Utilización del pie de rey y del palmer

Transcripción

1 Laboratori de Estàtica i Dinàmica Utilización del pie de rey y del palmer Objetivo Familiarizar al alumno con el uso de estos instrumentos de medida. Material Un pie de rey, un palmer y diversos objetos cuyas dimensiones se van medir. Fundamento teórico Los instrumentos que se suelen emplear en los laboratorios para medir longitudes dependen del tamaño de los objetos a medir y de la precisión que se requiera. En los casos más simples se suelen usar las reglas graduadas o las cintas métricas que permiten una precisión del orden del milímetro. Pero para objetos pequeños y cuyas medidas han de conocerse con mayor precisión (décimas o centésimas de milímetro) se recurre a instrumentos especiales que o bien se basan en el principio del nonius (por ejemplo, el pie de rey) o bien en el del tornillo micrométrico (por ejemplo, el palmer). Si aún se requiriese más precisión habría que acudir a instrumentos basados en los fenómenos ópticos de las interferencias. En este apartado vamos a estudiar los fundamentos del nonius y del tornillo micrométrico. Fundamento del nonius El nonius es una pequeña regla graduada móvil que se puede deslizar sobre otra regla mayor o escala principal sobre la que se efectúa la medida (véase la Fig. 1). El nonius está graduado de tal manera que, por lo general, N de sus divisiones abarcan N 1 divisiones de la escala principal; así pues, cada división del nonius abarca (N 1)/N divisiones de dicha escala, y por tanto, cada división del nonius es 1/N veces más corta que las otras. Al producto de este 1/N por la longitud de una división de la escala principal se le denomina resolución del nonius y la representaremos por r. Para comprender cómo se efectúa la medida de una longitud con el nonius nos ayudaremos de la Fig. 1. Una vez encajada la pieza cuya longitud L queremos medir entre el índice de la escala principal y la del nonius, buscamos el trazo del nonius que coincide con un trazo de la escala. Si M es la lectura

2 Figura 1: Detalle del nonius Figura 2: Palmer en la escala principal del trazo anterior al índice del nonius, y m es el trazo del nonius que coincide con uno de la escala, entonces la medida L de la pieza será L = M + mr (1) En el ejemplo de la Fig divisiones (N) del nonius abarcan 19 (N 1) de la escala principal, por lo que la resolución es 1/20. Como las divisiones de la escala son en milímetros L = /20 12 = 17,6 mm. (2) Para nuestra comodidad, la doceava línea del nonius está rotulada con un 6. Por lo tanto no es necesario realizar el cálculo anterior cada vez. Podemos considerar que el rótulo de la línea del nonius que coincide con una línea de la escala principal representa el decimal que tenemos que añadir a la lectura de la escala principal. Si no hubiese una coincidencia exacta entre los trazos se tomaría aquel del nonius que más se acercara al de la escala. Fundamento del tornillo micrométrico Es un tornillo con un paso de rosca rigurosamente constante. La longitud de la medida vendrá dada por el número entero n de vueltas que haya dado el tornillo y la fracción f de la última vuelta incompleta. Para poder determinar f la cabeza del tornillo se une a un tambor circular graduado en N divisiones (véase la Fig. 3) y para saber en cada momento n a la parte final del tornillo se fija una escala lineal. En la Fig. 2 se muestra un palmer, instrumento que se basa en un tornillo micrométrico.

3 Figura 3: Detalle del tambor Figura 4: Pie de rey Si el paso de rosca es R, entonces a r = R/N se le denomina resolucion del tornillo, y la medida L sería: L = nr + fr (3) En general, la escala lineal se gradúa de manera que ya dé en milímetros el producto nr. En el caso del tambor de la Fig. 3, la medida es L = ,01 3 mm El error de cero En general, todos los instrumentos de medida de longitudes pueden tener las escalas desplazadas de forma que aún con una longitud nula éstos marquen una cierta lectura, positiva o negativa, que se denomina error de cero. Por tanto, para tener la medida correcta habrá que restar de cada lectura el correspondiente error de cero. (Obsérvese que en el caso del palmer el error de cero puede corregirse; si ya lo está entonces no hace falta considerarlo). Instrumento: el pie de rey El pie de rey o calibre consiste en una regla graduada por lo general en milímetros (escala principal) con dos mandíbulas o piezas metálicas entre las que se coloca la pieza a medir. Una de ellas es fija mientras que la otra, móvil, lleva un nonius acoplado (véase la Fig. 4 y el pie de rey de que disponga en la práctica). Así pues, las mediciones que se hacen con el pie de rey se basan en las propiedades del nonius que hemos visto antes.

4 Según se trate de medir dimensiones exteriores o interiores se utilizarán unos extremos u otros de las mandíbulas. Para poder medir con un pie de rey profundidades de objetos huecos la regla tiene, además, una guía por la que desliza una pieza metálica muy estrecha que puede introducirse en las oquedades. Instrumento: el palmer Es un instrumento que también se emplea para medir dimensiones lineales exteriores de objetos pequeños y que consta de un tornillo micrométrico y una abrazadera (véase la Fig. 2 y el palmer de que disponga la práctica). Para medir el espesor de un objeto éste debe colocarse dentro de la abrazadera, entre el tope y el extremo del tornillo. El avance del tornillo se consigue haciendo girar su cabeza hasta que presione ligeramente el cuerpo. A continuación no hay más que leer la escala lineal y añadirle la fracción de la última vuelta incompleta que se haya dado, y que, como ya se ha indicado anteriormente, puede leerse en el tambor circular. Método experimental Pie de rey En primer lugar determine cuál es la resolución del instrumento y si tiene o no error de cero; si lo tuviese no olvide tenerlo presente después de cada lectura. A continuación mida las dimensiones de un cilindro al que se le ha practicado una oquedad en una de sus caras, es decir, su diámetro exterior, su longitud, la profundidad de la oquedad y el diámetro de la misma. Para ello haga un número suficiente de medidas de cada magnitud, por ejemplo, seis, en distintos puntos. Palmer Halle en primer lugar el paso de rosca del tornillo para poder determinar la resolución del instrumento. A continuación haga avanzar la punta del tornillo hasta la pieza tope para comprobar si hay error de cero y en caso afirmativo poder determinarlo. Con el palmer realice las medidas del diámetro de un hilo de cobre. Para ello tome unas seis medidas del diámetro en distintos puntos del hilo, colocándolo entre la punta del tornillo y el tope y haciendo avanzar el tornillo hasta presionar ligeramente, procurando no forzar demasiado para no falsear las medidas (utilice para ello la carraca del instrumento). Resultados Con los datos relativos a los instrumentos y las medidas efectuadas confeccione una tabla para cada objeto medido en la que quede consignada toda la información disponible: la resolución del instrumento utilizado; su error de cero si lo tiene; los valores medidos de cada magnitud y los correspondientes valores medios y errores. En el caso del cilindro con una oquedad, calcule además su volumen y el error propagado correspondiente.

5 Apellidos: Nombre: Grupo: Equipo: Apellidos: Nombre: Fecha: PRÁCTICA: Objetivos Material Resumen de la práctica

6 Medidas Pie de rey Resolución = Error de cero = Realice 6 medidas de cada una de las siguientes magnitudes. Cilindro con oquedad D ( ) L ( ) h ( ) d ( ) <D t > = <L> = <h> = <d> = Palmer Paso de rosca = Error de cero = Realice 6 medidas de cada una de las siguientes magnitudes. hilo d hilo ( ) <d hilo > =

7 Resultados Cálculo del error en D int (pie de rey) Error estadístico: Error de resolución: Error total: Cálculo del error en D ext (pie de rey) Error estadístico: Error de resolución: Error total:

8 Resultados Cálculo del error en L (pie de rey) Error estadístico: Error de resolución: Error total: Cálculo del error en h (pie de rey) Error estadístico: Error de resolución: Error total:

9 Resultados Cálculo del error en d (pie de rey) Error estadístico: Error de resolución: Error total: Cálculo del error en d hilo (palmer) Error estadístico: Error de resolución: Error total:

10 Resultados Volumen del cilindro con oquedad V = Cálculo del error en V

11 Resultados Resultados finales Pie de rey D int = D ext = L = h = d = V = Palmer d = Comentarios

12 Laboratori de Física I Caiguda lliure Moviment uniformement accelerat Objectiu Estudi de la caiguga lliure. Determinació de l acceleració de la gravetat. Material Bola d acer gran i petita, mecanisme de llançament, comptador de temps, plataforma de recollida. Fonament teòric Un cos de massa m en un camp gravitatori està sotmès a una força F constant: F = mg (1) on g és l acceleració de la gravetat. Aquesta força constant dóna lloc a un moviment rectilini uniformement accelerat. Si escollim un sistema de coordenades de manera que l eix y coincideixi amb la direcció del moviment de la bola i que tingui l origen de coordenades a la plataforma, podem expressar l equació del moviment de la bola com: Finalment, tot imposant les condicions inicials, a = cte, (2) v(t) = v 0 + at. (3) y(t) = y 0 + v 0 t at2, (4) y(0) = h (5) v y (0) = 0 (6) a = g (7)

13 obtenim les expressions: y(t) = h 1 2 gt2 (8) v(t) = gt 2 (9) a = g = cte (10) Aquest moviment unidimensional, uniformement accelerat amb acceleració g l anomenem caiguda lliure. Mètode experimental Col.loqueu el mecanisme de llançament a uns 20 cm de la plataforma de recollida. Col locar la porta per contar el temps de manera que la bola travessi el detector fotoelèctric en el seu moviment de caiguda. Cal mesurar la distància entre el detector fotoelèctric i la part més baixa de la bola. Aguanteu la bola gran en la posició de llençament tot prement el pulsador. Premeu RESET per inicialitzar el comptador de temps. En deixar anar el pulsador la bola cau i comença a córrer el temps en el comptador. Quan la bola travessa el detector fotoelèctric s atura el comptador de temps. Mesureu un mínim de quatre vegades el temps emprat per la bola a recórrer la distància h. Anoteu la distància recorreguda i la mitjana dels temps invertits. Repetiu l experiencia augmentant 5 cm la distància de la bola a la plataforma. Realitzeu un total de 8 mesures (per exemple, amb distàncies de 10 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm,...). Repeteix tot el procés amb la bola petita. Resultats Amb les dades obtingudes cal que: 1. Construïu dues taules amb tres columnes corresponents a la posició inicial de la bola, el temps i el quadrat del temps invertit en la caiguda per cada bola. 2. Representeu en una mateixa gràfica l espai recorregut en funció del temps invertit per a cada bola. 3. Representeu en una mateixa gràfica l espai recorregut en funció del quadrat del temps invertit per a cada bola. Observa que el comportament obtingut és lineal. 4. Realitza la corresponent regressió lineal, i calcula l acceleració del moviment de cada bola a partir dels coeficients de la regressió lineal (equació 8). Qüestions 1. Comenta el valor de l acceleració obtingut.és el mateix per a les dues boles?. És el el comportament esperat?. Quines podrien ser les causes de les possibles discrepàncies?

14 2. Comenta les gràfiques que has obtingut. Tenen la forma esperada?. S observen diferències entre les dues boles? Problemes 1. Un cotxe viatja de nit a 72 km/h i de sobte troba un camió estacionat a 40 m de distància. Després de 0.5s, que és el temps de reacció del conductor, aquest frena amb la màxima acceleració negativa de 5 m/s 2. Calculeu: (a) el temps que triga a aturar-se. (b) xoca amb el camió? 2. Es dispara un projectil verticalment cap amunt amb velocitat inicial de 100 m/s. Mig segon després, amb la mateixa arma, es dispara un segon projectil en la mateixa direcció. Determinar: (a) L alçada a la que es troben tots dos projectils. (b) La velocitat de cada un al trobar-se. (c) El temps transcorregut des del primer tret fins al xoc. Es menyspreen els fregaments.

15 Apellidos: Nombre: Grupo: Equipo: Apellidos: Nombre: Fecha: PRÁCTICA: Objetivos Material Resumen de la práctica

16 Medidas Error en la medida de t : (Repite las medidas un mínimo de 4 veces para cada posición y anota sólo el valor medio) Bola 1: diámetro = Posición ( ) t ( ) t 2 ( ) Bola 2: diámetro = Posición ( ) t ( ) t 2 ( )

17 Resultados Bola 1: Regresión lineal de la gráfica posición-tiempo 2, y valor de la aceleración. a = Bola 2: Regresión lineal de la gráfica posición-tiempo 2, y valor de la aceleración. a =

18 Laboratori de Física I Carril d aire (2) Lleis de Newton Objectiu Estudi experimental de la validesa de la primera i segona lleis de Newton. Material Carril d aire amb bomba, lliscador, disparador magnètic, comptador electrònic, dues portes fotoelèctriques, joc de masses. Fonament teòric Ja al segle XVII, Isaac Newton ( ), en la seva obra més important, Principis matemàtics de la filosofia natural (1687), va formular rigorosament les tres lleis fonamentals del moviment: la primera llei de Newton o llei de la inèrcia, segons la qual tot cos roman en repòs o en moviment rectilini uniforme si no actua sobre ell cap forca; la segona o principi fonamental de la dinàmica, segons el qual l acceleració que experimenta un cos es igual a la forca exercida sobre ell dividida per la seva massa; i la tercera, que explica que per cada forca o acció exercida per un cos sobre un altre existeix una reacció igual i de sentit contrari sobre el primer cos. Aquestes tres lleis permeten, conegudes les forces que actuen sobre una partícula i les condicions inicials del moviment, predir com es mourà el cos en tot moment. Un cos sotmès a una força constant realitzarà un moviment amb acceleració constant. Aquest és un dels moviments més fàcils de descriure. Si l acceleració és constant, llavors podem trobar la velocitat i la posició de la partícula per integració, que vénen donats per: x(t) = x 0 + v 0 t at2, (1) v(t) = v 0 + at. (2) De les equacions anteriors és fàcil deduir una relació entre l acceleració a del mòbil, la seva velocitat en passar per dos punts donats v 1 i v 2, i la distància de separació entre ells D:

19 T N T P 2 = m g 2 P 1 = m g 1 Figura 1: Esquema de les forces politja porta lliscador disparador bomba pes carril Figura 2: Muntatge experimental a = v2 2 v 2 1 2D (3) Al nostre muntatge experimental, la força ve donada per un pes P 1 que penja d una corda. L altre extrem de la corda està unit al lliscador. A la figura 1 es poden veure les forces que actuen sobre el sistema. Si apliquem la segona llei de Newton: F = ma (4) a cadascun dels dos cossos per separat, tenint en compte que han de tenir la mateixa acceleració, s arriba a l expressió: P 1 a =. (5) m 1 + m 2 En aquesta pràctica anirem augmentant la força P 1 aplicada mantenint constant la massa total m 1 +m 2. Obtindrem així diferents acceleracions que han d ajustar-se al que prediu la segona llei de Newton. Mètode experimental A la figura 2 es mostra un esquema del muntatge experimental. Per reduir al màxim el fregament del lliscador es disposa d un carril d aire. Per no fer massa soroll, mireu de aturar la bomba d aire quan no estigueu fent mesures. Per iniciar una mesura, enganxa el lliscador amb el disparador magnètic prement l interruptor corresponent. Cal penjar el nombre adequat de masses de la corda i cal posar a zero el comptador electrònic

20 amb el botó reset. Consulta amb el professor la configuració adequada del comptador. Després de disparar el lliscador només cal esperar que passi per la porta fotoelèctrica per anotar la mesura del temps. Abans de començar les mesures, endolleu la porta fotoelèctrica i comproveu que s encén el diode vermell quan hi passa algun objecte. Per obtenir les dades segueix els següents passos: Lleis de Newton. 1. Col loca les dues portes en la trajectòria del lliscador separades una distància D d uns 60cm i mesura l amplada d de la placa del lliscador. 2. Col loca ara una massa de 50g i tres de 10g a cadascuna de les varetes del lliscador i la massa de 5g a la plataforma de l extrem de la corda. Comprova que el fil passa per la corriola. 3. Volem determinar la velocitat del lliscador en travessar les portes. Per a això has de mesurar el t que triga la placa del lliscador en travessar cada porta seleccionant la segona posició en el comptador de temps. La velocitat vindrà donada per v = d/ t. Calcula l error en cadascuna d aquestes magnituds. 4. Movent ara les masses subministrades de m 2 a m 1 (veure figura 1), ves incrementant m 1 (alhora que disminueixes m 2 ) en increments de 5g fins a arribar a un valor de m 1 =65g. 5. Mesura en cada cas el t que triga la placa del lliscador a travessar cada porta. 6. Retira ara la corda del lliscador i mitjançant una petita empenta proporciona-li una velocitat inicial. 7. Mesura el temps t que triga la placa del lliscador a passar per cadascuna de les portes. 8. Repeteix el punt anterior per a una altra velocitat inicial del lliscador. Resultats Quan s hagin recollit les dades, s han de fer els següents càlculs i representacions gràfiques: 1. Anota la distància de separació entre les portes (D) i l amplada de la placa del lliscador (d). 2. Construeix una taula indicant per a cada cas: el valor de m 1 i la força aplicada F = m 1 g, el t emprat en passar per cada porta, la velocitat corresponent calculada a partir de v = d/ t i l acceleració del moviment calculada a partir de l equació (3). 3. Representa gràficament F en funció de a. Té aquesta funció la forma esperada?. Justifica la resposta. 4. Calcula a partir d una recta de regressió la massa total en moviment i la massa del lliscador.

21 5. Raona breument si creus que aquests resultats i les mesures realitzades justifiquen la validesa de la primera i segona lleis de Newton. Qüestions 1. Dedueix les equacions (3) i (5). 2. Comenta breument com ha d afectar al moviment del lliscador el fregament amb l aire. Quina corba de v (t) cal esperar en aquest cas? Problemes 1. Un home es troba sobre una balança dins d un ascensor que puja amb acceleració constant a. L escala de la balança marca 960N. En agafar una caixa de 20kg, l escala marca 1200N. Determinar: (a) La massa de l home (b) L acceleració de l ascensor 2. Una caixa de 2kg es llança cap amunt, amb velocitat inicial de 3m/s, per un pla inclinat amb fregament. El pla forma un angle de 60 o amb l horitzontal i el coeficient de fregament cinètic entre les superfícies és µ=0.3. Es demana: (a) Quina distància recorre la caixa abans d aturar-se momentàniament? (b) Quina és l energia dissipada pel fregament mentre la caixa puja? (c) Quina és la seva velocitat quan torna a la posició inicial?

22 Apellidos: Nombre: Grupo: Equipo: Apellidos: Nombre:. Fecha: PRÁCTICA: Objetivos Material Resumen de la práctica.

23 Medidas Error en la medida de t : Longitud de la placa del deslizador: d = Separación entre la puertas: D = (Repite las medidas de t un mínimo de 4 veces y anota sólo el valor medio) Leyes de Newton: Completa las tablas siguientes con las medidas realizadas m 1 ( ) F=m 1 g ( ) t 1 ( ) t 2 ( ) v 1 ( ) v 2 ( ) a ( ) Experiencia 1 Experiencia 2 t ( ) v +/ v ( ) t ( ) v +/ v ( )

24 Resultados a obtener en el laboratorio Regresión lineal de la gráfica F a y valor obtenido para la masa total y la masa del deslizador <m 1 + m 2 > = Masa deslizador = Debes entregar un informe completo, que incluya el resto de resultados, en la siguiente sesión de laboratorio.

25 Laboratori de Física I Estática Objetivo Estudiar las fuerzas que intervienen en diferentes situaciones de equilibrio estático de la partícula y del sólido rígido. Material Panel vertical con dos poleas y soporte para dos dinamómetros, 4 dinamómetros (2 de 1N y 2 de 3N), 3 cuerdas de diferente longitud, juego de pesas y barra de acero. Fundamento teórico Una partícula permanecerá en equilibrio estático si la suma de las fuerzas externas aplicadas es cero; F = 0 (1) En esta práctica se intentará verificar la validez de esta expresión mediante el montaje experimental mostrado en la figura 1. En el caso de un sólido rígido, la condición anterior es necesaria pero no suficiente para garantizar el equilibrio del cuerpo. En este caso deberemos exigir también que se anule la suma de los momentos de las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido rígido; F = 0 (2) M = 0 (3) Para verificar la validez de estas expresiones, realizaremos diferentes mediciones con un sólido rígido (una barra) dispuesto como muestra la figura 2.

26 T 1 θ1 T 2 θ2 T 1 mg masa T 2 Figura 1: Panel para el estudio de la estática de la partícula θ 1 T 1 1 T d 2 T 1 θ 2 T 2 2 mg φ Mg Figura 2: Panel para el estudio de la estática del sólido rígido

27 Método experimental Estática de la partícula Monta el panel para el estudio de la estática de la partícula (figura 1) utilizando una masa m=120g y dos cuerdas de las suministradas. Mide el valor de las tensiones y ángulos obtenidos en este caso. Observa que existe una cierta histéresis en los valores obtenidos para la tensión. Es decir si acercamos la masa m a la posición de equilibrio desde arriba se obtienen valores ligeramente diferentes que si la aproximamos desde abajo (esto de debe al rozamiento en el eje de las poleas). Tomaremos como valor más aproximado la media de ambos. Escoge otra combinación de cuerdas, de forma que los ángulos θ 1 y θ 2 varíen apreciablemente, y vuelve a medir el valor de las tensiones y ángulos obtenidos con m=120g. Sin cambiar el par de cuerdas, cuelga ahora una masa m de 40g y mide el valor de las tensiones y ángulos obtenidos. Repite la medida con una masa m de 200g. Utiliza para las medidas los dinamómetros más adecuados (según su fondo de escala). Estática del sólido rígido Mide y anota la masa, M, y la longitud, L, de la barra de acero suministrada. Monta el panel para el estudio de la estática del sólido rígido (figura 2) utilizando la barra de acero y dos cuerdas de las suministradas. Observa que existe una cierta histéresis en los valores obtenidos para la tensión. Es decir si acercamos la barra a la posición de equilibrio desde arriba se obtienen valores ligeramente diferentes que si la aproximamos desde abajo (esto de debe al rozamiento en el eje de las poleas). Tomaremos como valor más aproximado la media de ambos. Mide el valor de las tensiones y ángulos obtenidos. Cuelga ahora una masa m=100g en el gancho de la barra y mide el valor de las tensiones y ángulos obtenidos en este caso. Utiliza para las medidas los dinamómetros más adecuados (según su fondo de escala). Resultados Estática de la partícula 1. Resuelve teóricamente el problema de estática estudiado obteniendo la expresión algebráica de T 1 y T 2 en función de m, θ 1 y θ 2 (según la nomenclatura indicada en la figura 1) 2. Construye una tabla indicando los valores de m, θ 1, θ 2, T 1 y T 2 obtenidos en las situaciones estudiadas así como los valores teóricos de T 1 y T 2 correspondientes.

28 3. Compara los valores obtenidos experimentalmente con los valores teóricos y comenta los resultados. Estática del sólido rígido 1. Resuelve teóricamente el valor de T 1 en función del resto de magnitudes medidas según la nomenclatura indicada en la figura 2 para el caso más general (con la masa m colgada). 2. Construye una tabla indicando los valores de M, L, θ 1, θ 2, φ, T 1 y T 2 medidos, así como los valores de m y d cuando has colgado esta masa. Indica en esta tabla también el valor teórico calculado para T Compara los resultados obtenidos experimentalmente para T 1 con los valores teóricos y comenta los resultados. 4. Demuestran los resultados obtenidos en esta práctica la validez de las ecuaciones relativas a la estática de la partícula y del sólido rígido?. Comenta las causas de las posibles discrepancias observadas. Problemas 1. En el interior de una excavación hay que instalar un depósito de acero aplicando dos fuerzas mediante dos cables como muestra la figura 3. Para este sistema se pide: a) Hallar gráficamente el módulo y dirección de la menor fuerza P necesaria para que la resultante de las dos fuerzas aplicadas al depósito sea vertical. b) Si en estas condiciones el depósito está en equilibrio, determinar el peso de éste. 2. El polipasto de la figura 4 soporta una carga de 160kg. Sabiendo que β = 20 o, hallar el módulo y la dirección de la fuerza P que debe ejercerse en el extremo libre de la cuerda para mantener el equilibrio.

29 Figura 3: Problema 1 Figura 4: Problema 3

30 Apellidos: Nombre: Grupo: Equipo: Apellidos: Nombre: Fecha: PRÁCTICA: Objetivos Material Resumen de la práctica

31 Medidas Resultados Estática de la partícula m ( ) T 1 exp ( ) T 2 exp ( ) T 1 teo ( ) T 2 teo ( ) Estática del sólido rígido (barra con la masa m) Masa de la barra: M = Longitud de la barra: L = T 1 exp ( ) T 2 exp ( ) m ( ) d ( ) T 1 teo Debes entregar un informe completo, que incluya los valores teóricos de las tensiones y el resto de resultados, en la siguiente sesión de laboratorio.

32 Laboratori de Estàtica i Dinàmica Dinámica de la rotación Momento de inercia Objetivo Determinar los momentos de inercia de varios cuerpos homogéneos. Material Discos, cilindro macizo, cilindro hueco, barra hueca, cilindros ajustables a la barra, cuerda, polea, destornillador, cronómetro, regla graduada, pie de rey. Fundamento teórico Momento de inercia Cuando un sólido rígido gira alrededor de un eje fijo realizando un movimiento plano, el momento angular L O puede expresarse de la forma: L O = I O ω, (1) donde ω es la velocidad angular del sólido rígido e I O es el momento de inercia del sólido rígido respecto al eje que pasa por O. El momento de inercia I representa la distribución de la masa del sólido rígido alrededor del eje. Derivando la expresión (1) con respecto al tiempo, obtenemos: M O = I O α, (2) donde M O es el momento de las fuerzas exteriores respecto del punto O y α es la aceleración angular del sólido rígido. El cálculo analítico del momento de inercia se reduce a dividir el sólido rígido en porciones infinitesimales de masa, multiplicar esa masa por el cuadrado de la distancia al eje y sumar para todas las

33 r R M t=0 h t f m 1 Figura 1: Medida del momento de inercia del cilindro masas. Expresado en forma matemática: I O = V δ 2 dm, (3) donde δ es la distancia que separa el elemento de masa dm del eje que pasa por O y la integral se extiende a todo el volumen del sólido rígido. El cálculo de momentos de inercia aplicando la expresión (3) sólo puede llevarse a cabo cuando el sólido rígido presenta gran simetría. En el caso de cuerpos irregulares, la determinación de I O se lleva a cabo de forma experimental. Determinación del momento de inercia La determinación experimental del momento de inercia de un cuerpo puede llevarse a cabo mediante un dispositivo como el mostrado en la figura 1. El cuerpo M, del que queremos determinar el momento de inercia, se halla fijado mediante un tornillo a una polea de radio r cuyo eje de rotación es vertical. Sobre ésta está arrollado un hilo inextensible y sin peso apreciable que pasa por otra polea cuyo eje de rotación es horizontal. En el otro extremo del hilo se encuentra un disco de masa m 1. Cuando el sistema parte del reposo, el disco m 1 realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, haciendo girar el cuerpo M alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa (rotación baricéntrica). Llamando T a la tensión del hilo, de la segunda Ley de Newton aplicada al cuerpo m 1 tenemos: m 1 g T = m 1 a. (4) En lo que al cuerpo de masa M se refiere, la única fuerza que realiza momento respecto a su eje de rotación, es la tensión T. Empleando la expresión descrita en (2), podemos poner: Tr = Iα. (5) Obsérvese que la aceleración del disco m 1 y la aceleración angular α del cuerpo no son independientes entre sí. Entre ellas podemos establecer la siguiente ecuación de ligadura: a = αr. (6)

34 Despejando la aceleración a de la expresión (4), despejando la aceleración angular α de la expresión (5) y sustituyendo en la ecuación de ligadura (6), obtenemos el valor de la tensión T : T = m 1gI I + m 1 r2. (7) Obsérvese que la tensión T es siempre inferior al peso m 1 g. Sustituyendo la tensión T en la expresión (4), obtenemos el valor de la aceleración a: a = m 1gr 2 I + m 1 r2. (8) Puesto que el movimiento del disco es uniformemente acelerado y parte del reposo, la altura descendida h en un tiempo t puede expresarse de la forma: h = 1 2 at2 a = 2h t 2. (9) Sustituyendo la expresión de la aceleración (9) en la ecuación (8) y despejando el momento de inercia I, obtenemos: ( ) gt I = m 1 r 2 2 2h 1. (10) La anterior expresión nos permite conocer el momento de inercia I de un sólido rígido si podemos determinar el tiempo que tarda el disco en caer una altura h. Método experimental Con el fin de determinar los momentos de inercia de varios cuerpos, disponga el dispositivo experimental que se detalla en la figura 1. Con la regla graduada mida el tramo de cuerda h que descenderá el disco m 1. Preste especial atención a esta medida, puesto que influirá en todos los resultados posteriores. Con un pie de rey mida el diámetro r de la polea de eje vertical. Coloque el cilindro macizo sobre la polea de eje vertical y fíjelo con el tornillo. Enrolle la cuerda en la polea de eje vertical solidaria al cilindro y cronometre el tiempo empleado por el disco m 1 en descender la altura h. Repita las medidas del tiempo un mínimo de seis (6) veces. Halle la media aritmética de los tiempos medidos y sustituya el valor hallado anteriormente, el radio r, la masa del disco m 1 y la altura h en la expresión (10). Con ello, calcule el momento de inercia I del cilindro macizo. Sustituya el cilindro macizo por el cilindro hueco y proceda con el mismo método que en el caso anterior. Por último, sustituya el cilindro hueco por la barra hueca, configurando el dispositivo experimental que se detalla en la figura (2). Procure que la barra quede lo más centrada posible con respecto al eje de rotación. Seguidamente, coloque en la bara dos de los cilindros ajustables suministrados a unos 5cm del eje de rotación. Anote cuidadosamente la distancia entre los centros de los cilindros ajustables y el eje

35 r R M t=0 h t f m 1 Figura 2: Medida del momento de inercia de la barra de rotación. Cronometre el tiempo empleado por el disco m 1 en descender la altura h (repetir esta medida unas 6 veces y anotar la media aritmética en la tabla). Calcule el momento de inercia I en este caso. Modifique ahora la configuración, desplazando los cilindros ajustables sobre la barra, de forma que aumente su distancia al eje de rotación de 3cm en 3cm hasta llegar al final de la barra. Represente gráficamente los valores calculados de I en función de la distancia de los cilindros ajustables al eje de rotación, R. Resultados Para el cilindro macizo y para el cilindro hueco, determine su momento de inercia. Lleve a cabo el cálculo de errores en la medida indirecta de I, utilizando como error en las medidas directas la precisión del aparato para m 1, h y r, y para el tiempo, además de la precisión del aparato, una estimación del error estadistico de los tiempos obtenidos. Para las masas ajustables, represente gráficamente los momentos de inercia (calculados utilizando la expresión (10)) en función de la distancia de las masas al eje de rotación. Qué función es la que mejor se ajusta a los puntos experimentales?. Es este resultado coherente con la teoría (ecuación (3))? Cuestiones 1. A partir de la expresión (2), determine las unidades del momento de inercia I. 2. Utilizando la expresión (3), calcule el momento de inercia de un cilindro macizo y homogéneo, así como el momento de inercia de un cilindro hueco de paredes delgadas. Compare con los resultados obtenidos aplicando la ecuación (10).

36 Apellidos: Nombre: Grupo: Equipo: Apellidos: Nombre: Fecha: PRÁCTICA: Objetivos Material Resumen de la práctica

37 Medidas m 1 = h = r = Cilindro macizo: R = M = t ( ) < t > = Cilindro hueco: R int = R ext = M = t ( ) < t > = Masas ajustables M = Posición ( ) t ( ) I ( ) [ec. 10]

38 Resultados Cilindro macizo Momento de inercia I = Errores magnitudes medidas una vez (resolución de la medida) σ m 1 = σ h = σ r = Cálculo del error en el tiempo (resolución de la medida + error estadístico) Resolución medida: σ <t>res = Error estadístico: σ <t>est = σ <t> = Cálculo del error en I (medida indirecta) σ I = Resultado final: I =

39 Resultados Cilindro hueco Momento de inercia I = Errores magnitudes medidas una vez (resolución de la medida) σ m 1 = σ h = σ r = Cálculo del error en el tiempo (resolución de la medida + error estadístico) Resolución medida: σ <t>res = Error estadístico: σ <t>est = σ <t> = Cálculo del error en I (medida indirecta) σ I = Resultado final: I =

40 Resultados Masas ajustables Gráfica: I en función de R

41 Resultados Masas ajustables Comentarios Cuestiones