Introducción La Investigación de Operaciones (IO) es tanto una ciencia como un arte, tal vez esta afirmación resulte un tanto incomprendida, pero al

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1 Introducción La Investigación de Operaciones (IO) es tanto una ciencia como un arte, tal vez esta afirmación resulte un tanto incomprendida, pero al ir avanzando la comprenderán. Es necesario tener los conocimientos o por lo menos las nociones de lo concerniente a la investigación de operaciones, sus ventajas y desventajas, características y los procesos para llevarla a cabo; el hecho de poder resolver situaciones a través de la programación lineal será de mucha utilidad en muchas a reas incluso en la cotidianidad.

2 Qué es investigación de operaciones? Según Serra (2002), la investigación de operaciones tiene como base el método científico para investigar y ayudar a tomar decisiones sobre los problemas complejos de las organizaciones de hoy en día. En esta se utilizan los modelos matemáticos, la estadística y algoritmos, por eso se considera una rama de las matemáticas. Básicamente la investigación operativa sigue los pasos siguientes: 1. La observación de un problema. 2. La construcción de un modelo matemático que contenga los elementos esenciales del problema. 3. La obtención, en general con la utilización de un ordenador. 4. De las mejores soluciones posibles con la ayuda de algoritmos exactos o heurísticos y finalmente. 5. La calibración y la interpretación de la solución y su comparación con otros métodos de toma de decisiones.

3 Evolución. El desarrollo de la investigación operativa, según muchos autores, ha representado uno de los avances científicos más importantes desde mediados del siglo XX. Actualmente es una herramienta utilizada en muchos campos de la administración, de la economía y de la ingeniería. Existen muchos libros de texto sobre el tema y miles de artículos científicos en revistas especializadas. Taha (2012) afirma que las primeras actividades formales de investigación de operaciones (IO) se iniciaron en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando un equipo de científicos empezó a tomar decisiones con respecto a la mejor utilización del material bélico. Al término de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares se adaptaron para mejorar la eficiencia y productividad en el sector civil. Sin embargo, el origen de la Investigación Operativa puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque fue durante este período que comienzan a originarse los problemas tipo que la Investigación Operativa trata de resolver. A partir de la Revolución Industrial y a través de los años se origina una segmentación funcional y geográfica de la administración, lo que da origen a la función ejecutiva o de integración de la administración para servir a los intereses del sistema como un todo. La Investigación Operativa tarda en desarrollarse en el campo de la administración industrial. El uso de la metodología científica en la industria se incorpora al principiar los años 50, a partir de la 2da Revolución Industrial, propiciada por los avances de las Comunicaciones, y la Computación, que sientan las bases para la automatización, y por sobre todo por el florecimiento y bienestar económico de ese período. Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.

4 Evolución de la Investigación de Operaciones (IO): algunas fechas, nombres y temas Quensay Programación Matemática Entre Entre Entre Walras Precursores de modelos lineales. Jordan Minkowsky Farkas Markov Precursor de modelos dinámicos probabilísticos. Markov Primer desarrollo de modelos de inventarios. Erlang Primeros estudios de líneas de espera Koning y Egervary Métodos de asignación (analíticos) 1937 Von Neuman Teoría de juegos y de preferencias Kantorovich Problemas de distribución da guerra Finales 2da guerra Logística estratégica para vencer al enemigo. Logística de distribución de recursos de los Aliados Dantzig, George Método simplex en base al trabajo de precursores, inicio a la Programación Lineal Bellaman Kuhn y Tucker Gomory Ford y Fulkerson Markowitz Arrow,Karloin,Scarf, Whitin Rafia Programación dinámica. Programación No Lineal. Programación Entera. Redes de optimización. Simulación. Inventarios. Análisis de Decisiones.

5 1970 y década de los en adelante Actualmente Howard Procesos Markovianos de Decisión. Churchman, Ackoff, Orientación a sistemas, generalización de la Arnoff Investigación Operativa. Receso en el uso de la Investigación de Operaciones. Reflorecimiento de la disciplina con el devenir del control automático industrial, las microcomputadoras y las nuevas interfaces gráficas que impulsan el desarrollo de los Sistemas Automatizados de Apoyo a la Toma de Decisiones, donde la Investigación Operativa juega un papel preponderante. IO se aplica al sector privado y público, a la industria, los sistemas de comercialización, financieros, de transportes, de salud etc., en los países desarrollados, en vías de y en los del tercer mundo. Características de la Investigación de Operaciones (IO): La IO usa el método científico para investigar el problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes. Adopta un punto de vista organizacional. De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Intenta encontrar una mejor solución, para el problema bajo consideración, llamada solución óptima. En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Ha desarrollado una serie de técnicas y modelos muy útiles. Tiende a representar el problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común. En la IO es necesario emplear el enfoque de equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas, estadísticas y teoría de

6 probabilidades, economía, administración de empresas ciencias de la computación, ingeniería, etc. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema. Áreas en donde se aplica en la empresa. Principales usos: sector manufactura y sector servicios. Áreas funcionales, Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a continuación: Personal: La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción. Servicios: Comercio, optimización de actividades financieras, gestión y administración de empresas, la publicidad y las consultorías y asesoramientos económico, jurídico, tecnológico, de inversiones, etc. Mercado y distribución: El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores. Compras y materiales: Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar. Finanzas y contabilidad: Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones. Planeación: Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse. Manufactura: La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad.

7 Qué es la programación lineal? Serra (2002) afirma La programación lineal es la herramienta básica más utilizada dentro de la investigación de operaciones (IO), debido tanto a su inmenso abanico de aplicaciones como a su simplicidad de implementación. Efectivamente, el desarrollo de la programación lineal, según muchos autores, ha representado uno de los avances científicos más importantes desde mediados del siglo XX. La programación lineal consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización, es un caso especial de la programación matemática, en donde todas las funciones que hay en el modelo son lineales: siempre tenemos una función objetivo lineal a optimizar (maximizar o minimizar), sujeta a restricciones lineales individuales. Las variables del modelo, que son continuas, únicamente pueden coger valores no negativos. El término programación tiene su origen en la planificación de las actividades que se realizan en una organización tal como una fábrica, un hospital, una compañía aérea o un organismo público, en dónde hay un objetivo a optimizar (maximización de beneficios, minimización de costes, maximización de la cobertura sanitaria, etc.). No tenemos que confundir este término con la programación en referencia a la preparación de una serie de órdenes e instrucciones de un lenguaje informático en un ordenador. Características. Las principales características de La Programación lineal son: 1. Un único objetivo lineal a optimizar (maximizar o minimizar) 2. Unas variables de decisión que siempre son continuas y no negativas 3. Una o más restricciones lineales 4. Un conocimiento exacto de los parámetros y recursos utilizados en la construcción del modelo.

8 Objetivos de la programación lineal. El objeto de la programación lineal es optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad, denominada función objetivo. Consiste en encontrar los valores de unas variables que maximizan o minimizan un único objetivo sujeto a una serie de restricciones. Qué es un modelo de programación? Un modelo de programación es una representación simbólica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lógicas matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo) o al costo (con mínimo) en la Función Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en las restricciones. Estructura de un modelo de programación lineal (PL). La estructura matemática general de la programación lineal es la siguiente: 1a parte Definición con el significado cuantitativo de las variables de decisión (controlables). Sea: X j = número de de unidades 2da parte Modelo o Función objetivo a optimizar (máximo o bien mínimo): Z = f(x 1,, X n ) = C 1 X 1 + C 2 X 2 + +C j X j + C n X n = C j X j para j = 1,2,, n n j=1 3ra parte Sujeta a restricciones:

9 4ta parte Condición de no negativo, las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos: Toda X_j 0 con j=1,2,,n Toda X j 0 con j = 1,2,, n Objetivos: maximizar, minimizar, optimizar, restricciones. Maximizar: Aumentar de manera significativa los valores de una variable o proceso para tener un resultado óptimo. Minimizar: Reducir de manera significativa los valores una variable o proceso para tener un resultado óptimo. Optimizar: Determinar los valores de las variables que intervienen en un proceso o sistema para que el resultado que se obtenga sea el mejor posible. Restricciones: Conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución. Hacer una revisión bibliográfica o por internet, e identifique 2 situaciones en donde se hayan aplicado modelos de programación lineal y cítelos. Situación 1 En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? Solución: En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo Nº Bizcocho Relleno Beneficio T. Vienesa x 1.x 0,250x 250x T. Real y 1.y 0,500y 400y

10 Función objetivo (hay que obtener su máximo): Z=f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema): x+y 150; 0,250x+0,500y 50; x 125; y 125; x 0; y 0 Situación 2 Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. Solución: Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo. Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene que: x 8, y 10 Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y 9 Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y 400, que simplificada quedaría 4 x +5y 5. Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son: x 0; y 0; x 8; y 10; x+y 9; 4x+5y 40 Situaciones 1 y 2 tomada de la web: Qué es el método gráfico? Según Serra (2002), este método es muy simple de utilizar, pero solo puede ser aplicado a problemas con dos variables. Por otro lado, es muy útil para entender las propiedades matemáticas de la programación lineal. Es un método que genera soluciones de situaciones por medio de gráficos en el plano bidimensional o tridimensional.

11 Características generales. Algunas de las características de este método, llamado Método Gráfico de Programación Lineal, son las siguientes: La metodología para la resolución de un problema de dos variables de decisión. Está limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Al ser un método de programación lineal las restricciones siempre son rectas en el plano (dos variables) o en el espacio (3 variables). El intercepto entre las rectas que forman las restricciones le dan una solución cierta y optima del modelo. Permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal. Puede ser impráctico o imposible. Procedimiento en su aplicación. Resolver mediante el método Gráfico el siguiente problema: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y Sujeto a: 2x + y 18; 2x + 3y 42; 3x + y 24; x 0 ; y 0 1. Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable "x" y al otro la "y" (generalmente se asocia 'x' al eje horizontal e 'y' al vertical), como se puede ver en la figura. 2. Se marca en dichos ejes una escala numérica apropiada a los valores que pueden tomar las variables de acuerdo a las restricciones del problema. Para ello en cada restricción se hacen nulas todas las variables excepto la correspondiente a un eje concreto, determinándose así el valor adecuado para dicho eje. Este proceso se repite para cada uno de los ejes. Cómo graficar restricciones? 3. A continuación se representan las restricciones. Comenzando con la primera, se dibuja la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el

12 proceso con las demás restricciones, quedando delimitadas la región de color AZUL y ROJO para la segunda y tercera restricción respectivamente. 4. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas tanto por el conjunto de restricciones, como por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por ambos ejes de coordenadas. Dicha región factible está representada por el polígono O-F-H-G-C, de color VIOLETA. Qué es el polígono de soluciones posibles? Cómo se evidencia en el gráfico? 5. Como existe una región factible, se procede a determinar sus puntos extremos, o vértices del polígono que representa las soluciones posibles. Estos vértices son los puntos candidatos a soluciones óptimas. En este ejemplo son los puntos O-F-H-G-C de la figura. 6. Finalmente, se evalúa la función objetivo (3x + 2y) en cada uno de esos puntos (resultado que se recoge en la tabla siguiente). Como el punto G proporciona el

13 mayor valor a la función Z y el objetivo es maximizar, tal punto constituye la solución óptima: Z = 33 con x = 3 e y = 12. Punto extremo Coordenadas (x,y) Valor objetivo (Z) O (0,0) 0 C (0,14) 28 G (3,12) 33 H (6,6) 30 F (8,0) 24 Tipos de soluciones de problemas en el método gráfico. Identifique y cite 3 problemas en donde dado un modelo, éste pueda ser resuelto por medio del método gráfico. Identifique que dentro de los ejemplos citados estén los pasos asociados al algoritmo de solución presentado en el material. Problema 1 Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan beneficio máximo? Solución: Elección de las incógnitas: x = Número de pantalones y = Número de chaquetas Paso 1 Modelo Matemático o Función objetivo: z=f(x,y)= 50x + 40y

14 Paso 2 Restricciones: Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1 1,5 750 poliéster x + 1.5y 750 2x+3y x + y x + y 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y 0 Paso 3 Graficar las Restricciones Hallar el conjunto de soluciones factibles: Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

15 Resolvemos gráficamente la inecuación x + 1.5y 750, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0) entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y Paso 4 Encontrar el Polígono de Soluciones Posibles La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles. Paso 5 Determinar P*(Punto Óptimo) y Z*(Mejor valor de Z) Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles: La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0,500) 2x + y = 1000; y = 0 (500,0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375,250)

16 Calcular el valor de la función objetivo: En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. z=f(x,y) = 50x + 40y z=f(0,500) = = z=f(500,0) = = z^*=f(375,250) = = Máximo La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de Tomado de la web: Problema 2 Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan por lo menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 (euros) y la pequeña de 1. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

17 Solución: Elección de las incógnitas: X = Pastillas grandes Y = Pastillas pequeñas Paso 1 Modelo Matemático o Función objetivo: z=f(x,y) = 2x + y Paso 2 Restricciones: 40x + 30y 600; x 3; y 2x; x 0; y 0 Paso 3 Graficar las Restricciones Hallar el conjunto de soluciones factibles: Paso 4 Encontrar el Polígono de Soluciones Posibles Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles:

18 Paso 5 Determinar P*(Punto Óptimo) y Z*(Mejor valor de Z) Calcular el valor de la función objetivo, se remplaza las coordenadas halladas (x,y): z=f(x,y) = = 22 z=f(x,y) = = 12 z^*=f(x,y) = = 24 Máximo El máximo beneficio es de 24, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas. Tomado de la web: Problema 3 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Solución: Elección de las incógnitas. x = P1 (empaquetado 1) y = P2 (empaquetado 2) Paso 1 Modelo Matemático o Función objetivo: Z=f(x, y) = 6.5x + 7y Paso 2 Restricciones: Producto P1 P2 Disponibles Cuadernos Carpetas Bolígrafos

19 2x + 3y 600; x + y 500; 2x + y 400; x 0; y 0 Paso 3 Graficar las Restricciones Hallar el conjunto de soluciones factibles Paso 4 Encontrar el Polígono de Soluciones Posibles Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. Paso 5 Determinar P*(Punto Óptimo) y Z*(Mejor valor de Z) Calcular el valor de la función objetivo Z=f(x,y) = = 1300 Z=f(x,y)= = Z * =f(x,y)= = Máximo La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675

20 Análisis La investigación de operaciones investiga y ayuda a la toma de decisiones sobre problemas complejos implementando métodos científicos. Esta es una herramienta utilizada en muchos campos de la administración, de la economía y de la ingeniería La investigación de operaciones (IO) se encarga de representar el problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común. Muchas veces al ver un problema se tiene la tentación de aplicar métodos matemáticos, pero es que acaso siempre es necesario llegar al óptimo? Podría ser más caro el modelar y el llegar al óptimo que a la larga no ofrezca un margen de ganancias muy superior al que ya se tiene. Ahora se tienen que la herramienta básica más utilizada dentro de la investigación de operaciones (IO), debido tanto a las inmensas posibilidades de aplicaciones como a su simplicidad de implementación es la programación lineal, esta consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización, este es su único objetivo. Su base son los modelos de programación que transforman situaciones reales en simbólicas, para poder cuantificar las soluciones. Se desarrollan Modelos Matemáticos de Programación Lineal de: Maximización y Minimización, los cuales están indicados en la Función Objetivo del Modelo. Modelo de maximización: Cuando se desea maximizar o incrementar las: Utilidades, producción, ventas, beneficios rentabilidad publicidad, etc. Modelo de minimización: Cuando se desea minimizar o disminuir los: Costos, perdidas, desperdicios, distancias, tiempo inoperativo, etc. Existen varios métodos para solución de situaciones donde se aplica la programación lineal, uno de ellos es el método gráfico, se usa comúnmente para problemas con dos variables y a veces tres variables (donde graficar no es tan sencillo); este método es sencillo de usar ya que consiste en establecer el modelo, buscar las restricciones, luego buscar los puntos de la región que cumple con las

21 restricciones que también se conoce como polígono de soluciones posibles, evaluar los puntos de dicha región y ver qué valor maximiza o minimiza la operación o proceso.

22 Conclusiones De lo mostrado anteriormente se puede concluir que la investigación de operaciones es una mescla entre la búsqueda de soluciones y el uso de herramientas matemáticas; el evidenciar el uso dado a la programación lineal permite ver que no hay muchos limites en la aplicación de modelos matemáticos. Maximizar y minimizar procesos, es muy importante para cualquier organización, todo proceso se basa en el buen desempeño y un buen desempeño es aquel que es óptimo. Posición Personal Según lo evidenciado acerca de la Investigación de Operaciones, la Programación lineal y el método gráfico, se puede afirmar que son herramienta de gran utilidad en la toma de decisiones, al ver las situaciones y problemas mostrados, una organización, empresa o negocio puede usar el máximo potencial de sus procesos al usar la programación lineal; pero no es la herramienta definitiva, hay que pensar en el posible hecho de que: puede que se tenga una solución óptima, pero lo óptimo no es siempre lo que se quiere, un ejemplo de esto es que hay industrias que pese a saber que tienen una ganancia optima con el producto, aun así puede que no sea suficiente, entonces consideran otros criterios más allá de la programación lineal para obtener lo deseado.

23 Bibliografía: Taha, Hamdy A. (2012). Investigación de Operaciones. Editorial Person Educación. México. 9na ed. Serra, Daniel (2002). Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones