CARTILLA BASE PARA BIO-ESTADÍSTICA UNO

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1 1 CARTILLA BASE PARA BIO-ESTADÍSTICA UNO 1. INTRODUCCIÓN El presete documeto es ua recopilació de los coceptos básicos para u curso itroductorio a la estadística. La cosulta de los textos de estadística para igeieros como el de Motgomery, Walpole & Myers, Caavos, Zar, Morris H. Degroot, etc., o al meos los citados e la bibliografía del curso, resulta ua obligació para cualquier estudiate comprometido co su proceso de adquisició de coocimieto y debe costituirse e parte del método de estudio el cotejo permaete de las exposicioes de clase co estas fuetes. Para la asigatura las herramietas descritas aquí so la tarea a desarrollar e las primeras dos semaas y se complemeta co la itroducció de los coceptos básicos de probabilidad. Los estudiates de este curso tiee la misió de, como míimo, desarrollar el taller propuesto al fial de la secció de estadística descriptiva y desarrollar Todos los ejercicios del capítulo dos del texto de Walpole & Myers (o importa cual edició se dispoga). ESTADÍSTICA Su ombre tiee orige e el hecho de que estás técicas hace parte de la matemática empleada iicialmete para realizar la cotabilidad Estatal. Es parte de la matemática aplicada, ua disciplia que provee los métodos y procedimietos para colectar, clasificar, resumir y aalizar iformació (datos) tomada de ua població objeto de estudio. Actualmete, estas técicas so parte fudametal del proceso de ivestigació; so el argumeto por excelecia que la ivestigació usa para dar soporte a coclusioes o simplemete para covecer si bie la estadística o demuestra ada. El proceso de toma de decisioes e la empresa modera tiee e la estadística ua de sus herramietas más poderosas y, e geeral, es el istrumeto idispesable para apoyar lo que se deomia iferecia estadística. La estadística descriptiva Es la rama de la estadística que se dedica a la presetació, orgaizació y resume de los datos, usado tablas, gráficos y estadísticos (medidas de resume) para represetar las características eseciales de los datos e térmios fáciles de iterpretar. Como su ombre lo idica, describe y co esto, extraer coclusioes sobre el comportamieto de las variables. La Estadística iferecial. Esta es la parte de la estadística que permite geeralizar los resultados obteidos, a partir de los datos de ua muestra, a u cojuto más grade de idividuos (ua població). E otras palabras, hacer iferecia estadística es sacar coclusioes válidas acerca de ua població de elemetos o medidas, basados e

2 iformació coteida e ua muestra de dicha població y se hace a través de dos actividades relacioadas: estimació y prueba de hipótesis. 2 Estadística Iferecia Descriptiva Teorìa del Muestreo Estimació Cotraste de Hipòtesis Estimació por Itervalos Estimació putual Para u parámetro: µ, σ, ρ Para dos parámetros: µ1- µ2, σ1/σ2 Para más de dos parámetros La parte de la estadística que se ocupa de los métodos para la colecta de datos se cooce como teoría del muestreo. Esta es ua herramieta de la ivestigació cuya fució es determiar que parte de la realidad e estudio (població o uiverso) debe examiarse para la realizació de Iferecias. U error típico e este tipo de procedimieto cosiste e la cosecució de muestras que o so represetativas de la població e estudio, dado como resultado estimacioes sesgadas o del todo erróeas. La cosecució de ua muestra que sea represetativa de la població que se estudia es el objetivo del muestreo. Las cosecuecias derivadas de errores de muestreo es la pérdida de recursos y la mala fama. Cada disciplia posee sus propias técicas de muestreo, por lo que se deja al estudiate la tarea de idetificar los esquemas de muestreos y las dificultades más comues de las poblacioes que estudiará e estados avazados de su programa curricular. Qué diferecias puede vislumbrar el estudiate e los esquemas de muestreo para ua especie del reio Fugi, para el Oso de ateojos y para arveses e u cultivo? Defiicioes iiciales El cocepto de Variable y los tipos de variables más frecuetes Ua variable es u ete matemático que se emplea para represetar ua cualidad de ua població o de u proceso. Es ua propiedad que puede fluctuar y cuya variació es susceptible de observarse y puede medirse. Las variables adquiere valor cuado se relacioa co otras variables, es decir, si forma parte de ua hipótesis o de ua teoría. Es ua característica que iteresa evaluar ya sea e u idividuo o e u objeto, y que

3 como su ombre lo dice, cambia de u idividuo a otro; si todos los idividuos observados so homogéeos para la característica e cuestió, ya o se habla de ua variable, sio de ua costate, variable es lo que está siedo observado o medido. El cocepto de variable aleatoria se desprede de la imposibilidad de predecir el resultado de cualquier observació a pesar de coocer el cojuto de valores que puede tomar la variable! Las Variables cualitativas o atributos: o se puede medir uméricamete (por ejemplo: acioalidad, color de la piel, géero). Variables cuatitativas: tiee valor umérico (edad, precio de u producto, igresos auales). Cuatitativas Cualitativas Peso Variedad o especie Diámetro Raza Altura Color Número de platas Tipo de suelo Variables discretas y variables cotiuas: Cuado se cosidera las variables cuatitativas, las discretas (cuatitativas discretas), se asocia a el úmero de elemetos de u cojuto; las cuatitativas cotiuas, se asocia a medicioes realizadas e el sistema métrico decimal. E las primeras (cuatitativas discretas), se tiee que etre dos valores posibles de ser observados, o existe otro valor posible de observar, es decir, hay saltos etre los valores que toma la variable. E ua variable cotiua, etre dos valores observables siempre hay ifiitos valores posibles de ser observados. A veces se toma como regla de clasificació que las variables discretas o puede tomar valores que ivolucre cifras decimales, pero esto o siempre se cumple. Alguas variables coceptualmete so cotiuas auque el maejo que se hace de ellas, aparetemete idica que so discretas, ejemplos: el tiempo expresado e horas, el peso expresado e kg; e realidad las limitacioes está dadas por el istrumeto de medida. Discretas Cotiuas Número de huevos Peso Nacimietos e u día Altura Número de platas (/ha) Tiempo Escalas de medició Ua variable puede asumir diversas formas y, segú la catidad de iformació que cotega, la medició puede ser e: Escala Nomial: Solo distigue etre los objetos, asigado u ombre a cada objeto. Este tipo de variables escasamete sirve para clasificar los objetos de u cojuto. Es la escala de medició más débil, los valores de la variable simplemete idica diferetes categorías y o existe u orde etre ellas. Ejemplo: Color, sexo, especie, 3

4 raza, ombre, materia. Ua forma de evaluar si ua variable es omial, es idetificar si al represetarla gráficamete se pierde iformació al colocar e diferetes posicioes cada ua de las categorías de la misma. Si se cumple esto, la variable o es omial Escala Ordial: E este tipo de escala se halla u poco más de iformació que e la aterior, se fija ua clasificació etre los objetos del grupo. Aquí, se puede establecer relacioes de orde etre los objetos del cojuto de tal forma que se sabe cual es el primero, el segudo,... co relació a ua característica particular. No se garatiza que la diferecia o distacia etre las categorías sea la misma. Ejemplo: Nivel de producció (Alto, medio o bajo), orde de llegada e ua carrera (primero, segudo, tercero), evaluació utricioal, calificació (excelete, bueo, regular, malo). Escala Iterválica: Existe categorías ordeadas y las distacias o diferecias etre las categorías so iguales, por eso se puede afirmar que la diferecia etre 5 y 6 es la misma que etre 10 y 11, es ua uidad. Ua característica de esta escala de medició es que el cero o es verdadero, es arbitrario, pues o idica ausecia de la categoría evaluada, por lo tato, las razoes (divisioes) o so posibles auque las diferecias sí lo sea. Ejemplos: Cociete itelectual y la más famosa de todas, la temperatura, dode el valor de 0 C o idica ausecia de temperatura; ua ilustració de porque las razoes o so posibles se tiee al comparar las temperaturas 20 C y 40 C, uméricamete 40 es el doble de 20, pero e el caso de la temperatura o se puede afirmar que a 40 C hace el doble de calor que a 20 C. Escala de Razó o Proporció: Es la escala que tiee más iformació, aquí existe categorías ordeadas y co igual distacia etre si, además, el cero sí es real (idica ausecia), por lo tato las divisioes sí so posibles. Ejemplos: Peso, altura, etcétera. E este tipo de escala de medició se reúe las variables cotiuas Cuado se estudia el comportamieto de ua variable hay que distiguir los siguietes coceptos: Població Es cualquier cojuto de idividuos o elemetos que tiee ua o más características comues. Las características comues o so sólo físicas, puede ser espaciales o temporales. Ejemplos: estudiates matriculados e el primer semestre del 2004 (característica temporal); estudiates del úcleo de mias (característica espacial). Si estudiamos el precio de la vivieda e ua ciudad, la població será el total de las viviedas de dicha ciudad. La població la costituye el cojuto de todos los valores que puede tomar ua variable aleatoria, e este caso se hablaría de població de pesos, etcétera. Desde el puto de vista del ivestigador, se defie como el cojuto de idividuos poseedores de la característica. 4

5 Idividuo: cualquier elemeto que porte iformació sobre el feómeo que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los iños de ua clase, cada estudiate es u idividuo; si estudiamos el precio de la vivieda, cada vivieda es u idividuo. Muestra. Es cualquier subcojuto de idividuos o elemetos seleccioado de ua població, lo ideal es que sea u subcojuto represetativo de toda la població, o sea que permita hacer geeralizacioes de la misma al ser poseedor de las características comues de la població a la que se supoe perteece. Las razoes para trabajar co muestras so: ahorro de tiempo, ahorro de diero, es más práctico (facilidades operativas) y si la variable que se quiere medir implica destrucció de la uidad experimetal (aálisis bromatológicos, de composició, etcétera) el trabajar co muestras evita destruir toda la població. Parámetro. Represeta cualidades de la població y puede ser cualquier medida que se calcule a partir de los datos de toda la població. Se represeta por medio de letras griegas (, ß,, μ, ξ, σ, χ, α ). Estadístico o estadígrafo. Es cualquier medida de resume que se calcule a partir de los datos de la muestra, se cosidera ua estimació del parámetro poblacioal. Se represeta por medio de letras latias (R, B, L, X, e, S, a ). Tarea Idetifique y clasifique 10 variables que sea objeto de estudio e su área o programa curricular. Qué clase de poblacioes de muestrea? Cómo se realiza ese muestreo o medició? Qué se mide u observa e ellas? Qué clases de muestras se observa o se obtiee? Cuales istrumetos se utiliza e este proceso? Hasta dóde se puede extrapolar las coclusioes que se deriva? Para las variables idetificadas describa las accioes que se desarrolla ates de obteer (y registrar) la iformació y el cojuto de actividades que se debe realizar después de obteerla. 5

6 6 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. La estadística descriptiva es la parte de la estadística que se ocupa de la presetació y el resume de la iformació y se basa e el uso de tres herramietas: medidas de resume (Estadígrafos), tablas y gráficos. 2.1 MEDIDAS DE RESUMEN (estadísticos o estadígrafos) Las medidas de resume, sitetiza la iformació coteida e u grupo de datos y se divide e: medidas de tedecia cetral, medidas de dispersió, medidas de forma y medidas de posició MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Ua medida de tedecia cetral es aquel valor hacia el cual coverge la mayoría de los datos, viee a ser ua especie de represetate del cojuto de datos, existe varias medidas de tedecia cetral. Media aritmética o promedio ( X ): Es la más famosa de las medidas de tedecia cetral y se defie como el cociete etre suma de las observacioes y el úmero total de datos. Podemos defiir la media muestral (estadístico) y la media poblacioal (parámetro). Estadístico datos agrupados El parámetro xi i X 1 f i* i X 1 x i N xi i 1 Mediaa ( x ~ = Me): Es el valor cetral de u cojuto de datos ordeados, se dice tambié que es aquel valor que divide el cojuto de datos exactamete a la mitad, para el siguiete cojuto de datos: {2, 4, 5, 6, 8}, la mediaa es 5. Para el siguiete cojuto de datos {2, 4, 5, 6, 20} tambié la mediaa es 5. Si se tiee u cojuto de datos par, X = {2, 4, 5, 6}. La solució es calcular la media de los dos valores cetrales. Existe dos fórmulas que facilita el cálculo de la mediaa cuado se tiee muchos datos, pero para ver las fórmulas, primero debemos defiir que es u Estadístico de Orde. Se defie el i-ésimo estadístico de orde como el valor que toma la variable e la observació i-ésima, es decir, la que se ecuetra e el i-ésimo puesto después de ordear de forma ascedete los datos, así: X (1) es el estadístico de orde 1 y correspodería al meor valor de todos. X (2) es el estadístico de orde 2 y correspodería al segudo meor valor. N

7 7 X () es el estadístico de orde y correspodería al mayor valor. Al calcular la mediaa de u cojuto de datos siempre se estará e ua de dos situacioes: el cojuto de datos es impar o el cojuto de datos es par. Si el cojuto es impar, Me = ~ x = 1 ; es decir, el estadístico de orde (+1) / 2 X 2 X Si el cojuto es par, Me = ~ 1 2 x = ; es decir, la media aritmética de los dos 2 estadísticos de orde que se halla e el cetro. Tarea Calcule la media y la mediaa para el siguiete cojuto de datos: {3, 5, 6, 8, 9} Repita co el siguiete cojuto de datos: {3, 5, 6, 8, 20} Compare los valores obteidos y cocluya. 2 X Moda ( xˆ ): El sigificado estadístico de la palabra moda es similar al que le damos e uestra sociedad. Es el valor de la variable aleatoria que más se preseta, el que tiee la mayor frecuecia absoluta; es simplemete el valor que más se repite. E el siguiete cojuto de datos la moda sería 5: {2, 5, 5, 5, 6, 7, 8}. E el cojuto de datos X = {3, 5, 6, 3, 4, 3, 5, 8, 5}, se puede apreciar que hay dos modas: 3 y 5 (el cojuto es bimodal). U último cojuto de datos X = {2, 4, 6, 8, 9, 3, 5}, cuál es la moda? Aquí vemos que o hay moda. A partir de estos tres ejemplos se puede observar que la moda puede o o existir y puede o ser úica (datos multimodales). Y, si existe, siempre es u valor observado e el cojuto de datos. Media poderada: Es u promedio aritmético e el que todas las observacioes o tiee el mismo peso o importacia, u ejemplo clásico es la ota defiitiva de ua asigatura, supogamos el caso de u estudiate e u curso cualquiera co las siguietes otas: Porcetaje (P i ) Nota (X i ) Parcial 1 20% 4.5 Parcial 2 40% 2.1 Parcial 3 30% 3.2 Trabajos 10% 4.6 Para calcular la ota defiitiva o podríamos simplemete calcular la media aritmética de las cuatro otas, pues le estaríamos dado el mismo peso a cada ua de las otas, por lo tato calculamos la media poderada, que permite darle pesos diferetes a los valores observados.

8 X p P i i1 P i1 * X i i = 3.16 Recorrido Medio: Esta medida de tedecia cetral se utiliza muy poco, ua aplicació práctica se da cuado se quiere calcular la temperatura media de u día cualquiera, simplemete cosiste e calcular la media aritmética de los valores mayor y meor. Media Cuadrática: Cuado la variable asume valores positivos y egativos, puede ser de iterés u promedio que o tega e cueta lo que aporta el sigo. El estadístico idica el movimieto medio de la variable, idiferete de si subió o bajó. RMSE = M Q = 1 x i 2 Media Armóica: Cuado los valores de ua variable viee expresados e térmios de otra que es iversamete proporcioal o recíproca de la primera (precio y poder adquisitivo, velocidad y tiempo ). Este promedio tiee e cuata esta reciprocidad. x i i=1 1 H = M H = = 1 1 i=1 1 i=1 x i Media Geométrica: Cuado los valores de la variable, so positivos, su úmero es pequeño, y las variacioes etre ellos so muy grades, o cuado, más precisamete, dichos valores ordeados se ecuetra e progresió geométrica, se busca u úmero que tieda a compesar dichas variacioes. G = M G = x i E geeral, para u cojuto de datos: M H > M G > x > M q U tipo geeralizada de media lo costituye las Medias Poteciales defiidas por: MP = [ 1 x i ] i=1 p i=1 1 p, p 0 TAREA Aalizar para cada ua de las escalas de medició que medidas de tedecia cetral so posibles de aplicar y cuáles o. Ates de cotiuar co la siguiete medida de resume, veamos lo siguiete, se tiee dos explotacioes A y B de cualquier producto agrícola: 8

9 Explotació Producció Promedio A 4 To/ha B 4 To/ha A simple vista podríamos decir que los cojutos de datos que diero orige a estas dos medias so iguales, pero si ahora vemos los cojutos origiales, la situació es muy diferete: Explotació Producció Promedio Datos A 4 To/ha 4, 4, 4 B 4 To/ha 0, 4, 8 Estos dos cojutos de datos poe e evidecia que la medida de tedecia cetral por sí sola o es suficiete para describir u cojuto de datos, de ahí la importacia de utilizar otra medida de resume que me refleje la situació del ejercicio aterior MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersió idica que ta cerca o que ta lejos está los datos de la medida de tedecia cetral o del parámetro de cetralidad. E otras palabras, idica que ta homogéeos o heterogéeos so los datos. Variaza: Es la más coocida de las medidas de dispersió y su aálisis es la base de todos los métodos de estadística iferecial. Podemos defiir la variaza muestral (estadístico) y la variaza poblacioal (parámetro). Estadístico El parámetro S 2 i1 xi X = N i1 N La diferecia e los dos deomiadores radica e que, como el estadístico debe ser u bue estimador del parámetro, al dividir por ( 1) e la primera ecuació se cosidera el úmero de térmios idepedietes (grados de libertad) y co esto se obtiee el mejor estimador de la variaza. E la seguda expresió se asume que se ha teido e cueta todos los elemetos de la població. Existe ua fórmula operacioal que hace mucho más fácil el cálculo de la variaza, que surge de desarrollar y luego simplificar el umerador de la fórmula aterior: x 2 xi i1 i 2 i1 S 1 Supogamos valores de producció de mago e to/ha: {3, 5, 6, 8, 9} Dode la variaza muestral es: 5.7 to 2 /ha (verificar el cálculo). Ahora... Qué es ua to 2? pues este es el problema de la variaza, ésta está dada e uidades al cuadrado, lo cual hace que o tega ua iterpretació fácil, etoces... 2 xi 2 9

10 10 Desviació estádar: Es la raíz cuadrada de la variaza y por lo tato está dada e las uidades de medida origiales de la variable aleatoria y por eso es más utilizada. Podemos defiir la desviació estádar muestral (estadístico) y la desviació estádar poblacioal (parámetro). E el ejemplo aterior la desviació estádar sería: S = to / ha, valor que está dado e las uidades de medida origiales y por lo tato es fácil de eteder. Ejercicio: Se tiee los siguietes cojutos de datos e cuál de ellos hay mayor dispersió? A B Media 10 to/ha 4 to/ha D. E. 2.5 to/ha 2 to/ha Se podría pesar que el cojuto A tiee ua mayor dispersió que el B, pero debe recordarse la defiició de medida de dispersió: es u valor que me idica que ta lejos o cerca se ecuetra los datos respecto a la medida de tedecia cetral, de tal maera que si se desea saber cual de los dos cojutos tiee ua mayor dispersió, el aálisis o puede basarse exclusivamete e la D. E., debe teer e cueta tambié la media aritmética. Para hacer esta comparació se podría hacer uso de la siguiete medida de dispersió. Coeficiete de Variació (CV%): Esta es ua medida de dispersió relativa a la media; muy utilizada porque es adimesioal y por lo tato es muy útil para comparar la dispersió de dos cojutos de datos, ya sea que éstos tega o o, la misma uidad de medida; expresa la desviació estádar como u porcetaje de la media. S CV% = * 100 Desviació Media y D. Mediaa: Es ua medida de dispersió dode la medida de tedecia cetral de se usa como referecia: la Media o la Mediaa. Se estima por: D. Media = i xi X X 1 D. Mediaa = i1 xi Me Básicamete es para variables ordiales; e geeral, cuado se calcule la mediaa como medida de tedecia cetral, lo correcto etoces será calcular la desviació mediaa.

11 Recorrido o Rago: Es ua medida poco utilizada porque provee de muy poca iformació, se calcula como la diferecia etre los dos valores extremos del cojuto de datos, por lo tato simplemete idica la distacia que hay etre el valor meor y el valor mayor. Rago = Valor mayor Valor meor. Tarea Aalizar para cada ua de las escalas de medició que medidas de dispersió so posibles de aplicar y cuáles o. Ejercicio: Qué se puede decir de la producció de mago e estas dos ficas? A B Media: D. E Aparetemete so dos cojutos de datos iguales, pero si vemos los datos origiales vamos a ecotrar lo siguiete: A = {5, 6.3, 6.9, 7.4, 9.2, 10, 12.9, 18.1} B = {0.85, 6.05, 8.95, 9.75, 11.55, 12.05, 12.65, 13.95} Co estos dos cojutos se hace evidete que ua medida de tedecia cetral juto co ua medida de dispersió, tampoco so suficietes para describir de maera completa u cojuto de datos, hace falta algo más, veamos la siguiete medida de resume MEDIDAS DE FORMA. Ua medida de forma refleja cual es la forma de la fució empírica de distribució de frecuecias de los datos. Se cooce dos medidas: Coeficiete de Asimetría (a): Idica si la distribució de frecuecias del cojuto de datos es simétrico o o respecto a la media. Se calcula de la siguiete maera: 3 x i x i1 a = S Se puede hablar de tres situacioes (o so las úicas): Distribució de frecuecias Simétrica: a = 0. Cuado hay simetría perfecta, la media, la mediaa y la moda toma el mismo valor. Sesgo a la derecha: a > 0. Cuado hay sesgo a la derecha: la moda < la mediaa < la media. Sesgo a la izquierda: a < 0: 11

12 12 Cuado hay sesgo a la izquierda, la media < la mediaa < la moda. Gráfico de dos distribucioes de frecuecias. La líea roja correspode a ua D. Simétrica, la azul a ua sesgada. Evaluado los dos cojutos de datos ateriores: a A = [ 8 / 7*6 ]*[ ( ) 3 + ( ) ( ) 3 / ] a A = = Asimetría positiva o sesgo a la derecha. a B = [8 / 7*6 ]*[( ) 3 + ( ) ( ) 3 / ] a B = = Asimetría egativa o sesgo a la izquierda. Tarea: Verificar los ateriores resultados. Ejercicio: Qué se puede decir de la producció de mago e estas dos ficas? A B Media: 7 7 D. E a 0 0 Aparetemete so dos cojutos de datos iguales, pero si vemos los datos origiales vamos a ecotrar lo siguiete: A: {0.5, 4, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 10, 13.5} B: {1.5, 3.5, 4, 6, 7, 8, 10, 10.5, 12.5} Co estos dos cojutos se hace evidete que ua medida de tedecia cetral juto co ua medida de dispersió y la medida de asimetría, tampoco so suficietes para describir de maera completa u cojuto de datos, hace falta algo más. Coeficiete de Curtosis o Curtosis (K): Evalúa como es la cocetració de los datos alrededor de la media y de las colas. K = i1 x i S 4 x

13 13 Situacioes posibles: Distribució de frecuecias Mesocúrtica: K = 0 Distribució de frecuecias Leptocúrtica: K > 0 Distribució de frecuecias Platicúrtica: K < 0 Evaluado los dos cojutos de datos ateriores: K A : : Leptocúrtica K B : : Platicúrtica. Tarea: Verificar los dos valores de Curtosis ateriores. Gráfico de tres distribucioes de frecuecias MEDIDAS DE POSICIÓN. So medidas que permite estimar e que puto de la distribució de los datos, se ecuetra u determiado valor. Cuatiles Es el valor de la variable aleatoria que deja sobre si (o debajo de si) ua proporció defiida de los datos. Es la expresió más geeral de medidas de posició y comprede a todas las otras; el valor que tome el cuatil X es el valor que deja por debajo de sí al X % de los datos. Para el cálculo de los cuatiles vamos a recurrir uevamete a los estadísticos de orde. Primero se debe calcular el valor *X (Siedo el úmero de datos y X el cuatil deseado), a partir del valor hallado se hace lo siguiete: Si (x/100) o es etero, etoces el Cuatil X = X ( [ x/100 ] + 1 ). Recuerde: [ ] quiere decir meor etero coteido e, lo que traduce: redodee por debajo. Si (x/100) es etero, etoces el Cuatil X = {X (x/100) + X [(x/100) + 1] }/ 2 Importate: Cuatil 0 = X (1) = El valor Míimo Cuatil 100 = X () = El valor Máximo

14 14 Cuartiles So valores que divide el cojuto de datos e cuatro partes. Q1: Primer cuartil: Es el valor por debajo del cual se ecuetra el 25% de los datos. Q2: Segudo cuartil: Es el valor por debajo del cual se ecuetra el 50% de los datos. Equivale a la mediaa. Q3: Tercer cuartil: Es el valor por debajo del cual se ecuetra el 75% de los datos. Deciles: So valores que divide el cojuto de datos e diez partes. D1: Decil uo: Es el valor por debajo del cual está el 10% de los datos. D2: Decil dos: Es el valor por debajo del cual está el 20% de los datos. Percetiles: So los valores que divide la iformació e cie partes. P1: Percetil uo: Es el valor por debajo del cual está el 1% de los datos P2: Percetil dos: Es el valor por debajo del cual está el 2% de los datos P95: Percetil 95: Es el valor por debajo del cual está el 95% de los datos Tarea Hallar equivalecias etre las diferetes medidas de posició, ejemplo: Mediaa = Q 2 = D 5 = P 50 Calcular todas las ateriores medidas de resume para describir dos cojutos de datos tomados del capítulo uo del texto guía. La referecia Tipificada: Si bie, o correspode a u estadístico, propiamete dicho, la referecia tipificada, que se calcula a cada observació de la muestra, es ua medida de la cercaía de cada observació al cetroide de los datos. Z i = x i x s E geeral, Zi perteece al itervalo (-3.5; 3.5) e las distribucioes de probabilidad ormal, si la observació se halla cerca al promedio, Zi estará cercao a cero. Cuado la observació es relativamete distate del valor cetral tederá a estar cercao a -3.5 (valores cercaos al míimo) o a 3.5 (para valores cercaos al máximo). Las observacioes extremas tiee ua referecia tipificada grade e valor absoluto. 2.2 TABLAS Tablas de frecuecia (Distribució empírica de frecuecias) La distribució de frecuecia es la represetació estructurada, e forma de tabla, de toda la iformació que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada X1 1 1 h1 = 1 / H1=h1

15 X h2 = 2 / H2=f1 + f X h-1 = -1 / f1 + f2 +..+f-1 X N h = / h X: Los distitos valores que puede tomar la variable. : El úmero de veces que se repite cada valor. h: La proporció que la repetició de cada valor supoe sobre el total Veamos u ejemplo: Medimos la altura de los iños de ua clase y obteemos los siguietes resultados (cm): Estudiate Estatura Estudiate Estatura Estudiate Estatura Estudiate 1 1,25 Estudiate 11 1,23 Estudiate 21 1,21 Estudiate 2 1,28 Estudiate 12 1,26 Estudiate 22 1,29 Estudiate 3 1,27 Estudiate 13 1,30 Estudiate 23 1,26 Estudiate 4 1,21 Estudiate 14 1,21 Estudiate 24 1,22 Estudiate 5 1,22 Estudiate 15 1,28 Estudiate 25 1,28 Estudiate 6 1,29 Estudiate 16 1,30 Estudiate 26 1,27 Estudiate 7 1,30 Estudiate 17 1,22 Estudiate 27 1,26 Estudiate 8 1,24 Estudiate 18 1,25 Estudiate 28 1,23 Estudiate 9 1,27 Estudiate 19 1,20 Estudiate 29 1,22 Estudiate 10 1,29 Estudiate 20 1,28 Estudiate 30 1,21 15 Si presetamos esta iformació estructurada obtedríamos la siguiete tabla de frecuecia: Variable Frecuecias absolutas Frecuecias relativas (Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada 1, ,3% 3,3% 1, ,3% 16,6% 1, ,3% 30,0% 1, ,6% 36,6% 1, ,3% 40,0% 1, ,6% 46,6% 1, ,0% 56,6% 1, ,0% 66,6% 1, ,3% 80,0% 1, ,0% 90,0% 1, ,0% 100,0% Si los valores que toma la variable so muy diversos y cada uo de ellos se repite muy pocas veces, etoces coviee agruparlos por itervalos, ya que de otra maera obtedríamos ua tabla de frecuecia muy extesa que aportaría muy poco valor a efectos de sítesis.

16 Distribucioes de frecuecia agrupada Supogamos que medimos la estatura de los habitates de u edificio y obteemos los siguietes resultados (cm): Habitate Estatura Habitate Estatura Habitate Estatura Habitate 1 1,15 Habitate 11 1,53 Habitate 21 1,21 Habitate 2 1,48 Habitate 12 1,16 Habitate 22 1,59 Habitate 3 1,57 Habitate 13 1,60 Habitate 23 1,86 Habitate 4 1,71 Habitate 14 1,81 Habitate 24 1,52 Habitate 5 1,92 Habitate 15 1,98 Habitate 25 1,48 Habitate 6 1,39 Habitate 16 1,20 Habitate 26 1,37 Habitate 7 1,40 Habitate 17 1,42 Habitate 27 1,16 Habitate 8 1,64 Habitate 18 1,45 Habitate 28 1,73 Habitate 9 1,77 Habitate 19 1,20 Habitate 29 1,62 Habitate 10 1,49 Habitate 20 1,98 Habitate 30 1,01 Si presetáramos esta iformació e ua tabla de frecuecia obtedríamos ua tabla de 30 líeas (ua para cada valor), cada uo de ellos co ua frecuecia absoluta de 1 y co ua frecuecia relativa del 3,3%. Esta tabla os aportaría escasa iformació E lugar de ello, preferimos agrupar los datos por itervalos, co lo que la iformació queda más resumida (se pierde, por tato, algo de iformació), pero es más maejable e ilustrativa: Tabla de distribució de frecuecias para la variable aleatoria estatura de los estudiates. Estatura Frecuecias absolutas Frecuecias relativas Cm Simple Acumulada Simple Acumulada 1,01 1, ,3% 3,3% 1,11 1, ,0% 13,3% 1,21 1, ,0% 23,3% 1,31 1, ,6% 30,0% 1,41 1, ,0% 50,0% 1,51 1, ,3% 63,3% 1,61 1, ,0% 73,3% 1,71 1, ,0% 83,3% 1,81 1, ,6% 90,0% 1,91 2, ,0% 100,0% 16

17 El úmero de itervalos e los que se agrupa la iformació es ua decisió que debe tomar el aalista: la regla es que mietras más itervalos se utilice meos iformació se pierde, pero puede que meos represetativa e iformativa sea la tabla. Se ecuetra varias propuestas para esto, ua es la fórmula de Sturges: K *log( ), pero tambié se usa K 3. Se recomieda que sea meos de 20 y al meos cico itervalos. E ua tabla de frecuecias, los percetiles (y cualquier cuatil) se calcula usado la siguiete expresió: P L i * 100 k i i * f j P i : Es el i-ésimo percetil. L i : Límite iferior de la clase o itervalo de iterés, esto es, la clase que supera o iguala la proporció buscada por el percetil. f k : Es la suma de las frecuecias ateriores a la clase de iterés. f j : La frecuecia absoluta de la clase de iterés. C: Amplitud de clase o logitud del itervalo TAREA Calcule a la tabla de frecuecias aterior la mediaa, el percetil diez, el cuartil uo y el percetil Tablas de cotigecia. E muchas ocasioes para el ivestigador será de iterés recolectar, de maera simultáea, e ua muestra más de ua cualidad o variable. Por ejemplo, se midió e ua empacadora de cares la catidad (cocetració) de preservativos que se requiere para que las proteías o iicie su proceso de desaturalizació. Para esto se evaluaro los efectos de tres tipos (marcas comerciales) de preservates e cuatro dosis, sobre la care de burro, de caballo, de cerdo y de res. Como se puede apreciar, estos resultados será mejor evaluados si se preseta resumidos e ua tabla de doble etrada como la que se muestra a cotiuació. Tabla de cotigecia. Días para el iicio de la desaturalizació de la care de caballo Cocetració (mg/k) Marca Rociate Imperial Resplador f C 17

18 Nótese que será ecesaria la costrucció de ua tabla similar para cada tipo de care o costruir ua tabla más elaborada que muestre toda la iformació. 2.3 GRÁFICOS Los gráficos so el pricipal istrumeto de aálisis exploratorio de las características de ua variable y se costruye de varios tipos, segú el propósito y/o el ivel deseado para el aálisis y segú el tipo de variable que se describa. 2.4 Diagrama de dispersió (cotiuas y discretas) La represetació e u gráfico los pares de valores de dos variables sumiistra iformació a cerca de posibles relacioes etre las ellas, co ua simple ispecció a la ube de putos. 18 Ejemplo: Se tiee la siguiete iformació acerca de úmero de emátodos e ua muestra de suelo y el coteido de materia orgáica e la misma muestra Nemátodos Materia Orgáica Nemátodos Materia Orgáica Tarea Dibuje el diagrama de dispersió etre las dos variables. 2.5 Diagrama de barras (variables discretas) Se realiza graficado las frecuecias absolutas o las frecuecias relativas de la variable (eje Y) cotra los valores observados (eje X). Se distigue del histograma por la separació que se ecuetra etre las barras, que e el histograma o existe. 2.6 Ciclograma o Diagrama de sectores (Pie chart) Las frecuecias relativas de las categorías que se ecuetra e la variable so descritas usado el círculo como represetació de la totalidad de la muestra, cada categoría se le asiga u sector (segmeto de arco) que es proporcioal a esta

19 frecuecia. De esta forma, ua categoría que tega ua frecuecia relativa de 50% le correspode el arco descrito por u águlo de 180º. 19 Qué porcetaje de las vetas correspode a los helados de mazaa (apple)? 2.7 Diagrama de cajas (variables cotiuas y discretas) Se costruye usado la mediaa y los cuartiles. La caja tiee u par de líeas que se prologa a 1,5 veces el rago itercuartílico (1.5*{Q3 Q1}). La caja la costituye tres líeas, la primera está a la altura del cuartil uo (Q1), la seguda es la mediaa y la tercera el cuartil tres (Q3). La grafica muestra diez el diagrama de cajas para 10 variables, la seguda gráfica muestra la misma gráfica para ua sola variable. Diagrama de cajas y bigotes para la variable aleatoria X. 2.8 Histograma (variables cotiuas) Se costruye graficado las frecuecias absolutas o las frecuecias relativas de la variable (eje Y) cotra las categorías o clases e las que se dividió la misma (eje X). Se distigue del diagrama de barras por que la separació de las barras es cero.

20 Ojiva (variables cotiuas) Se realiza graficado las frecuecias acumuladas de la variable e estudio (eje Y) cotra los valores de la variable (puto medio del itervalo de clase {x i } e el eje X). Tarea: Usado las frecuecias acumuladas de la tabla de distribució de frecuecias de los estudiates grafique la ojiva correspodiete. Idetifique los procedimietos que le permita realizar estadística descriptiva e el programa EXCEL

21 PRELIMINARES 21 El sumatorio o la sumatoria es u operado matemático que permite represetar sumas de muchos sumados, o icluso ifiitos sumados, se expresa co la letra griega sigma ( Σ ), y se defie como: Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta, de x sub-i", o bie "sumatoria de i, desde i = m a, de x sub-i" La variable i es el ídice de suma al que se le asiga u valor iicial llamado límite iferior, m. La variable i recorrerá los valores eteros hasta alcazar el límite superior,. Necesariamete debe cumplirse que: Si se quiere expresar la suma de los cico primeros úmeros aturales se puede hacerlo de esta forma: es la suma de los primeros cie úmeros. es la suma de las diez primeras potecias de 2. es la suma de todos los úmeros racioales de la forma 1/k 2. Esta es ua suma ifiita que uca termia; es decir, se suma todos los elemetos de u cojuto ifiito. Tambié hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil úmeros aturales o tiee mucho setido sumar úmero por úmero, y se puede usar ua fórmula como esta:

22 22 Los operadores de suma so útiles para expresar sumas de forma aalítica; esto es, represetar todos y cada de los sumados e forma geeral mediate el "i-ésimo" sumado. Así, para represetar la fórmula para hallar la media aritmética de úmeros, se tiee la siguiete expresió: Alguas fórmulas de sumatoria Alguas fórmulas relacioadas Se puede expresar el úmero e, co ua sumatoria:

23 23 Para calcular el úmero armóico: Para calcular u subfactorial: Para calcular cualquier itegral defiida, pero éste, es u método aproximado: Éste sumatorio puede expresarse como fució cuadrática: