Programación lineal. m a x i mizar o m i n im i z ar f u n c i o n e s q ue s e e nc u e ntran s u j e ta s a d e terminad as

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1 Programación lineal L a p r o g r a m ac i ó n l i ne al d a r e s pu e s t a a s i t u aciones e n l as q ue s e e xi g e m a x i mizar o m i n im i z ar f u n c i o n e s q ue s e e nc u e ntran s u j e ta s a d e terminad as l i m i t a c i o ne s, q u e l l am aremos r e s t r i cc i o ne s. S u e m p leo e s f r ec u en te e n a p l ic ac i o ne s d e la i n d u s t ri a, l a ec o no m ía, l a e s t r a te g ia milita r, etc. F u n c i ó n o b j e ti vo E n e s e n c i a l a p ro g r amación li n e al c o ns is t e en o p t i mizar (m a ximizar o m i n i m iz a r ) una f u nc ió n o b j e t i vo, q u e es u n a f u n c ió n l i n e al d e v a r i a s v a r i a b l es : f ( x, y) = a x + b y. R e s t r i c c i o ne s L a f u nc ió n o bj e ti v o e s t á s u jeta a u n a s e r i e d e r es t r i c c i one s, e xp r e s a d a s p o r i ne c uac i o n e s linea l e s : a 1 x + b 1 y c 1 a 2 x + b 2 y c a n x + b n y c n 1

2 C a d a d es igualdad d e l sistem a d e r es t r ic c i o n es determ i na u n sem i pl a no. S o l u c i ó n fa c t i bl e E l c on j un t o i n t e rs ec c ión, de t od o s l os s emiplan o s f o rm a d os p o r l a s r e s t r ic c i o ne s, d e t e rm i na u n r ec i nto, ac o ta d o o n o, qu e r ec i be e l n om b r e de r e g i ó n d e va l i d e z o z on a d e s o l uc i o n es f a c tib l e s. 2

3 S o l u c i ó n ó p t i ma E l c o nj u n to d e l os v é r t i c e s de l r ec i nto s e d e n om ina c o n junto d e s o l u c i on e s f a c ti b l e s b á s i c as y e l v é r t i c e d o n d e s e p r e s e n ta l a s o l u c i ón ó p t i m a s e l l am a solució n m á xima (o m í n im a s e g ún e l cas o ). 3

4 V a l o r d e l p r o g r a m a line a l E l va l o r q u e t o m a la f u n c i ó n o b j e ti vo e n e l vé r t i c e d e s o l u c ió n ó p t i m a s e l l am a va l o r d e l p r o g r am a l in e a l. Pasos para resolver un problema de programación lineal 1.. E l eg i r las incógn i t a s. 2. Es c r ibir l a f u nc i ó n o b j e t i vo e n f u nc i ó n de l o s d a t os de l p ro b lema. 3. Es c r ibir l a s re s t r i c ciones e n f o rm a d e s i s t em a de i ne c ua c iones. 4

5 4. A v e r i g u a r e l c on junto d e s o l u c io n e s f a c t i b le s re p r es e n tan d o g r á f ic a m e n t e las r es t r icc i o ne s. 5. C a lc ul a r las c o o r den a d as d e l o s v é r ti c e s d e l r ec i nto d e s ol u c i o ne s f a c t ibles (s i s o n p o c o s ). 6. C a lc u lar e l va l o r d e l a f u n c i ó n o bj e t i vo en c a d a un o d e l o s v é r t ic e s p a r a v e r e n c u ál d e e llos p r es e n ta e l va l o r m á x i m o o m í ni m o s e g ú n n o s p i da e l p ro b l em a ( h a y qu e t e n e r e n c ue n t a a quí l a p os i b le no e xi s te n c ia de s o l uc ión si el r ec i n to no e s tá ac o t ad o ). Ejemplos de programación lineal U n o s g r a nd e s a lm ac en e s e nc a r ga n a u n f a b r ic a n te p a n t al o ne s y c h a qu e t as de p o r ti v a s. E l f a bricante d is po n e pa r a la c o n fe c c i ón de 75 0 m de t ej i do de a l g od ó n y m d e t e j ido d e p o l iéster. C a d a p a nt a lón p r e c is a 1 m d e al g o dó n y 2 m d e p o l iéste r. P a r a c a da c h a qu e t a s e n ec e s i ta n 1. 5 m d e al g od ó n y 1 m d e p o l iéster. E l p r ec i o d e l p a n ta l ó n s e f i ja en 5 0 y el de l a chaq u e ta e n 4 0. Q u é n úm e r o d e p an t alones y c h a qu e t as de b e s u m i n is t r a r e l fa b r ic a nte a l os a lm ac e n es pa r a qu e és t o s c on s i g a n una venta máxi m a? 1 E l e c c i ón d e l as i n c ógn i t a s. x = n ú me r o d e panta l on e s 5

6 y = n ú m e r o d e c h a qu etas 2 Fun c i ó n o b j e ti vo f ( x, y) = 5 0 x y 3 R e s t r i c c i on e s P a r a es c r ibir las re s t ri c c i o ne s v am o s a a y u da rn o s d e un a t ab l a : pantalones chaquetas disponible algodón 1 1,5 750 poliéster x y x + 3 y x + y C o m o e l n úm e r o d e pa n t a lones y c h aq u e ta s s on nú m e ro s n a tu r a les, t e n d r em os d os r es t r ic c iones más : x 0 y 0 4 H a l lar el con j un t o de s o l u c i on e s fa c t i b le s 6

7 Te n e m o s q u e repres e nta r g r á fi c am e nte la s re s t r i c c i o ne s. A l s e r x 0 e y 0, t rab a j a r em os en e l p r im e r c u a d ra n t e. R e p r e s en t am os l as r ec ta s, a parti r d e sus pu n to s de c o rt e c o n l o s e j es. R e s o l v em o s g rá f ic a m en t e l a i n ec ua c ión: 2 x + 3 y , p a r a e l l o t o m am os u n p u n to d el p l a n o, por e j em pl o el (0, 0 )

8 C o m o e n t onc e s el p u n to ( 0, 0 ) s e e n c ue n t r a en e l s em i plano d o n d e se cum p le la desigual d a d. D e m o do a ná l og o r es o lvemos 2 x + y L a z o n a d e i n te r s ec c i ón d e l a s s o l uc i on es d e l a s i n ec u ac iones s e r í a l a s o l uc ión a l s is t em a de i n ec u ac i on e s, q u e c o ns t i tu y e e l c o n junto d e l as s o l uc iones f ac t i bl es. f a c t ibles. 5 C a l c u l a r l as c o o r d ena d a s d e l o s v é r ti c e s del r e c i n t o d e l a s s ol u c i on e s 8

9 La s o l u c ió n ó p t i m a, s i e s ú n i c a, s e e nc u e ntra e n u n v é r t i c e d e l r e c i nto. é s t os s o n las s ol u c i o n es a los s is t em a s : 2 x + 3 y = ; x = 0 (0, ) 2 x + y = ; y = 0 (50 0, 0 ) 2 x + 3 y = ; 2 x + y = (3 7 5, 2 50 ) 6 C a l c u l a r e l va l o r de la f u n c i ón o b je t i vo E n l a fu n c i ó n o b jetivo sustitu im o s c ad a un o de l o s v é r ti c es. f ( x, y ) = 5 0 x y 9

10 f ( 0, 5 00 ) = = f ( 5 0 0, 0 ) = = f ( 3 7 5, ) = = M á x im o L a s ol u c i ó n ó p t im a es f a b r ic a r 3 75 p a n ta l o n es y c h a qu e t a s p ara o b t e ne r u n b e n e fi c i o de L a s o l uc ión n o s i em p re e s ú ni c a, ta m bi é n po d e m o s e nc o n t ra r n os c o n una s ol u c i ón m ú l ti p l e. E j e m p l o S i l a fu n c i ó n objetivo de l e jercicio anterior h ub i e s e s i d o : f ( x, y ) = 2 0 x y f ( 0, 5 0 0) = = M á x i mo f ( 5 0 0, 0 ) = = f ( 3 7 5, ) = = M á x im o E n e s t e c a s o to d os l os p a r es, c on s o lucione s e n te r a s, de l s e g m en t o t r a z a d o en n eg r o s e r í an m á xi m o s. 10

11 f ( 3 0 0, ) = = M á x i mo 11

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