Capítulo I PRINCIPIOS GENERALES Y VECTORES FUERZA 1.1 INTRODUCCIÓN

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1 PRINIPIOS GENERLES Y VETORES FUERZ apítulo I 1.1 INTRODUIÓN La mecánica trata de la respuesta de los cuerpos a la acción de las fuerzas. Las leyes de la mecánica encuentran aplicación en el estudio de las máquinas y las estructuras que entraña la práctica de la ingeniería. Por conveniencia, el estudio de la mecánica se divide en tres partes: Mecánica de cuerpos rígidos, Mecánica de cuerpos deformables y Mecánica de fluidos. El estudio de la Mecánica de cuerpos rígidos se puede subdividir, a su vez, en Estática y Dinámica. La Dinámica a su vez comprende el estudio de la inemática y inética. La Estática se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas, es decir, cuerpos que están en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. La Estática constituye una parte importante del estudio de la Mecánica porque proporciona métodos para la determinación de las reacciones de los apoyos, y de las relaciones entre las distribuciones de fuerzas internas y las cargas exteriores en las estructuras estacionarias. Muchos problemas prácticos de ingeniería que comprenden cargas soportadas por componentes estructurales se pueden resolver utilizando las relaciones que se desarrollan en Estática. Las relaciones entre distribuciones de fuerzas interiores y cargas exteriores que se desarrollan en Estática desempeñan un papel importante en el desarrollo subsiguiente de la Mecánica de cuerpos deformables. La inemática se ocupa del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que originan dicho movimiento. La inemática, a veces llamada geometría del movimiento, constituye una parte importante del estudio de la Mecánica, por su aplicación a problemas en los que sólo intervienen movimientos de partes de una máquina. La inética se ocupa de los cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas; por tanto, tendrán movimientos no uniformes, es decir, acelerados. El estudio de la inética constituye una parte importante del estudio de la Mecánica porque proporciona relaciones entre el movimiento de un cuerpo y las fuerzas y momentos que sobre él actúan. Las relaciones de la inética se pueden obtener por aplicación directa de las leyes de Newton del movimiento o bien utilizando las formas integradas de las ecuaciones del movimiento que dan lugar a los principios del trabajo y la energía, del impulso y la cantidad de movimiento o del teorema del momento cinético. 1

2 La rama de la Mecánica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas interiores y de las deformaciones que tiene lugar en las estructuras de ingeniería reales y en los componentes de maquinarias, cuando están sometidos a sistemas de fuerzas, se conoce con el nombre de Mecánica de cuerpos deformables o Mecánica de Materiales. La rama de la Mecánica que se ocupa de los líquidos y gases en reposo o en movimiento se denomina Mecánica de fluidos. Los fluidos pueden clasificarse en compresibles e incompresibles. Se dice que un fluido es compresible cuando su densidad varía con la temperatura y la presión. Si el volumen de un fluido se mantiene constante durante un cambio de presión, se dice que se trata de un fluido incompresible. En la mayoría de las aplicaciones técnicas, los líquidos se consideran incompresibles. La parte de la Mecánica de fluidos que trata de los fluidos incompresibles recibe frecuentemente el nombre de Hidráulica. 1.2 PRINIPIOS GENERLES MEÁNI La Mecánica es una iencia plicada cuya finalidad es aplicar y predecir los fenómenos físicos y poner las bases para aplicarlos a la ingeniería. Las partes de la mecánica son: ) Mecánica de cuerpos rígidos omprende el estudio de: - Estática.- estudia el equilibrio de los cuerpos. - Dinámica (inemática y inética).- estudia el movimiento acelerado de los cuerpos. ) Mecánica de cuerpos deformables (Mecánica de materiales) ) Mecánica de Fluidos * lgunos entendidos en la materia consideran que las partes de la Mecánica son solamente dos: Mecánica de Sólidos (que comprende la mecánica de cuerpos rígidos y Mecánica de cuerpos deformables) y Mecánica de fluidos. * La Mecánica de Sólidos I es una parte de la Mecánica de Sólidos que trata del estudio de la mecánica de cuerpos rígidos. * Un cuerpo rígido es aquel que está formado por un gran número de partículas que permanecen separadas entre sí por una distancia fija antes y después de aplicar la carga. omo resultado, las propiedades del material de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga rígido no se tendrá que considerar cuando se analicen las fuerzas que actúan sobre éste. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, máquinas, mecanismos, etc, son relativamente pequeñas, y la suposición de cuerpo rígido es apropiada para efectos de análisis. 2

3 1.2.2 NTIDDES FUNDMENTLES DE L MEÁNI Las cantidades o magnitudes fundamentales de la Mecánica son: longitud, masa, tiempo y fuerza. Según el S.I. (Sistema Internacional de unidades) las tres primeras son cantidades de base y la fuerza es una cantidad derivada porque depende de las tres anteriores LS TRES LEYES FUNDMENTLES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO Primera ley: Si la resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanece en reposo (si originalmente está en reposo) o se mueve con velocidad constante en una línea recta (si originalmente estaba con dicho movimiento) Segunda ley: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la fuerza resultante y en la dirección de ésta Tercera ley: Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, pero direcciones opuestas. * Recuerde que las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes, por lo tanto los efectos que producen también son diferentes. demás, la resultante de estas fuerzas es diferente de cero (acción y reacción no se anulan) LEY DE L TRIÓN GRVITTORI DE NEWTON Establece que: Dos cuerpos cualesquiera en el universo se atraen con una fuerza cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de masa de los cuerpos m1 m2 F F d m m F G d

4 Donde: F = magnitud o módulo de la fuerza mutua de atracción gravitatoria entre los cuerpos. G = constante de gravitación universal, m1 y m 2= masas de los cuerpos G m kg s , /(. ) d = distancia de separación entre los centros de masa de los dos cuerpos ONVERSIÓN DE UNIDDES Para convertir unidades de un sistema a otro, se utilizan las equivalencias respectivas (o factores unidad cuando dos de estas equivalencias se dividen entre sí). continuación se muestra las principales equivalencias para unidades de longitud, masa, volumen y fuerza. De longitud 1 m = 100 cm = 3,281 pie 1 pie = 30,48 cm = 12 pulg 1 milla terrestre = m 1 pulg = 2,54 cm 1micra ()= 10-6 m = 10-4 cm 1cm = 10-2 m De masa 1 b = 16 onzas = 454 g 1 onza = 28,36 g 1 tonelada métrica = 10 3 kg = b 1 kg = 1000 g = 2,205 b 1 slug = 14,59 kg 1 kg = 0,06854 slug De volumen 1 barril = 42 galones 1 dm 3 = 10 3 cm 3 = 1 1 galón = 3,7853 ( EEUU) = 4,546 (Inglés) 1 pie 3 = 28,316 1 m 3 = m = 1 cm 3 De Fuerza 1 kgf = 9,81 N = 2,205 bf 1 kgf = 10 3 gf 1 N = 0,2248 bf 1 bf = 4,448 N 1 KN = 10 3 N 4

5 1.3 VETORES FUERZ Vector de Posición Un vector de posición r relación con otro punto. se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en Si el vector de posición r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P (x, y, z), entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como r x i y j z k Si el vector de posición r se extiende desde el punto P 1 (x 1, y 1, z 1 ), hasta el punto P 2 (x 2, y 2, z 2 ), entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como r P 1 (x 1, y 1, z 1 ) P 2 (x 2, y 2, z 2 ) r ( x x ) i ( y y ) j ( z z ) k Donde: i, j, k son vectores unitarios cartesianos * El vector de posición r también puede escribirse de la forma siguiente: r ( x x, y y, z z ) La magnitud o módulo del vector de posición r viene dado por: r ( x x ) ( y y ) ( z z ) Vector artesiano Un vector cartesiano en el espacio es aquel vector que se expresa en función de sus componentes rectangulares x, y, z. La magnitud de un vector cartesiano es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes. La dirección de un vector cartesiano está dada por los ángulos que forma dicho vector con cada uno de los ejes coordenados, a estos ángulos se les denomina ángulos directores y se les representan por, y. 5

6 z Vector : X y Z o también: x i y j z k x x Z y y Módulo o magnitud de : Donde: x y z cos cos cos x y z omponentes rectangulares Dirección de : es la misma dirección de su vector unitario. Se cumple que: x y z i j k Es decir: cos i cos j cos k Donde: cos,cos,cos se llaman cosenos directores demás: cos cos cos Producto escalar de vectores o producto punto Es aquel producto de vectores que genera un escalar (número real, positivo o negativo). Si y son vectores, su producto escalar queda definido por: cos Si: (,, ), (,, ) entonces: x y z x y z x x y y z z Se cumple que: i i 1 ; j j 1 ; k k 1. simismo: i j 0 ; jk 0 ; i k 0 6

7 * Una de las aplicaciones del producto escalar de vectores es para determinar el ángulo entre dos vectores o líneas que se intersecan. Para el caso de los vectores y, mostrados en la figura anterior, el ángulo entre ellos viene dado por: cos Producto vectorial de vectores o producto cruz Es aquel producto de vectores cuyo resultado es otro vector, cuya dirección se determina aplicando la regla de la mano derecha o regla del sacacorchos. Si y son vectores, su producto vectorial, queda definido por: sen También: i j k x y z x y z El módulo o magnitud de es: sen La dirección del vector Se cumple que: es perpendicular al plano que contiene a los vectores y. i i 0 ; j j 0 ; k k Producto triple escalar o producto triple mixto Es aquel producto de vectores cuyo resultado es un escalar. Se define el producto triple escalar o producto triple mixto de tres vectores, y como la expresión escalar ( ) la cual se obtiene formando el producto escalar de con el producto vectorial de y. 7

8 8 Pr oy Se cumple que: Z Y X Z Y X Z Y X ) ( Proyección de un vector sobre otro vector La proyección de un vector sobre otro vector es un vector dado por: oy 2 Pr O también: oy Pr Nota: la componente del vector sobre el vector es un número (escalar) igual al módulo del vector proyección. Es decir: omp