; <!x < se!x; <!x < Puesto que f (x) es ua fució par, es decir f (x) = f ( x), la serie de fourier será coseoidal a = se!td(!t) + se!td(!t) = a = se!t cos!t d(!t); a = ; par =) a = 4 4 a = ; impar b = ; 8 Por lo tato, la serie resultate es: 4 X (4 cos (!x) ) se!td(!t) = a frecuecia de oscilacio más baja es!:as compoetes de alta frecuecia decae iversamete co ; lo que muestra que el recti cador de oda completa hace u bue trabajo para producir u modelo aproximado de la corriete cotiua..3 Problema 3. Ecuacio de calor uidimesioal El ujo uidimesioal de calor e u cuerpo material homogéeo está modelado por la dode u(x; t) es temperatura del cuerpo y c la costate de difusió del calor. E el caso de ua barra aislada, que se prologa hacia el i ito e ambos setidos, la solució geeral esta dada por u(x; t) = (A (w) cos(wx) + B (w) se(wx) ) e c w t dw: Si se aplica la codicio iicial u(x; ) = f (x) ; - < x <,dode f(x) es la tem-

3 peratura iicial, se obtiee que u(x; ) = f (x) = (A (w) cos(wx) + B (w) se(wx) ) dw es ua itegral de Fourier co coe cietes A (w) = f (v) cos(wv) dv y B (w) = f (v) se(wv) dv a) Determie la itegral de Fourier, si la fució temperatura iicial es e x = :- < x < y la solució de está ecuació: Solució: Como f es ua fució par se tiee I p = ; y B (w) = luego A (w) cos(wx) dw; co A (w) = e v = cos(wv) dv =) A (w) = ve v = se(wv) dv Itegrado por partes se tiee A (w) = 4 e v = se(wv) + w 3 e v = se(wv) dv5 Evaluado la itegral y resolviedo EDO() A (w) = h + w( i A (w) A (w) = Ce w = ; C costate =) A (w) = wa (w) uego la IF es: 3

4 e x = = C e w = cos(wx) dw Por tato, la solució queda: u(x; t) = C (e w = cos(wx)) e c w t dw.4 Problema 4. ) a fució adjuta sirve para modelar la salida de u recti - cador de media oda: se!x;!x ;!x a) Represete gra camete la señal de salida si ésta se extiede periodicamete co periodo : b) Determie la serie de Fourier que la represeta. Solució: + se!x X (4 cos (!x) ).5 Problema 5. Ua oda triágular se represeta por la fució: x; < x < x; < x < h 4

5 a) Represete gra camete la fució. b) Represete f(x) mediate ua serie de Fourier. c) Estudie la covergecia de la serie e x = ; x = ; y x = X d) Muestre que: Solució: ( ) = 8 b) 4 X cos ( ) x ( ).6 Problema 5. Coducció del calor. Cosideremos ua varilla delgada, aislada, situada a lo largo del eje x, desde x = hasta x = a;y supogamos que la coducció de calor desde la varilla hacia el exterior se da solamete por los extremos de ella, los cuales se matiee a temperatura cero. E física se muestra que si e tiempo t = la temperatura u a lo largo de la varilla es igual a u(x; ) = b sex, dode b = cte y +, etoces para el tiempo t > la temperatura es igual a u(x; t) = b (sex) e t ; dode > es ua costate positiva. Asimismo, hay u pricipo de superposicio que os permite añadir los efectos de diferetes distribucioes iiciales de temperatura. Por lo tato, si la temperatura iicial es: X u(x; ) = f (x) = b sex etoces e tiempo t >, se tiee: X u(x; t) = b (sex) e t para x a De acuerdo co todo esto, hallar la temperatura para t > las siguietes temperaturas iiciales dadas. para 5

6 a) u(x; ) = f (x) = 3sex + 5sex: Que tipo de extesió de f(x)se requiere e este caso? b) u(x; ) = f (x) = e x sex: Que tipo de extesió de f(x)se requiere e este caso? Solucioes. a) u(x; t) = f (x) = 3sexe t + 5sexe 4t b) u(x; t) = 4 X ( ) e sex e t Problema 6 as series de fourier se costituye e ua herramieta poderosa e el aálisis del comportamieto de los sistemas físicos sujetos a pertubacioes periódicas f(t). El valor de la raíz media cuadrática ó RMC de ua fució f(t), sobre u itervalo (a; b) ;se de e como: s R b a hf(t)i = f (t) dt b a a) Sea f (t) ua fució de ida x [a; b], co u período fudametal T = b a. Pruebe que aplicado la idetidad de Parseval el valor RMC se reduce a la formula: 6

7 v u hf(t)i = t a + X [a + b ] b) Determie RMC de f(t) = E se!t, co E y! costates positivas. Solució: b) El período fudametal de la fució f(t) = E se!t, es!. Etoces el valor RMC de f(t) es: hf(t)i = s (=!)! E se (!t) dt = E p.8 Problema 7. U resorte vibra libremete co ambos estremos jos e x = y x = : a) Si su movimieto esta descrito por la ecuació de u (x; = u (x; co las codicioes iiciales: u (x; t) = f (x) (x; = g(x) Supoga que la solució de esta ecuació es ua serie de Fourier de la forma: X u(x; t) = b (t) se( x ) 7

8 sustituya esta solució e la ecuacio aterior y determie los coe cietes b (t) : b) Cosidere la presecia de u medio resistivo que amortigua las vibracioes de acuerdo co la u (x; = u (x; (x; Supoga que rige la solució aterior co las mismas codicioes iiciales y uevamete determie el coe ciete b (t), supoiedo que k el amortiguamieto es pequeño, es decir > c) Repita los calculos pero supoiedo que el amortiguamieto es k grade es decir <. Solucioes: a) b (t) = A cos( t ) + B se( t ) A = x f (x) se dx; B = g (x) se x dx b) b (t) = e k t (A cos(! t) + B se(! t)) A = x f (x) se dx; B =! k dode,! = > g (x) se x dx + k A! c) 8

9 b (t) = e k t (A cosh( t) + B seh( t)) A = x f (x) se dx; B = k dode, = < g (x) se x dx + k A.9 Problema 8 E ua placa circular de radio =, cuyas seccioes superior e iferior está aisladas, se matiee la mitad de su periferia superior a ua temperatura costate T y la otra mitad a ua temperatura costate T :Ecotrar la temperatura de la placa e codicioes estacioarias. a) a ecuació de difusió del calor, e coordeadas polares (; ),e codicioes estacioarias esta @ = (; ) es la fucio temperatura. Supoga que (; ) ;se puede separar como (; ) = M () N ()y pruebe que la ecuació se trasforma e M M + M M = N N : b) A partir del resultado aterior, haga cada lado de la ecuació igual a y ecuetre las EDO() N" () + N () = M" () + M() + M () = b) Pruebe que N () = A cos +A se y M () = B +B so solucioes de las correspodietes ecuacioes ateriores. c) Pruebe que la solució geeral es (; ) = M () N () = X T + T (T T ) ( cos ) se 9