Programa de la Asignatura

Transcripción

1 Prgraa de la Asignatura Lección.- La Física. Magnitudes y su edida Lección.- Cineática del Punt. Lección 3.- Dináica de la Partícula. Lección 4.- Dináica de ls Sisteas de Partículas: Sólid Rígid. Lección 5.- Oscilacines. Lección 6.- Teperatura y Prcess Térics. Lección 7.- Calr. y principis de la terdináica. º cuatriestre Lección 8.- Cap electrstátic en el vací. Cnductres en equilibri Lección 9.- Cndensadres y dieléctrics. Lección 0.- Crriente Eléctrica. Lección.- Cap agnétic en el vací. Lección.- Inducción. Lección 3.- Caps agnétics en edis ateriales. Lección 4.- Leyes del electragnetis. Lección 5.- Ondas. Lección 6.- Naturaleza de la Luz. Optica geétrica. Lección 7.- Óptica ísica

2 Lección 5: Oscilacines.-Intrducción..- Cineática del viient arónic siple (MAS). 3.- Vectres de rtación asres. 4.- Fuerza y energía en el MAS. 5.- Ecuación básica del MAS. Pénduls. 6.- Superpsición de ds MMAASS. 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia. Bibligraía:.- Alns -Finn (995), capítuls 0 y 3..- Tipler (99), vl I, capítul..- Burban-Burban-García (993), capítul XX.

3 .- Intrducción.- Intrducción. Mviient scilatri: viient periódic alrededr de una psición de equilibri. De ésts, el ás iprtante es el Mviient Arónic Siple (MAS) pr ser el ás sencill de describir y analizar y pr ser una descripción bastante precisa de uchs viients scilatris naturales..- Cineática del viient arónic siple. Sea una partícula cn un MAS a l larg del eje OX, su desplazaient respect al rigen viene dad pr: x (t) = A cs( ωt + ϕ) x(t) = A sen( ωt + ϕ) O bien pr: dnde: A es la aplitud(x áx ) ω es la recuencia angular ϕ es la ase inicial T es el perid ν es la recuencia (ωt +ϕ) es la ase T = π ω ν = T 3

4 .- Cineática del viient arónic siple La velcidad será: dx v(t) = dt v(t) = Aωsen t ( ω + ϕ) dnde Aω es la aplitud de la velcidad (v áx ) lueg la velcidad varía periódicaente entre ls valres +Aω y -Aω La aceleración será: dv d x a(t) = = dt dt a(t) = Aω cs t ( ω + ϕ) a(t) = ω x(t) dnde Aω es la aplitud de la aceleración (a áx ) lueg la aceleración varía periódicaente entre ls valres +Aω y -Aω en un MAS la aceleración es prprcinal y de sentid puest al desplazaient 4

5 .- Cineática del viient arónic siple La variación del desplazaient, la velcidad y la aceleración en unción del tiep será: x(t) = A cs t ( ω + ϕ) x + A T 4 T 3T 4 T v(t) = Aω sen t ( ω + ϕ) A v + Aω a(t) = Aω cs ( ωt + ϕ) = ω x Aω a + Aω Aω T 4 T 3T 4 T 5

6 3.- Vectres de rtación asres 3.- Vectres de rtación asres. El desplazaient de una partícula que se ueve cn un MAS se puede cnsiderar c la cpnente x de un vectr OP de ódul A y que rta en sentid cntrari a las agujas del relj cn una velcidad angular ω (vectr rtante asr). Igualente se pueden encntrar vectres rtantes para la velcidad y aceleración de la partícula. Y A P ϕ O x P X OP ( ) = A cs ( ωt + ϕ) x = OP = ' cs ωt + ϕ π = ωacs ωt + ϕ + v a = ω A cs( ωt + ϕ + π) ωa π A π ωt+ϕ a v x ω A 6

7 4.- Fuerza y energía en el MAS 4.- Fuerza y energía en el MAS. Antes btuvis que la aceleración era prprcinal al desplazaient, lueg la resultante de las uerzas que genera un MAS será: r r F = a F = a = ( ω x) F = kx Dnde hes cnsiderad: k =ω T = π en el MAS la uerza es prprcinal al desplazaient y de sentid cntrari ω = k k Energía cinética de una partícula cn un MAS Ec = v = ) [ Aωsen( ωt + ϕ) ] = A ω sen ( ωt + ϕ = A ω [ cs ( ωt + ϕ) ] Ec [ A ] = ω x la Ec es áxia en el centr (x=0) y ínia en ls extres (x=±a) 7

8 4.- Fuerza y energía en el MAS Energía ptencial de una partícula cn un MAS La uerza que genera el viient es una uerza central y pr tant cnservativa, lueg existe una energía ptencial asciada a ésta tal que: F x dep = dx dep = Fx dx = ( kx )dx Ep = kxdx = kx Si tas c nivel de energía ptencial cer la psición de equilibri (Ep=0 sí x=0) + C Ep = kx = ω x la Ep es áxia en ls extres (x=±a) y ínia en el centr (x=0) Energía ttal de una partícula cn un MAS E = Ec + Ep = E = ka [ A x ] + x ω ω = ω A = ka = cte la energía ttal de un sciladr arónic es cnstante y prprcinal al cuadrad de la aplitud 8

9 4.- Fuerza y energía en el MAS Diagraa de energías de una partícula cn un MAS Ep = kx Ep Ec = k ( A x ) Ec E = ka -A Ep 0 +A x 9

10 5.- Ecuación básica del MAS. Pénduls- 5.- Ecuación básica del MAS. Pénduls La uerza necesaria para prducir un MAS es atractiva prprcinal al desplazaient, lueg aplicand la segunda ley de la ecánica: r d x d x k F = a r F = a = kx kx + x = 0 dt = dt k d x Si cnsideras ω = + ω x = 0 Ecuación dierencial hgénea cuyas slucines dt sn del tip x(t) = A cs t ( ω + ϕ) π T = = π ω k F r r a -A F r +A -A r v +A -A a r +A 0

11 5.- Ecuación básica del MAS. Pénduls Péndul siple θ O θ l T r θ P r d θ + ω θ dt = 0 Partícula de asa suspendida de un punt O ediante una cuerda de lngitud l y de asa despreciable r r F = a F t = a La uerza que genera el viient scilatri es la cpnente tangencial del pes Psenθ = α d θ = l dt l d θ d θ g l + g senθ = 0 sen 0 dt dt + θ = l Si cnsideras que ω = g Y si ls ánguls sn l suicienteente pequeñs (senθ θ) l Ecuación dierencial hgénea cuyas slucines sn del tip θ( t) = θ cs ( ωt + ϕ) t π T = = π ω l g

12 Péndul ísic Z O θ r Z b CM θ P r 5.- Ecuación básica del MAS. Pénduls Sólid rígid que puede scilar libreente alrededr de un eje hrizntal baj la acción de la gravedad r r r r r r M = I α M P = r P = I Si cnsideras que d θ gbsenθ = I dt ω = ( ) α d θ gb + senθ = dt I gb I Y si ls ánguls sn l suicienteente pequeñs (senθ θ) 0 d θ + ω θ dt = 0 Ecuación dierencial hgénea cuyas slucines sn del tip θ( t) = θ cs ( ωt + ϕ) π I T = = π ω gb

13 6.- Superpsición de ds MMAASS 6.- Superpsición de ds MMAASS En casines una partícula puede estar setida a la inluencia de ás de un MAS, existe entnces una intererencia de viients arónics siples. L estudiares para el cas de la superpsición de ds MMAASS..- Superpsición de ds MMAASS cn la isa dirección y recuencia x = A cs x = A cs ( ωt ) ( ωt + δ) Dnde δ es la dierencia de ase entre abs viients x = x + x = A cs ( ωt) + A cs( ωt + δ) = A cs( t) ω.- Sí d=0 A = A + A.- Sí d=p A = A A.- En general A = A + A + A A csδ O A δ A A ωt 3

14 6.- Superpsición de ds MMAASS.- Superpsición de ds MMAASS cn la isa dirección y distinta recuencia x = A cs x = A cs ( ωt ) ( ω t) x = x + x A El ángul entre ls vectres de rtación varía cn el tiep, lueg A + A + A A cs( ω )t A = ω A (ω ω )t ω t ω t A O La aplitud varía entre ls valres: A = A + A A cuand A = A A ( ω ω ) = nπ cs( ω ω ) t t = cuand ( ω ω ) t = ( n + ) π cs( ω ω ) t = A +A A -A t 4

15 6.- Superpsición de ds MMAASS Un cas especial es cuand A =A, entnces, ( ω ω ) A = A + A + A A cs t [ + cs( ω ) t] A = A ω Aplicand [7] la aplitud quedará El viient resultante será ( ω ω ) t A = A cs [ cs( ω t) + cs( t) ] x = x + x = A ω Aplicand [9] ω + ω ω ω ω + ω = Acs t cs t = A cs t x El viient resultante es un viient arónic de recuencia ω y cuya + ω aplitud está dulada pues varía periódicaente cn el tiep A x O t 5

16 6.- Superpsición de ds MMAASS.- Superpsición de ds MMAASS direccines perpendiculares.- Sí d=0.- Sí d=p x = A cs y = Bcs ( ωt) ( ωt + δ) d=0 x = Acs( ωt) y = Bcs( ωt) r r r = x i + y j = A cs B y = x A d=p x = Acs( ωt) y = Bcs( ωt + π) = Bcs( ωt) r ( ωt) i + Bcs( ωt + δ) j B y = x A r Mviients arónics rectilínes d=p/ x = A cs( ωt).- Sí d=p/ x A y Bcs π = t ω + = Bsen y + B = ( ωt) sen ( ωt) + cs ( ωt) = La trayectria es una elipse de seiejes A y B. Si las aplitudes ueran iguales tendrias una circunerencia 6

17 6.- Superpsición de ds MMAASS Figuras de Lissajus δ ω ω 7

18 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia Artiguaient: Adeás de la uerza elástica existe una uerza disipativa prprcinal r r a la velcidad, es decir, = λvdnde λ es una cnstante que F r e F r d depende del edi y de la ra del cuerp r r r r F = F + F = a e d F d d x kx λv = dt Sí recrdas que la recuencia del scilads libre era Y si intrducis el paráetr de artiguaient c d x λ dx + + dt dt k x k ω = λ γ = = 0 La ecuación a reslver será d x dx + γ + ω x = 0 dt dt El viient resultante (slución de esta ecuación dierencial) depende de la relación entre el paráetr de artiguaient y la recuencia natural del sciladr 8

19 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia.- Si g > w Sbreartiguaient El viient resultante n es scilatri, al alejar la partícula de su psición de equilibri, ésta tiende a regresar lentaente a esta psición.- Si g = w Artiguaient crític El viient resultante tapc es scilatri, al alejar la partícula de su psición de equilibri, ésta tiende a regresar rápidaente a esta psición.- Si g << w Artiguaient débil Es el únic cas en el que la partícula scila entrn a la psición de equilibri. Ls desplazaients de la partícula sn de la ra: x(t ) = Ae γ ( ω t + ϕ ) t cs dnde ω = ω γ El viient resultante en este cas es scilatri y cuya aplitud disinuye expnencialente cn el tiep debid a la disipación de energía 9

20 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia.- Si g > w Sbreartiguaient.- Si g = w Artiguaient crític.- Si g << w Artiguaient débil γt bil x(t) = Ae cs( ωt + ϕ) x Ae γt T t π T = = ω ω π γ Ae γt 0

21 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia Oscilacines rzadas: Adeás de la uerza elástica y de la uerza disipativa intrducida cn anteriridad, se aplica una uerza scilatria F r = F r cs ω t que aprta energía al sistea ( ) F r e F r d F r r r r r F + F + F = a e d d x λ + dt d x dt ( ω t) kx λv + F cs = dx dt + k F x = cs ( ω t) Dnde ω es la recuencia de la uerza aplicada y F su aplitud Resulta una ecuación dierencial n hgénea que hes de reslver y en dnde hes k tenid en cuenta la recuencia del sciladr libre ω = λ y el paráetr de artiguaient γ =

22 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia El viient resultante (slución de la ecuación dierencial) cprende ds térins, un transitri y tr peranente. El térin transitri desaparece en un tiep relativaente pequeñ y la slución queda c x(t) ( ω α ) = A sen t x régien transitri régien peranente t Y cuya aplitud es cnstante y vale A = ( ω ω ) + 4γ ω que depende de la recuencia de la uerza aplicada F dx dt La velcidad será: v(t) = = Aω cs( ω t α) = v cs( ω t α) Y cuya aplitud v vale v = ω F ω + 4γ ω

23 7.- Oscilacines artiguadas y scilacines rzadas. Resnancia La aplitud se hace áxia para aquells valres de la recuencia ω que cuplan da = 0 dω ω Se dice entnces que para esta recuencia se prduce un eect de resnancia en aplitud = ω γ A F k γ γ γ=0 γ > γ ω ω La aplitud de la velcidad se hace áxia cuand dv dω = 0 ω = ω Se dice entnces que para esta recuencia se prduce un eect de resnancia en velcidad v ω γ γ γ=0 γ > γ > γ 3 γ 3 ω 3

24 Relacines trignétricas Relacines trignétricas sen cs sen α + cs α = ( α ± β) = senα csβ ± senβcsα [ ] ( α ± β) = csα csβ senαsenβ [ 3] [ ] sen cs ( α) = senα csα [ 4] ( α) = cs α sen α [ 5] sen α = α cs = csα + csα [ 6] [ 7] α ± β α β senα ± senβ = sen cs α + β α β csα + csβ = cs cs α + β α β csα csβ = sen sen [ 8] [ 9] [ 0] 4