Matemáticas 1º Bachillerato CCNN. Tema 8:Probabilidad

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1 Tema 8:Probabilidad 0.- Itroducció 1.- Experimetos Aleatorios 2.- Espacio Muestral 3.- Sucesos 4.- Frecuecias 5.- Probabilidad 6.- Regla de Laplace 7.- Probabilidad Codicioada 8.- Sucesos Idepedietes 9.- Combiatoria 10.- Experimetos Compuestos. Diagramas e árbol Experimetos Dicotómicos. Distribució Biomial 12.- Ejercicios Resueltos Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-1

2 8.0.- Itroducció A cualquiera que pregutemos cuato tiempo tardaríamos e recorrer los 350 kilómetros que separa Valecia de Barceloa, si os desplazamos co velocidad costate de 100 km/h, os cotestará si dudar que 3 horas y media. Su actitud sería muy distita si, previamete a su lazamieto, le pregutamos por la cara que os mostrará u dado. Se trata de dos feómeos de aturaleza bie distita; el primero perteece a los que podemos deomiar determiistas, aquellos e los que la relació causa-efecto aparece perfectamete determiada. E uestro caso cocreto, la coocida ecuació e = v t, describe dicha relació, el segudo perteece a la categoría de los que deomiamos aleatorios, que se caracteriza porque au repitiedo e las mismas codicioes el experimeto que lo produce, el resultado variará de ua repetició a otra detro de u cojuto de posibles resultados. La Teoría de la Probabilidad pretede emular el trabajo que los físicos y, e geeral, los cietíficos experimetales ha llevado a cabo. Para eteder esta afirmació observemos que la ecuació aterior, e = v t, es u resultado experimetal que debemos ver como u modelo matemático que, haciedo abstracció del móvil cocreto y del medio e el que se desplaza, describe la relació existete etre el espacio, el tiempo y la velocidad. La Teoría de la Probabilidad os permitirá la obteció de modelos aleatorios o estocásticos mediate los cuales podremos coocer, e térmios de probabilidad, el comportamieto de los feómeos aleatorios Experimetos Aleatorios U experimeto se llama aleatorio cuado se cooce todos los posibles resultados del mismo, pero o puede predecirse cuál de ellos se producirá e ua experiecia correcta. So ejemplos de experimetos aleatorios: lazar ua moeda al aire, extraer u aipe de la baraja, lazar u dado, etc. E u experimeto Aleatorio: Sabemos lo que puede ocurrir, pero o lo que va a ocurrir Espacio Muestral Cojuto de todos los resultados que se puede obteer e u experimeto aleatorio. Si lazamos ua moeda al aire, cabe dos posibilidades C y +. El espacio muestral asociado a esta experiecia es E={C,+}. Al lazar u dado cabe seis posibilidades, por tato el espacio muestral es E={1,2,3,4,5,6} Sucesos Se llama suceso a cualquier subcojuto del espacio muestral E. Los sucesos se simboliza por las letras A,B,C. Si E es u cojuto co elemetos hay 2 posibles sucesos Tipos de Sucesos Sucesos Elemetales: Formados por u solo elemeto, A{C}, B{+}, Suceso Seguro: Es el que siempre ocurre, es todo el espacio muestral. Suceso Imposible: Es el que uca ocurre, se represeta por. Ejemplos: El suceso de obteer, al lazar u dado, u úmero igual o meor que 6 es A={1,2,3,4,5,6}. El suceso de obteer, al lazar u dado, u úmero superior a E es el suceso imposible. Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-2

3 Suceso cotrario u opuesto de A: Es el que se verifica para todos los resultados que o verifica A. Se simboliza por A ó por A c. Ejemplo: El suceso cotrario del suceso " Obteer u úmero par al lazar u dado es A c ={1,3,5} ya que A={2,4,6}. Sucesos icompatibles o excluyetes: los sucesos A y B so icompatibles si su realizació simultáea es imposible, es decir si o puede ocurrir a la vez. E particular dos sucesos cotrarios so icompatibles. Sucesos Compatibles: Los sucesos A y B so compatibles si su realizació simultáea es posible Operacioes co Sucesos Uió de dos sucesos A y B es el suceso que se realiza cuado uo al meos de los sucesos A y B se realiza. Se simboliza por A B. Itersecció de los sucesos A y B es el suceso que se realiza cuado A y B se realiza de forma simultáea. Se simboliza por A B. Ejemplo: Si A es el suceso "Obteer u úmero par" al lazar u dado, y B el suceso "Obteer u múltiplo de tres" A = {2,4,6}: B= {3,6}. A B 2,3, 4,6 A B 6. El suceso El suceso Los sucesos A y B so compatibles si y sólo si A B. Ejemplos: Si A es el suceso "Obteer u úmero par" al lazar u dado, B el suceso "Obteer u múltiplo de 3" y C el suceso "Obteer u múltiplo de 5". A={2,4,6}; B={3,6}; C={5} A B 6 A C Los sucesos A y B so compatibles, mietras que los sucesos A y C so icompatibles. Los sucesos A 1,A 2,,A costituye ua partició de E si iguo es el, so icompatibles dos a dos y A A... A E Frecuecias Si se realiza pruebas de u experimeto aleatorio y el suceso A se preseta N A, veces, se dice que la frecuecia absoluta del suceso A e las pruebas es N A, y la frecuecia relativa que la simbolizaremos por fr(a), se calcula: NA f ( A) r Ejemplo: Se laza u dado 10 veces, obteiedo los siguietes resultados 5, 2, 1, 1, 3, 2, 6, 4. 3, 1. Si el suceso A es "Obteer u úmero impar, A={5,1,1,3,3,1} la frecuecia absoluta de A es N A = 6, mietras que la frecuecia relativa es: NA 6 f ( A) 0,6 r 10 Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-3

4 8.5.- Probabilidad Ua probabilidad P es ua aplicació e el itervalo [0,1] que satisface las tres propiedades siguietes. Para todo suceso A: P ( A) 0 P ( E ) 1 Si A,A,...A so suscesos de E icompatibles dos a dos: 1 2 P ( A A... A ) P ( A ) P ( A )... P ( A ) P(A) se leerá probabilidad del suceso A, o simplemete probabilidad de A. La asigació de probabilidades a los sucesos de u experimeto aleatorio suele hacerse cosiderado las frecuecias relativas de los sucesos elemetales e u úmero elevado de pruebas. Ejemplo: Se laza 100 veces u dado trucado cuyas caras está umeradas co los úmeros 1,2,3,4,5 y 6, obteiedo los siguietes resultados: i Asigado a cada suceso elemetal ua probabilidad igual a su frecuecia relativa, se tedrá: P (1) P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) La probabilidad del suceso A obteer úmero impar es: P ( A) P (1,3,5) P (1) P (3) P (5) De la defiició de probabilidad se deduce las siguietes propiedades. Las probabilidades de dos sucesos cotrarios suma uo: P ( A) P ( A ) 1 P ( A) 1 P ( A ) La probabilidad del suceso imposible es cero P ( ) 0 Para cualquier suceso A, 0 P ( A) 1 Para dos sucesos cualesquiera A y B: P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A B) P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A B) P ( A B) P ( B) P ( A B) P ( A B ) P ( A) P ( A B) P ( A B ) P ( A B) 1 P ( A B) P ( A B ) P ( A B) 1 P ( A B) P ( A B) P ( A) P ( A B) P ( A B ) P ( B) P ( A B) P (alguo) 1 p(iguo) Si los sucesos A 1, A 2.,A costituye ua partició de E: P ( A ) P ( A )... P ( A ) Regla de Laplace E ua experiecia aleatoria e que todos los casos posibles so igualmete probables, la probabilidad de u suceso A es: Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-4

5 úmero de casos favorables P ( A) úmero de casos posibles Ateció!!! Para poder aplicar la regla de Laplace es imprescidible que todos los casos posibles sea igualmete probables. Esto, que suele suceder e los juegos de azar secillos o es siempre cierto, i mucho meos. Ejemplo: E el caso del tratamieto médico, el espacio muestral, sólo costa de dos sucesos: E = {éxito, fracaso} 1 Al aplicar la regla de Laplace resultaría: P ( éxito ) P ( fracaso), lo que maifiestamete es falso como acredita el 95% de 2 éxito costatado Probabilidad Codicioada Sea dos sucesos del mismo experimeto aleatorio, tales que P(B)> O. Se llama probabilidad codicioada de A respecto de B a la probabilidad de que se realice A sabiedo que se ha realizado B y se simboliza por P(A/B). Matemáticamete: P ( A B) P ( A / B) P ( B) El valor P(A/B) se refiere a u suceso ya realizado, por lo que a P(A/B) se le da el ombre de probabilidad de B a posteriori de A, e cotraposició al valor de P(A) se da el ombre de probabilidad a priori de A, es decir, ates de hacer igua prueba y saber si se ha realizado o o. De forma similar, probabilidad codicioada de B respecto de A, es la probabilidad de que se realice A sabiedo que B ya ha ocurrido. P ( A B) P ( B / A) P ( A) Si A y B so sucesos de probabilidad o ula, y despejamos de ambas la probabilidad de la itersecció, obteemos: P ( A B ) P ( A) P ( B / A) P ( A B ) P ( B ) P ( A / B ) que recibe el ombre de Teorema de la probabilidad Compuesta ó Teorema de la itersecció. Ejemplo: E u istituto, el 60% de los alumos de COU estudia Matemáticas, y el 80% de los que estudia Matemáticas tambié estudia Física. Se elige al azar u estudiate de COU de dicho Istituto Cuál es la probabilidad de que estudie matemáticas y Física? Sea M el suceso "Estudiar Matemáticas"; F el suceso "estudiar Física"; por el Teorema de la probabilidad compuesta: P ( M F ) P ( M ) P ( F / M ) 0, Por tato, el 48% de los alumos de COU de dicho Istituto estudia ambas asigaturas. Si A y B so dos sucesos icompatibles, ocurre que: P ( ) P ( A / B ) 0 P ( B ) Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-5

6 8.8.- Sucesos Idepedietes Dos sucesos A y B so idepedietes, si el resultado de uo o ifluye e el resultado del otro. Matemáticamete dos sucesos so idepedietes: P ( A) P ( B) P ( A B) De esta defiició y del teorema de la probabilidad compuesta, resulta que los sucesos A y B so idepedietes si y sólo si: P ( A / B ) P ( A) P ( B / A) P ( B ) Ejemplo: Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, co reemplazamieto, de ua baraja española, sea todas copas. Como la carta extraída se vuelve a itroducir, los sucesos so idepedietes y la probabilidad buscada es: P ( C C C ) P ( C ) P ( C / C ) P ( C / C, C ) P ( C ) P ( C ) P ( C ) Dode C i deota el suceso salir copas e la extracció úmero i. Cuado e la probabilidad de Laplace el úmero de casos favorables, ó el úmero de casos posibles, o ambos, es muy elevado, es coveiete recurrir al cálculo combiatorio que resumimos a cotiuació: Combiatoria Se llama factorial de u úmero atural x y se represeta por x! al producto de x factores cosecutivos y decrecietes de x hasta 1. x! x ( x 1) ( x 2) 1 Ejemplos: 0! =1 por coveio, 1! = 1 ; 2! = 2 1 = 2 ; 3! = 3 2 1= 6 4! = = Variacioes ordiarias (Si Repetició) Variacioes de elemetos tomados de m e m (m<) so todos los grupos que se puede formar co estas características: U mismo elemeto o puede aparecer repetido. Si los elemetos se cambia de orde resulta u grupo distito. Si se sustituye u elemeto por otro resulta u grupo distito. m! El úmero de variacioes si repetició se calcula mediate: V ( m)! Ejemplo: Cuátas palabras de 3 letras se puede formar co las cico letras vocales (tega o o setido)?. 3 5! 5! Aquí =5 y m=3, por tato: V (5 3)! 2! Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-6

7 Variacioes co repetició Variacioes co repetició de elemetos, torados de m e m, so todos los grupos que se puede formar co estas características: U mismo elemeto puede aparecer repetido (Reposició). Si los elemetos se cambia de orde resulta u grupo distito. Si se sustituye u elemeto por otro resulta u grupo distito. Su úmero se calcula mediate: RV m m, dode la R idica repetició. Ejemplo: Si e el ejemplo aterior pudiera repetirse las letras Cuatas palabras se podría formar? Aquí =5 y m=3, por tato: 3 3 RV A las Variacioes de elemetos tomados de e ( = m) se las llama permutacioes de elemetos y su úmero se calcula mediate: P!. Ejemplo: Cuátas palabras de 5 letras puede formarse co las 5 letras vocales? P 5 = 5! = = Combiacioes Combiacioes de elemetos, tomados de m e m ( m ) so todos los grupos que se puede formar co estas características: U mismo elemeto o puede aparecer repetido. Si los elemetos se cambia de orde resulta el mismo grupo. Si se sustituye u elemeto por otro resulta u grupo distito. Su úmero se calcula mediate: C m! m!( m)! Ejemplo: Si e ua clase de 40 alumos queremos formar grupos de 5 si que importe el orde e que se elige a los compoetes. Cuátos grupos saldría?. 5 40! C ! 35! E la mayoría de los problemas de combiatoria, la dificultad estriba e saber si hay que aplicar las fórmulas de variacioes, permutacioes o combiacioes, y para ello este esquema os puede ayudar bastate: Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-7

8 Determiamos y m Es =m? Si No P! Ifluye el orde de los elemetos? (Permutacioes) No Si C m! m!( m)! (Combiacioes) Si Puede repetirse los elemetos? No RV m m (Variacioes co Repetició) V m! ( m)! (Variacioes) Experimetos Compuestos. Diagramas e árbol ay ua serie de técicas que ayuda a efectuar recuetos. La más práctica y secilla es el diagrama e árbol, que permite represetar de forma clara y ordeada el proceso que se sigue al ir cotado los diferetes casos que puede presetarse. Para la costrucció de tal diagrama se partirá poiedo ua rama para cada ua de las distitas posibilidades, acompañada de su probabilidad. El fial de cada rama parcial, costituye a su vez u udo, del cual parte uevas ramas, segú las posibilidades del siguiete paso, salvo si el udo preseta u posible fial del experimeto (udo fial). ay que teer e cueta: E cada udo, la suma de las probabilidades de todas las ramas que parte de él es igual a uo. La probabilidad de cada suceso se calcula multiplicado las probabilidades de cada rama. Ejemplo: U jugador lleva e su bolsillo dos moedas: ua moeda co cara y cruz y otra co dos caras. Elige ua de ellas ala azar y sale cara. Cuál es la probabilidad de que haya elegido la moeda ormal?. Si represetamos las distitas posibilidades e u diagrama e árbol, teemos: Obteció de moeda Moeda Normal Cara P(Normal Cara) = 0,5 0,5 = 0,25 Cruz P(Normal Cruz) = 0,5 0,5 = 0,25 Moeda Trucada Cara P(Trucada Cara) = 0,5 1 = 0,5 Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-8

9 1 1 P ( Normal Cara ) 1 Así, P ( Normal / Cara ) 2 2 P ( Cara ) Experimetos Dicotómicos. Distribució Biomial Experiecia dicotómica Si e ua experiecia aleatoria destacamos u suceso A y prestamos ateció, exclusivamete, a si ocurre A o su cotrario, A, se trata de ua experiecia dicotómica. Al suceso A se le deomia éxito y a su probabilidad, p(a)= p. La probabilidad de su cotrario es P(A )=1-p=q So ejemplo de estas experiecias, lazar ua moeda, lazar ua chicheta, lazar u dado y ver si sale 5, etc Distribució Biomial Si se repite veces ua misma experiecia dicotómica, y os pregutamos por el úmero, k, de éxitos, observamos que la variable es discreta, pues puede tomar los valores 0,1,2,,. La distribució de probabilidad de la variable k se llama distribució biomial B(,p), dode es el úmero de veces que se repite la experiecia y p=p[a] es la probabilidad de éxito e cada ua de las experiecias. B(, p ) Ejemplos: Si lazamos u dado 6 veces y os pregutamos por el úmero de cicos, se trata de ua distribució biomial co =6 y p=1/6. Por tato B(6,1/6) Si dejamos caer al suelo 100 chichetas y cotamos cuatas cae co la pita hacia arriba, 35, se trata de ua biomial B(100,0,35) Cálculo de probabilidades e ua distribució biomial Sea u experimeto aleatorio e el que se verifica estas hipótesis: El resultado de cada prueba perteece a uo de estos dos sucesos, A ó A. La probabilidad del suceso A es la misma e cada prueba. Los resultados de cada prueba so idepedietes etre si. Si p es la probabilidad del suceso A e cada sola prueba y q=1-p es la probabilidad del suceso A e ua sola prueba, la probabilidad de que el suceso A se presete exactamete x veces e pruebas ( y o se presete e las -x pruebas restates) es: x x x P ( x ) p q p 1 p x x x Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-9

10 Ejemplo : Explica cuál es la fórmula de la probabilidad de que al lazar 3 moedas bie costruidas se obtega x caras. La Fórmula de Berouilli. B(3,x) Supogamos ahora que se ha lazado tres moedas bie costruidas Se pide a) Cuál es la probabilidad de obteer exactamete 1 cara: b) Cuál es la probabilidad de obteer 3 caras? c) Cuál es la probabilidad de obteer al meos 2 caras? ! P ( x 1) ! 2! ! P ( x 3) ! 0! P ( x 2) P ( x 2) P ( x 1) P ( x 0) O lo que es lo mismo: P (3 caras ) 1 P ( x 3) d) Si sabemos que se ha obteido u úmero impar de caras. Cuál es la probabilidad de que el úmero de caras sea 1? P ( impar ) P ( x 1) P ( x 3) P (1 cara impar ) P (1 Cara / impar ) P ( impar ) Ejercicios Resueltos 1.- Si A y B so dos sucesos tales que P(A)=0,6 y P(B)=0,7, calcular P(A B) y P(A B), si sabemos que: P ( A B) P ( A B) 0, 4. Teemos que como A B, los sucesos so compatibles, por tato: P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A B) Y como P ( A B) P ( A B) 0,4 Etoces: 0,4 P ( A B) 1,3 P ( A B) 2 1,3 P ( A B) 0,4 0 P ( A B) 0,5 Resolviedo esta ecuació de segudo grado obteemos: P ( A B) 0,8 0,5 Y si sustituimos e P ( A B) P ( A B) 0, 4 obteemos: P ( A B) 0,8 Como P ( A B) P ( A B) Teemos que: P ( A B ) 0,8 P ( A B ) 0,5 2.- Explica qué sigifica que dos sucesos A y B sea idepedietes. Se laza u dado al aire y se cosidera los sucesos A Obteer múltiplo de 3, B Obteer úmero par. Justificar si los sucesos A y B so o o so idepedietes. Dos sucesos so idepedietes si el resultado de uo o ifluye e el otro. Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-10

11 El espacio muestral es: E={1,2,3,4,5,6}, el suceso A={3,6} y el suceso B={2,4,6} El suceso A B {6} P ( A B) 4 2 El suceso A B {2,3,4,6 } P ( A B ) Por tato P ( A) y P ( B) P ( A) P ( B) Así que los sucesos so idepedietes porque dos sucesos so idepedietes si ocurre que: P ( A B) P ( A) P ( B) Dos sucesos A y B verifica P ( A B) 0, 3, P ( A ) 0, 4, P ( B ) 0, 5. allar P ( A B) y P ( A B). Teemos que P ( A B) 0, 3 y que P ( A ) 0, 4, por tato P ( A) 1 P ( A ) 1 0,4 0, 6 y P ( B) 1 P ( B ) 1 0,5 0,5 Como so procesos depedietes: P ( A B) P(A) P(B) - P ( A B) 0,6 0,5 0,3 0, 8 P ( A B ) 0,3 P ( A B) 0,8 y P ( A / B ) 0, 6 P ( B ) 0,5 4.- E ua ciudad hay 55% de mujeres y 45 % de hombres. El 60% de las mujeres y el 40% de los hombres padece dolores de cabeza. Cuál es la probabilidad de que ua persoa de esa ciudad sufra dolores de cabeza?. Represetamos e ua tabla: ombres Mujeres Total Dolor de Cabeza Si dolor de Cabeza La probabilidad de que ua persoa de la cuidad sufra dolor de cabeza es: P 0, 51 Dolor 100 Tambié lo podemos calcular como: P Dolor P ( Mujer Dolor) P ( ombre Dolor) 0, Sacamos al azar, tres cartas de ua baraja española de 40 aipes. Calcular: a) La probabilidad de que las tres cartas sea copas. b) La probabilidad de que dos de las tres cartas sea ases y ua rey. a) E ua baraja española hay 10 cartas de copas La Probabilidad de que la primera sea copas es, la probabilidad de que la seguda sea copas es:, y la probabilidad de que la tercera tambié lo sea es: Si sacamos tres cartas la probabilidad de que las tres sea copas: P 0,012 Copas b) E la baraja española hay 4 reyes y 3 ases. Podemos obteer el suceso A={(R,A,A), (A,R,A), (A,A,R)} Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-11

12 Etoces la probabilidad de obteer 2 Ases y 1 Rey es: P ( A) 0, Las tres bolas blacas y las cuatro bolas egras de ua ura tiee la misma probabilidad de ser extraídas. Se saca tres bolas sucesivas y co reemplazamieto. a) allar la probabilidad de que sea las tres del mismo color. b) La probabilidad de que aparezca dos blacas y ua egra. a) Teemos 7 bolas e ua ura e la que extraemos las bolas co reemplazamieto. Vamos a hacer u esquema e árbol: Sabemos que la probabilidad de que sea blaca es 3/7 y la de que sea egra es 4/7. B B BBB P = 0,078 B N BBN P = 0,105 N B BNB P = 0,105 N BNN Reuió B B NBB P = 0,105 N N NBN N B NNB N NNN P = 0,187 Por tato la probabilidad de que las tres bolas sea del mismo color es: P ( XXX ) P ( BBB) P ( NNN ) 0,078 0,187 0,265 Y la probabilidad de que sea 2 blacas y ua egra es: P ( 2B, N ) P ( BBN ) P ( BNB) P ( NBB) 3 0,105 0, E ua reuió se ecuetra 4 matrimoios. Se elige al azar cuatro persoas. Calcular las siguietes probabilidades dado el resultado e forma de fracció irreducible. a) Las cuatro persoas so mujeres. b) Dos hombres y dos mujeres. Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-12

13 A) Teemos 4 hombres y 4 mujeres: Si hacemos ua árbol: La Probabilidad de que las 4 sea mujeres es: P ( MMMM) 0, b) La probabilidad de que sea 2 hombres y dos mujeres es: P ( XXYY ) P ( MM) P ( MM ) P ( MM) P ( MM ) P ( MM) P ( MM ) , Reuió M M M M MM M M M M MM M MM M MMM M M MM MM M M M MMM MM M M MMM MMM M M MMMM 8.- Ua ura A cotiee 3 bolas umeradas del 1 al 3, y otra B cotiee 6 bolas umeradas del 1 al 6. La ura A tiee el doble de probabilidad de ser elegida que la ura B. Se elige ua ura al azar y se extrae ua bola. a) Cual es la probabilidad de que sea ua bola co el umero 1. b) Si extraída la bola co el umero uo, Cuál es la probabilidad de que sea de la ura A?. Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-13

14 a) La probabilidad de que la bola sea ua bola co el úmero 1 es: 1 A1 A 2 A2 3 A3 Extracció 1 B1 2 B2 B 3 B3 4 B4 5 B5 6 B6 P P P P P P P P P P (1) 0, P (1 A) B) P ( A / 1) P (1) E ua caja hay seis bolas rojas y cuatro blacas. Se extrae a la vez dos bolas al azar. a) Describe el espacio muestral. b) Obteer la probabilidad de cada suceso elemetal. a) Si extraemos a la vez dos bolas, o so blacas, o so rojas o ua blaca y ua roja, por tato: E={BB, RR, RB}. b) E la ura hay 10 bolas. 4 3 P ( BB ) 0, P ( RR ) 0, P ( Roja Blaca ) P ( RB ) P ( BR ) 2 0, Ua caja cotiee 3 moedas. Ua es corriete, otra tiee dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obteer cara es 1/3. Se seleccioa ua moeda al azar y se laza al aire. allar la probabilidad de que salga cara. C P = 1/3 1/2 A + 3 Moedas B C P=1/3 1 C P=1/3 1/3 C P ( Cara ) 1 0, Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-14

15 11.- E ua ura hay 5 bolas rojas, 3 bolas egras y dos bolas blacas. Al azar se extrae ua bola y si devolverla se extrae otra. a) Calcular la probabilidad de que ambas sea del mismo color. b) Calcular la probabilidad de que ambas sea de distito color P ( XX ) P ( RR ) P ( BB ) P ( NN ) 0, La probabilidad de que sea de distito color es el caso cotrario a que sea del mismo color: P ( XY ) 1 P ( XX ) 1 0,311 0, 688 Ua ura cotiee 15 bolas blacas y 10 egras. Se realiza la extracció simultáea de dos bolas de la ura. Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sea egras? Cuál es la probabilidad de que tega el mismo color?. P(NN) = 0,15 P(XX) = P(BB) + P(NN) = 0,35 + 0,15 = 0,50 Cual es la probabilidad de que e u grupo de 5 persoas, acidas e la misma semaa, haya dos exactamete que aciero el jueves. Utilizaremos la fórmula de la distribució biomial de Beroulli: P ( X ) P q P (1 P ) x x x x x x Teemos que el umero de aciertos es 2. (X=2) y que so 5 persoas: P=1/7 1-P=6/ P X P P ( 2) (1 ) (0,14) (0,86) 0,12 Escogidas 5 persoas al azar, Cuál es la probabilidad de que al meos dos de ellas haya acido e el mismo dia de la semaa? P[Nigua coicidecia] = 1 P[2ª e dist. dia que la 1ª] P[5ª dist. Día de la 1ª,2ª,3ª y 4ª]= , Por tato P[Algua coicidecia] = 1- P[Nigua coicidecia] = 1-0,15 = 0,85 allar la probabilidad de u suceso, sabiedo que el cuadrado de esta probabilidad meos el cuadrado de la del suceso cotrario es 0,3. Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-15

16 P A 2 2 ( ) P ( A ) 0,3 2 2 ( ) 1 P ( A) 0,3 P A P A P A P A 2 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0,3 2 P ( A) 1,3 1,3 P ( A) 0,65 2 E la ura A hay 2 bolas blacas y 3 egras, y e la ura B hay 3 bolas blacas y a egras. Ua persoa elige ua ura y extrae ua bola. Calcular el valor de a para que la probabilidad de que la bola extraída sea blaca sea 0,5. E la ura B hay 2 bolas blacas a 1 P ( B) a a 2 Calcular la probabilidad de que u úmero de 4 cifras, tomadas del 0 al 9, o cotega igú 5. P(5)=0,1 1-P(5)=0,9 Probabilidad de igú cico: Nº de éxitos = 0: 4 P X P P ( 0) (1 ) (0,9) 0,65 E ua caja hay cie bolas, umeradas del 1 al 100. Se extrae ua bola. Calcular la probabilidad de que el úmero de la bola extraída sea: a) múltiplo de tres. b) múltiplo de cico. c) múltiplo de tres, sabiedo que es múltiplo de cico. a) Sea A el suceso multiplo de 3, A={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57, 60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99} 33 P ( A) 0, b) Sea B el suceso multiplo de 5 B={5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90, 95,100} 25 P ( A) 0, C) Calculamos A B {15,30,45,60,75,90} P ( A B) 0,06 P ( A B) 0,06 P ( A / B) 0,24 P ( B) 0,25 Se laza u dado dos veces. Calcular las probabilidades de los siguietes sucesos: a) Que la suma de las caras sea 3. b) Que la suma sea meor o igual que 9. a) Para que la suma sea tres, teemos que obteer 1 e la primera tirada y 2 e la seguda, ó 2 e la primera tirada y 1 e la seguda P ( Suma 3) Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-16

17 b) Para que la suma sea meor o igual que 9: Teemos 30 casos e los que la suma de los dos dados es meor o igual que 9, como la probabilidad de cada caso es 1/ P ( Suma 9) 30 0, Se elige al azar u úmero de 8 cifras, Cuál es la probabilidad de que el úmero elegido presete úicamete cuatro dígitos distitos?. 8 8 Casos Posibles: 10 úmeros y usamos 8 co repetició: RV ! Casos Favorables: 10 úmeros y usamos 4 si repetició: V ! 5040 Probabilidad de que tega 4 dígitos: P ( A) 5, Dados diez putos del plao tales que o hay 3 alieados, se ombra a cuatro de ellos co las letras A,B,C,D. De todos los triágulos que se puede dibujar co ese cojuto de putos se elige uo. Cuál es la probabilidad de que el triágulo elegido tega rotulado todos sus vértices co letras? 3 10! Posibles triágulos co 10 putos: C !7! 3 4! Posibles triágulos cuyos vértices este marcados co letras: C 4 4 3! 1! 4 1 Probabilidad de que los triágulos este rotulados: P ( A) Raúl Gozález Media 2015 Probabilidad VIII-17