IE TEC. Total de Puntos: 71 Puntos obtenidos: Porcentaje: Nota:

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1 IE TEC Nombre: Intituto Tecnológico de Cota Rica Ecuela de Ingeniería Electrónica EL-70 Modelo de Sitema Profeore: Dr. Pablo Alvarado Moya, Ing. Gabriela Ortiz León, M.Sc. I Semetre, 007 Examen de Suficiencia Total de Punto: 7 Punto obtenido: Porcentae: Nota: Carné: Advertencia: Reuelva el examen en forma ordenada y clara. En toda la pregunta y problema debe indicare algún procedimiento o utificación clara para llegar a la olución. No e aceptarán reclamo de dearrollo con lápiz, borrone o corrector de lapicero. El uo de lapicero roo no etá permitido. El uo del teléfono celular no e permitido en el examen. Favor mantener ete tipo de dipoitivo apagado. No e permite el uo de calculadora. El no cumplimiento de lo punto anteriore equivale a una nota igual a cero en el eercicio correpondiente o en el examen. Problema Mapeo Dado el mapeo compleo: + ) w = z + + donde w = u + v y z = x + y, y la do regione del plano z: 0 Pt.) R : Im{z} R :.. Determine el mapeo invero de.). Pt Pueto que w = az + b cz + d cz + d)w = az + b czw az = dw + b zcw a) = dw + b z = dw + b cw a

2 y con a = +, b =, c = / y d = + / e obtiene entonce: z = ) + w w + ) = + )w w + 6).. Decomponga el mapeo.) en mapeo elementale rotacione, tralacione, ecalado e inverione) e indique la ecuencia correpondiente. Pt Por diviión polinomial o utilizando la fórmula e obtiene w = λ + µ αz + β con λ = a/c, µ = bc ad, α = c y β = cd, con lo que utilizando lo dato numérico e obtiene: λ = + 6 µ = α = β = + de modo que w = z + + Lo que e decompone en lo iguiente mapeo:. contracción en in rotación. tralación del origen hacia +. mapeo de inverión. ampliación en. 5. rotación en 90 en entido horario. 6. tralación hacia + 6 Lo do primero pao correponden a un mapeo lineal, y lo último tre a otro mapeo lineal... Boquee la regione R, R y R R del plano z. Pt R R R R

3 .. Determine y boquee la regióne en el plano w correpondiente a R y R en el plano z, i e utiliza el mapeo.). Pt La región R e mapea egún lo pao en otro círculo del plano w, como lo ilutra la iguiente figura: Pao 6 R Pao Pao Pao 5 Pao Pao El pao hace paar la recta horizontal por z = /, y luego en el pao e tralada de modo que u imagen paa por z = /. En el mapeo de inverión, toda linea horizontal e mapeada a otra linea horizontal o a un círculo centrado en el ee imaginario. En ete cao, como la recta vertical no paa por cero, la imagen erá un círculo que paa por cero y por w = /z = //) =, lo que implica que el nuevo círculo etará dado por la ecuación z + =. Algebraicamente, pueto que w = w w = u v u + v = z = x + y = x + e cumple para la parte imaginaria y completando cuadrado) v = u + v u + v + v + = u + v + ) = lo que confirma lo expueto anteriormente, e decir, un círculo centrado en de radio. La región uperior a la línea contiene al infinito y por tanto u imágen debe contener al cero, e decir, la región e mapeada al interior del círculo z +. El ecalado en no altera la forma del círculo pao ) y tan olo modifica centro y radio: z + =. La rotación en 90 en entido horario pao 6), debido al producto por = e 90, reulta en el círculo z + =, y eguido finalmente por la tralación en + 6 reulta en w + 6 =. Para la imagen de la región R e aplican ahora lo pao anteriore al círculo z =.

4 replacemen R El primer mapeo lineal tranforma el círculo a un círculo con centro y radio dado por: z 0 = + ) + + = + R = = por lo que el reultado parcial e z + /) = /. Para el mapeo de inverión e tiene el círculo anterior que no paa por el origen y por tanto erá tranformado en otro círculo. Utilizando la fórmula para ete cao e puede obtener que el reultado e w /) = /. Una olución gráfica e obtiene utilizando el mapeo de tre punto etratégicamente eleccionado. El invero de e también. Se toman ademá lo do punto de interección del círculo con una recta a 5, que on + ) y +. Como dicha recta paa por el origen, u imagen e a u vez una recta que paa por el origen, aí que la imágene de ambo punto deben etar alineada. Con / + ) = ) y / + ) = ) e oberva fácilmente, coniderando que el centro del círculo imagen etá en la interección de la mediatrice de la imágene de lo tre punto evaluado, que el centro del círculo debe etar en / y u radio debe er /. Utilizando la fórmula e confirma eto: α = r z 0 = 5 = z 0 = z 0 α = R = r α = /) = /

5 Lo último pao del mapeo lineal cambian el centro del círculo a y el radio a, por lo que el reultado e w =. Por último, pueto que la región inicial excluye al origen, la imagen deberá excluir al infinito y la región reultante e el interior del círculo w..5. Boquee la imagen de R R en el plano w. Pt La interección de lo do círculo reultante e la imagen de R R : 6 6 Problema Análii de Fourier Pt Sea xt) una función periódica de periodo T p, con coeficiente de la Serie de Fourier c k, e decir: xt) = c k e ω 0kt con ω 0 = π/t p. Se cumple ademá que. xt) IR,. xt) = xt T p /),. c k = 0 para k = 0 y k, Tp/. T T xt) p/ dt =, p 5. c e real poitivo. k=.. Utilice la propiedad de deplazamiento para demotrar que c k = 0 para todo k par. Pt Se abe que lo coeficiente c k de xt T p /) e relacionan con lo coeficiente c k de xt) a travé de c k = c k e ω 0kT p/ = c k e πk = c k ) k 5

6 y pueto que xt) = xt T p /) debe cumplire entonce que c k = c k + ) k )c k = 0 que puede er cero para k par olo i c k = 0. c k = c k ) k.. Indique qué imetría deben motrar lo coeficiente c k. Jutifique u repueta. Pt Pueto que xt) e real, la magnitud de lo coeficiente debe er par y la fae impar, e decir c k = c k... Encuentre la función de variable y valor real xt). Pt Pueto que olo c y c podrían er diferente de cero, pero c = 0 por la antiimetría de media onda, y c = c por er la función real, entonce con la ecuación de íntei e tiene: Coniderando que xt) = T p k= c k e ω 0kt = c e ω 0t + c e ω 0t = c e ω 0t+ c ) + c e ω 0t+ c ) = c e ω 0t+ c ) + c e ω 0t+ c ) = c Re { e ω 0t+ c ) } = c co ω 0 t + c ) t0 +T p t 0 xt) dt = k= = c c = c k c = y pueto que c e real poitivo entonce c = / y xt) = co ω 0 t) 6

7 .. Se abe que xt) coπf c ), con f c = 0 khz, tiene una componente epectral en 0 khz. Indique do valore poible para f 0 = ω 0 π. Pt Por el teorema de modulación, la multiplicación por el coeno deplaza el epectro hacia ±f c. Con eto f 0 puede er 0 khz en cuyo cao aparecen línea epectrale en 0 Hz, ±0 khz. También e poible que f 0 = 0 khz, y entonce aparecen línea epectrale en ±0 khz y ±0 khz Problema Propiedade de la Tranformada de Laplace La función ft) dada por ft) = { para a t a 0 para t > a Pt.. Demuetre que la expreión algebraica de la tranformada de Laplace de ft) etá dada por F ) = ea e a Indique la región de convergencia de X). De la definición e obtiene: F ) = a a e t dt = et = e a + e a La ROC e todo el plano pueto que ft) e una eñal finita... Expree la función gt) figura.) en término de combinacione lineale de ft) y/o tralacione y ecalamiento en el tiempo. Pt K gt) a a Pt a a t K Figura.: Función gt) a er expreada en término de ft). El pulo ft) tiene un ancho a y para utilizarlo debe er comprimido. Aí, tómee f t) = ft), que puede er deplazada a la derecha en a/ y ecalado en amplitud 7

8 por un factor K, e decir, f t) = Kf t a/) = Kft a), con lo que e obtiene el pulo poitivo de gt). Por otro lado, el pulo negativo e obtiene como f t) = Kf t a/) = Kft a). Entonce gt) = f t) + f t) G) = F ) + F ).. Utilice la propiedade de la tranformada de Laplace y lo reultado del punto anterior para encontrar G) 5 Pt Para encontrar F ) e hace uo de la propiedade de ecalado y deplazamiento en el tiempo: L {f t)} = K [ e a F ) ] [ = K e a ) ] F [ = K e a / [ ] e a = K e a e a y de modo imilar para F ): [ ] L {f t)} = K e a F ) [ = K e a ) ] F [ ] = K e a e a e a / [ ] e a e a = K y pueto que G) = F ) + F ) e cumple G) = K [ e a + e a ] = K e a ) ] Problema Sitema LTI Pt Conidere el itema LTI motrado en la figura., para el cual e conoce la iguiente información: X) = + con xt) = 0 para t > 0

9 y yt) = et u t) + e t ut) X) H) Y ) Figura.: Sitema LTI.. Determine H) y u región de convergencia. 5 Pt Se tiene con la tranformada L {yt)}: Y ) = + + = ) + ) y u ROC e < Re{} < pueto que yt) e bilateral. Por otro lado e abe que X) = + y u ROC e Re{} < pueto que xt) e izquierda. Entonce H) = Y ) X) = + ) + ) La ROC de Y ) e la interección de la ROC de X) y H), por lo tanto e Re{} >... Determine ht). Pt por lo que H) = A + + B + = + + ht) = e t ut) e t ut) Problema 5 Serie de Laurent y Tranformada z Dada la expreión algebraica 0 Pt Xz) = z + z ) ) 9

10 5.. Indique la ubicación y orden de lo polo y cero de la función Xz) anterior. Pt La función Xz) e puede reecribir como Xz) = z ) z + eπ/) e π/) de donde e obtiene que la función tiene un cero de orden en el origen, tre polo imple epaciado regularmente obre el círculo de radio / a ±60 y 0, y un polo de orden en z = /. 5.. Grafique el diagrama de polo y cero de Xz). Pt ) 5.. Indique y utifique cuánta Serie de Laurent centrada en cero exiten para la expreión Xz). Pt Exiten tre erie para la regione de convergencia z < /, / < z < / y / < z. 5.. Encuentre el reiduo de Xz) en el punto z = /. Pt El punto z = / e regular, y por tanto el reiduo e cero Indique y utifique cuánta funcione reale xn) exiten con expreión algebraica de u tranformada z igual a Xz). Pt Pueto que lo polo y cero on reale o aparecen en pare compleo conugado, entonce xn) e real, independientemente de la región de convergencia elegida. Pueto que hay tre poible regione de convergencia, exiten tre poible funcione reale Un itema con función de tranferencia Hz) tiene repueta al impulo hn) de longitud finita dada por { hn) =, 5, 5 6, } 0

11 Se abe ademá que H/) = 0, y que el itema reacciona ante la entrada caual xn) con la alida yn). Grafique el diagrama de polo y cero de Y z) = Z {yn)}. 5 Pt Se abe que Y z) = Hz)Xz), y para Xz) ya lo polo y cero on conocido. Bata con encontrar entonce lo polo y cero de Hz), que e igual a: Por diviión polinomial e tiene que: Hz) = 5 z z z z + 5 z + 6 z 5 z + 6 z ) 6 z 5 z + 6 z z ) z + z +) z + z z + E decir, e cumple: 5 z z z = z ) z + ) z = z z + ) ) z ) = + ) ) que indica claramente la preencia de un polo de orden en cero, y tre cero imple en z = ± = e±π/ y z = /, lo cuale coinciden con alguno de lo polo de Hz).

12 5.7. Encuentre una expreión cerrada para yn). Pt Del eercicio anterior e tiene que con Y z) = ) z + A = ) + B z + A = lím z C = lím z B = lím z = lím z ) d dz C ) + ) = 6 5 = ) 5 ) ) ) = 6 5 ) y utilizando la notación convencional Y z) = A + z ) + Bz z ) + Cz z z ) y pueto que la entrada e caual y hn) también lo e, entonce la alida debe er caual y e tiene finalmente [ 6 yn) = ) n ) 6 ) n ) + 6 ) ] n ) n ) un ) Encuentre la ecuación de diferencia correpondiente al itema Hz). Pt Con Hz) = Y z) Xz) = 5 z z z e obtiene fácilmente Y z) = Xz) 5 Xz)z Xz)z Xz)z por lo que yn) = xn) 5 xn ) xn ) xn )