OLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT. Geometría. II Nivel I Eliminatoria

Transcripción

1 OLIMPIS OSTRRIENSES E MTEMÁTIS UN - UR - TE - UNE - MEP - MIIT Geometría II Nivel I Eliminatoria Mayo, 06

2 ontenido II Nivel (8 y 9 ) - Geometría. Presentación Temario de I eliminatoria Problemas resueltos Ejercicios propuestos 0 3 Sugerencias a los ejercicios propuestos 3 4 réditos 5

3 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría. Presentación Este material presenta ejercicios que fueron tomados de pruebas de primeras eliminatorias aplicadas del 003 al 05. El objetivo principal del material es que los estudiantes de segundo nivel -estudiantes de octavo y noveno años, tengan un acercamiento al tipo de problemas que son propuestos en pruebas de primeras eliminatorias. En el material se indica el temario que está considerado para este nivel. Es importante resaltar que no son desarrollados los contenidos que ahí se describen, sino que se consideran problemas que contemplen algunos de los contenidos propios de este nivel. ntes de cada uno de los ejercicios que se plantean y resuelven, son enunciandos los teoremas y las definiciones más relevantes que se necesitan para dicho ejercicio (teoremas y definiciones propios del segundo nivel para primeras eliminatorias). Es importante que se estudie primero el material que ha sido preparado para el primer nivel, pues muchos de los conceptos que se necesitan en los siguientes ejercicios han sido desarrollados ahí.

4 3. Temario de I eliminatoria 05 ontenidos a considerar onceptos geométricos básicos y su notación: punto, recta, plano. Puntos colineales y no colineales. Puntos coplanares y puntos no coplanares. 3 Segmentos de recta, semirrectas, rayos y semiplanos. 4 Rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes. Planos paralelos y perpendiculares. 5 Figuras tridimensionales. aras, aristas y vértices. 6 lasificación de ángulos por su medida. lasificación de ángulos por su posición (adyacentes y consecutivos). Relaciones de medida entre los ángulos (congruencia, complementarios y suplementarios). Ángulos determinados por dos rectas y una transversal: alternos eternos, alternos internos, correspondientes y conjugados. 8 esigualdad triangular. 9 Teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo y cuadrilátero conveo. Teorema de la medida del ángulo eterno de un triángulo. 0 Teorema de la suma de las medidas de los ángulos eternos de un triángulo y cuadrilátero conveo. lasificación de triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos internos o la medida de sus lados. Ejes cartesianos. Representación de puntos y figuras. 3 Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y círculo. 4 Rectas notables en un triángulo. Propiedades de las rectas notables en un triángulo. 5 ongruencia de triángulos. 6 Teorema de Pitágoras. Proporcionalidad.

5 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría.3 Problemas resueltos Teorema. (Teorema de Pitágoras) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. Ejercicio. Primera eliminatoria - segundo nivel ítem Según los datos de la figura adjunta una epresión equivalente a a es c b ) a + b ) b + c c a ) c b ) a b b e acuerdo con el teorema de Pitágoras, teorema., se tiene que c = a + b c b = a (c + b) (c b) = a c+b = e esta manera, a c b a es equivalente a la epresión c + b. Respuesta correcta: opción. c b

6 5 Ejercicio. Primera eliminatoria - segundo nivel ítem En la figura adjunta =, = y = +, con certeza a b es ) ) ) 4 ) 5 a b on base en el teorema de Pitágoras (teorema.), ( + ) a = ( ) b + + a = + b 4 = a b 4 = (a b) (a + b) Luego, dado que = = a + b, se concluye que 4 = a b. Respuesta correcta: opción. Teorema. (Área de un triángulo) Si h es la altura correspondiente al lado de algún triángulo, su área está dada por h. Teorema.3 (Paralela media) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de la longitud del tercer lado.

7 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría Ejercicio.3 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem En la figura adjunta, el es rectángulo en y M es el punto medio de. Qué porcentaje del área del es el área del M? ) menos del 50% ) igual al 50% M ) más del 50% ) no se puede determinar asados en el teorema.3, al trazar la paralela media del con respecto al lado, esta contiene el punto medio de (que es M) y el punto medio de. h M h h Si h es la medida de la altura del M, de acuerdo con el teorema. se tiene que el área del = = h = h y el área del M = h. Por lo tanto, el área del M es 50% del área del. Respuesta correcta: opción.

8 Ejercicio.4 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 4 Sea el tal que es el punto medio de, E es el punto medio de y F es el punto medio de. Si el área del es cm, entonces el área en cm del EF es ) 8 ) 4 ) ) 36 ado que F es el punto medio de, la altura h del EF de F a E es la mitad de la altura H del de a (lo anterior basados en el teorema.3 aplicado en el triángulo rectángulo de hipotenusa ). F H h E 3, pues es el punto medio de y E es el punto medio de ; 4 así, basados en el teorema., La base E del EF mide Área del EF = = = = Respuesta correcta: opción. E h 3 H 4 3 H 8 3 = 8

9 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría Ejercicio.5 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 5 onsidere el de la figura adjunta, donde F es el punto medio de, G es el punto medio de, H es un punto cualquiera de con E y tales que E = EH y H =. Si h representa la medida en centímetros de la altura del sobre el lado y = 0 cm, el área, en centímetros cuadrados del EG, es ) h (0 ) F h ) (0 ) ) h (0 ) 4 ) h (0 ) 8 G H E onsidere las alturas de los triángulos y EG sobre las bases respectivas y E. omo G es el punto medio de, la altura de medida h del EG es la mitad de la medida de la altura h del (lo anterior basados en el teorema.3). F h G H E 0- ado que = = H y = 0 cm, se tiene que H = H = 0, por lo que la base E del EG mide (0 ) = 0. h h Luego, el área del EG = E h = (0 ) = (0 ). 4 Respuesta correcta: opción. efinición. (Triángulos semejantes) os triángulos se llaman triángulos semejantes si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Teorema.4 (Teorema de Thales) os triángulos son semejantes si, y solo si, sus lados correspondientes son proporcionales. Teorema.5 (Ángulos entre paralelas y transversal) Si dos rectas son paralelas, cualquier transversal a ellas tiene ángulos alternos iguales, ángulos correspondientes iguales y ángulos internos al mismo lado de la transversal suplementarios.

10 9 efinición. (Ángulos opuestos por el vértice) Sean y dos rectas que se cortan en O, tales que valen O y O. Se dice que O y O son ángulos opuestos por el vértice. Teorema.6 (Ángulos internos de un triángulo) La suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 80. Ejercicio.6 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem En la figura adjunta l k l. Si ] = 00 y ] = ] 0, entonces ] es ) 55 ) 45 ) 00 l ) 80 l on base en el teorema.5, se tiene que ] = ] = 00 por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Por otra parte, ]E = 80 ] = = 80. F E G l l e acuerdo con la definición., y F son ángulos opuestos por el vértice; así, ] = ]F = ] 0. Los ángulos G y son ángulos alternos eternos entre paralelas (ver.5); así, ]G = ].

11 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría - continuación Los ángulos E, F y G son los ángulos internos de un triángulo, por lo que basados en el teorema.6 se tiene que ]E + ]F + ]G = (] 0 ) + ] = 80 ] = ] = Por lo tanto, ] = 55. Respuesta correcta: opción. Ejercicio. Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 8 En la figura adjunta l k l. Si m y = m 0, entonces m es ) 5 l ) 45 l y ) 65 ) 0 0 En la figura se colocan las medidas de los tres ángulos internos de un triángulo. Si a representa la medida en grados del ángulo, se tienen las tres medidas en mención: a por ser opuesto por el vértice (definión.), 0 por ser ángulo suplementario y a 0 por ser ángulo alterno interno entre paralelas (teorema.5). a l a a-0 a l

12 - continuación Luego, con base en el teorema.6 se tiene que a a 0 = 80 a = = 65. Respuesta correcta: opción. Teorema. (esigualdad triangular) La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. Ejercicio.8 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 4 Se construyen triángulos de tal manera que todas las longitudes de sus lados son números enteros. Si = = 3 cm, FE = cm, E = 5 cm. y el resto de los segmentos tienen la misma medida, cuál es la menor medida posible para estos segmentos? F ) cm. E ) cm. ) 3 cm. ) 4 cm. onsidere los cinco triángulos que se presentan en la figura. F E 5 3 3

13 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría - continuación l aplicar la desigualdad triangular en cada uno de los triángulos (ver teorema.) y tomando en cuenta que (la longitud de cada uno de los segmentos restantes) es un entero, se tienen los resultados siguientes: En el : 3 + > 3 y 6 > 0 < < 6. En el E : > 3 > 3/. En el E : > 5 > 5/. En el FE : > >. En el F : + > 3 + > 4, 0 + > < 0 y > > 4/3. omo el menor entero que satisface todas las condiciones es = 3 cm, se concluye que la menor medida posible para los segmentos es 3 cm. Respuesta correcta: opción. Teorema.8 (Recíproco del teorema de Pitágoras) Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, el ángulo opuesto al tercer lado es recto. Ejercicio.9 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 6 Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 0. Entonces, la longitud de una altura del triángulo es ) 5 ) 4 5 ) 5 ) 0 omo = 0, por el teorema.8 se tiene que el triángulo es un triángulo rectángulo; dos de las alturas de este triángulo miden 6 y 8, respectivamente. on base en. se tiene que el área del triángulo es 6 8 = 4. Luego, si h representa la medida de la otra altura del triángulo (la altura sobre la hipotenusa), se 4 4 tiene que 4 = 0 h h = =. Respuesta correcta: opción. 0 5

14 3 efinición.3 (Mediana de un triángulo) Una mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Teorema.9 (oncurrencia de las medianas) Las medianas de un triángulo son concurrentes y su punto de intersección divide a cada mediana en la razón :. efinición.4 (entroide) El punto G de concurrencia de las medianas de un triángulo se llama el centroide (o también el baricentro) del triángulo. Ejercicio.0 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 0 En un triángulo se tiene que las longitudes de las medianas, E y F son 9, y 5, respectivamente. Sea H el punto medio G, donde G es el baricentro o centroide del triángulo. El área del triángulo GH es ) 4 ) 6 ) 8 ) e acuerdo con el teorema.9, se tienen los resultados siguientes: G = 8, G = 3 y G = 0. demás, GH = 5, pues H es el punto medio de H. 6 F 5 E 4 G H 5 El segmento H une los puntos medios del triángulo G y, de acuerdo con el teorema.3, su longitud debe ser la mitad del tercer lado; en este caso, H = G = 4. e acuerdo con lo anterior, el GH tiene longitudes 3, 4 y 5; así, el teorema.8 garantiza que dicho triángulo es un triángulo rectángulo pues = 5. El área (ver definición.) del GH es igual 3 4 = 6. Respuesta correcta: opción.

15 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría Ejercicio. Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 8 ados cuatro puntos no colineales en un plano π y tres puntos no colineales en un plano π, π k π, el número máimo de rectas que quedan determinadas por estos siete puntos es ) ) 8 ) ) 8 En π (donde hay cuatro puntos no colineales) quedan determinadas seis rectas. En π (donde hay tres puntos no colineales) quedan determinadas tres rectas. demás, cada uno de los cuatro puntos de π con cada uno de los tres puntos de π determinan una recta; es decir, rectas en total. Por lo tanto, quedan determinadas = rectas. Respuesta correcta: opción. Teorema.0 (Ángulo eterno en un triángulo) En todo triángulo, la medida de un ángulo eterno es igual a la suma de las medidas de sus dos ángulos internos no adyacentes. Ejercicio. Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 9 En la figura adjunta el E es equilátero y el es isósceles, además ] = 0, E y. Entonces ] corresponde a ) 85 ) 8, 5 ) 00 E ) 0

16 5 omo el E es equilátero, entonces los ángulos E, E y E son congruentes y miden 60 cada uno. omo el E es suplementario con el E, se cumple que ]E = = 0. Por otra parte, ] = ]E ]E ]E = 0 60 = 0. En el E y de acuerdo con el teorema de la medida de un ángulo eterno de todo triángulo, teorema.0, se tiene que ]E + ]E = ]E ]E = = E 0 30 ado que el es isósceles y dado que el es obtuso, se tiene los ángulos que poseen la misma medida son los ángulos y ; así, de acuerdo con el teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo, teorema.6, se cumple que ] + ] + ] = 80, luego, ] = 80 ] = = 50 ] = 5. Por lo tanto, ] = ]E + ] = = 85. Respuesta correcta: opción. efinición.5 (Meditriz de un segmento) La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento que contiene su punto medio. Teorema. (oncurrencia de las mediatrices) Las mediatrices de los tres lados de todo triángulo son concurrentes y este punto equidista de los tres vértices del triángulo. efinición.6 (ircuncentro) El punto O de concurrencia de las mediatrices de los lados de todo triángulo se llama circuncentro.

17 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría Ejercicio.3 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem En la figura adjunta E es la mediatriz del sobre el lado y m = 50. La medida, en grados, del es ) 5 ) 5 E ) 30 ) 45 omo E es mediatriz del, se cumple que E = E y = (ver definición.5). Esto último indica que el es isósceles, por lo que m = m = 5, ya que el ángulo eterno mide lo mismo que la suma de estos dos ángulos internos no adyacentes a él E 5 Respuesta correcta: opción. efinición. (Perímetro de un polígono) El perímetro de todo polígono es igual a la suma de las medidas de sus lados. Teorema. (Área de un rectángulo) El área de todo rectágulo es igual al producto de su base y su altura.

18 Ejercicio.4 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 5 Un cuadrado tiene igual área que un rectángulo, en el cual el largo mide cm. más que la mitad de lo que mide el lado de, y el ancho de mide cm. menos que el doble de lo que mide el lado de. La diferencia entre el perímetro de y el perímetro de, en centímetros, es un número ) mayor que 3 ) entre y 3 ) entre y ) entre 0 y Sea la medida del lado del cuadrado. omo el largo del rectángulo mide cm. más que la mitad de lo que mide el lado del cuadrado, se tiene que el largo del rectángulo mide +. omo el ancho del rectángulo mide cm. menos que el doble de lo que mide el lado del cuadrado, se tiene que el ancho del rectángulo mide. Luego, de acuerdo con el teorema., se tiene que el área del cuadrado está dada por y el área del rectángulo está dada por ( ) +. demás, se indica en el enunciado que el cuadrado tiene igual área que el rectángulo, por lo que al igualar sus áreas obtenidas anteriormente se tiene que: = ( ) + = 4 + = 4 8 = 4 = 4 =

19 II Nivel (8 y 9 ) - Geometría - continuación 4 6 hora, de acuerdo con la definición., el perímetro del cuadrado es igual a 4 = 4 = 4 4/ = + + = y el perímetro del rectángulo es igual a ( ) = + = + =. La diferencia entre el perímetro del rectángulo y el perímetro del cuadrado está dada por = =,5. Respuesta correcta: opción. Ejercicio.5 Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 0 Sea isósceles, tal que = = 0 cm y sea un punto cualquiera de (distinto de y distinto de ). Por se trazan una recta paralela a que corta a en E y una recta paralela a que corta a en F. El perímetro, en centímetros, del EF es ) 0 ) 30 ) 40 ) 50 Los ángulos y son congruentes, pues es isósceles; sea α la medida de dichos ángulos. ado que F k y E k, se cumple que F = y = E por ser, respectivamente, ángulos correspondientes entre paralelas (ver teorema.5); todos estos con medida α. sí, son isósceles también los triángulos F y E. 0-y E y y 0- F

20 9 - continuación Sea F = F =, E = E = y. El perímetro (ver definción.) del EF = (0 y) + y + + (0 ) = 40. Respuesta correcta: opción.

21 Ejercicios propuestos. (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 6) En la figura adjunta, la bisectriz del interseca a en E y a en M. Si = 50, = 5 y M = 55, entonces con certeza se cumple que ) es escaleno ) es equilátero ) es mediana sobre ) E es mediana sobre Respuesta correcta: opción.. (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem ) Si, F y E son alturas del que se intersecan en el punto P, con P en el interior del triángulo, tales que PE = 60 y P = 0, entonces con certeza se cumple que es ) escaleno ) isósceles ) obtusángulo ) rectángulo Respuesta correcta: opción.

22 .3 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem ) Una escalera se apoya sobre un muro de manera que sale una parte de ella por encima del muro. Si el pie de la escalera está a 5 metros, la parte de la escalera que sobresale mide 0 m, mientras si la base está a 9 metros sobresalen 8 m. de la escalera. Entonces, la altura del muro es ) 0 m. ) m. ) 4 m. ) 0 m. Respuesta correcta: opción..4 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 5) onsidere la siguiente figura, si se tiene que y E son alturas de los triángulos y E, respectivamente, entonces con certeza se cumple que ) E > ) E > ) > ) > E 0 E 50 Respuesta correcta: opción..5 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 6) e acuerdo con la siguiente figura, se tiene que es tres veces disminuido en 0. Entonces el es ) rectángulo y escaleno ) obtusángulo y escaleno ) rectángulo e isósceles ) obtusángulo e isósceles 30 Respuesta correcta: opción.

23 Ejercicios propuestos.6 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 4) En la figura adjunta l l y l 3 l 4. Si = 5, entonces es l 4 ) 5 l 3 ) 35 l l ) 45 ) 55 Respuesta correcta: opción.. (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem ) El número máimo de triángulos en los cuales dos lados miden 6 cm. y 9 cm. y la medida del tercer lado es un número natural corresponde a ) 3 ) 5 ) 8 ) Respuesta correcta: opción.

24 3 Sugerencias a los ejercicios propuestos 3. (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 6) Trace E y note que 55 es la medida de un ángulo eterno del M, por lo que puede hallar la medida del M (que es igual a la medida del M -pues E es bisetriz del ). on las medidas anteriores, halle la medida del y tendría que el es isósceles (pero no equilátero). Pruebe que los triángulos E y E son semejantes (además, son triángulos rectángulos) y de ahí podrá concluir que E es mediana sobre. Utilizando argumentos asociados con los triángulos y se puede descartar que sea mediana de. 3. (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem ) ado que las alturas se intersecan dentro del triángulo, es imposible que dicho triángulo sea un triángulo rectángulo; tampoco puede ser un triángulo obtusángulo por ese mismo motivo. etermine las medidas de los ángulos internos del y compruebe que son todas distintas, por lo que el triángulo es escaleno. 3.3 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem ) Utilice dos variables para indicar, respectivamente, la longitud de la escalera y la altura del muro. on base en el teorema de Pitágoras aplicado en los triángulos formados por la escalera y el muro en las dos situaciones planteadas, se obtienen dos ecuaciones que relaciones a las variables definidas. l resolver las ecuaciones se obtiene que la longitud de la escalera es 3 metros y la altura del muro es metros. 3.4 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 5) Los segmentos E y son paralelos - pues ambos son perpendiculares al lado. on lo anterior, es posible indicar las medidas de varios de los ángulos presentes en la figura y, basados en la relación entre los ángulos y los lados es posible indicar que la única relación posible es que > E. 3.5 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 6) onsiderando el, note que 30 es la medida de uno de sus ángulos eternos, así que ese es justamente el valor correspondiente con la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes a ese ángulo.

25 Sugerencias a los ejercicios propuestos on lo anterior y lo mencionado en el enunciado, es posible determinar cada una de las medidas de los ángulos internos del -dichas medidas son 35, 05 y 50, por lo que el triángulo en cuestión es escaleno obtusángulo. 3.6 (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem 4) El ángulo formado por las rectas l 3 y l 4 mide 90 pues dichas rectas se cortan de manera perpendicular. verigüe las medidas de los otros dos ángulos del triángulo formado por las rectas l 3, l 4 y l. ado que las rectas l y l son paralelas cortadas por la recta l 4, utilice el teorema asociado con las medidas de los distintos ángulos formados y pruebe que 45 es la medida del ángulo buscado. 3. (Primera eliminatoria - segundo nivel ítem ) Utilice alguna variable para designar la medida del tercer lado del triángulo. Utilizando la desigualdad triangular aplicada en ese triángulo donde 6 y 9 son las otras medidas de los lados restantes, puede deducir que esta variable puede tomar valores enteros entre 3 y 5. sí, son valores enteros los que se encuentran en dicho intervalo.

26 4 réditos Este documento es un material de apoyo sobre Geometría para estudiantes que participan en el segundo nivel de la primera eliminatoria de las Olimpiadas ostarricenses de Matemáticas. utor hristian Páez Páez. Editor hristian Páez Páez. Revisor hristian Zamora Jaén. Para referenciar este documento Olimpiadas ostarricenses de Matemáticas (06). Material de apoyo sobre Geometría: II nivel, I Eliminatoria. San José, osta Rica: autor.