Matemática IV Taller, Ecuaciones de orden 1. dy dx = y xy2 2. Determine la solución general de la ecuación. (y 4x)dx + (y x)dy = 0.

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1 Matemática IV Taller, Ecuaciones de orden 1 1. Resuelva R: y 2 x = ln y. dy dx = y 3, y(0) = xy2 2. Determine la solución general de la ecuación (y 4x)dx + (y x)dy = Una persona tiene una fortuna que aumenta en una razón proporcional a su cuadrado. Si hace un año esa fortuna era de mil millones de pesos y en la actualidad es de dos mil millones, cual será el valor de dicha fortuna dentro de seis meses? Y dentro de dos años? R: 4 mil millones 4. Encuentre una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes cuyo orden sea el menor posible y que tenga a la función como solución. 5. Considere la la ecuación autónoma e x sin 2x + 3e x y = y 2 + y a) Halle sus soluciones de equilibrio. b) Clasifíquelas. c) Haga un bosquejo de las diferentes tipos de curvas solución que se puedan presentar Use el factor integrante para hallar la solución general de la ecuación x 2 +y 2 (y + x 5 + x 3 y 2 )dx xdy = 0. 1

2 7. Suponga que un recinto contiene pies cúbicos de aire y está libre de monóxido de carbono. A partir del instante t = 0, se introduce al recinto humo de cigarrillo, que contiene 4 % de monóxido de carbono, a razón de 0, 1 pies cúbicos por minuto y se permite que la mezcla bien circulada salga a la misma razón. a) Halle una expresión x (t) que determine la cantidad de monóxido de carbono en el tiempo t (t 0). R: x(t) = 48(1 e ( 1/12,000)t ) b) La exposición prolongada a una concetración superior a es dañina para el organismo humano. Halle el instante τ en que se alcanza esta concentración. R: 36 minutos aproximadamente. Solución: El modelo correspondiente es: dx = (0,1) (0,04) x 1, 200 (0,1) = 0,004 x 12, 000, separando variables e integrando tenemos: ( 12, 000 ln 0,004 x ) = t + C, 12, 000 despejando x = x (t) tenemos: x (t) = 48 48e 1 12,000 t, sea τ es tiempo necesario para obtener la concentración deseada, entonces x (τ) = (0,00012) (1, 200) = 48 48e 1 12,000 τ, despejando τ tenemos que ( ) 48 0,144 τ = 12, 000 ln 36, , 48 que corresponde a 36 minutos aproximadamente. 2

3 8. Se bombea agua a un tanque cilíndrico recto de sección transversal constante A a una razón constante k. El agua sale por un pequeño orificio de área a ubicado en el fondo del tanque a una razón de αa 2gh donde h es la profundidad del agua en el tanque, g es la aceleración de la gravedad y α es una constante (0, 5 α 1). a) Determine la razón de cambio de la profundidad h del agua. R: dh/ = (k αa 2gh)/A b) Encuentre la profundidad de equilibrio h e y diga si es o no es estable. R: k 2 /2α 2 a 2 g. 9. Una solución que contiene 2 libras de sal por galón empieza fluir a un depósito que contiene 50 galones de agua pura a razón de 3 gal/min. Después de 3 minutos la mezcla comienza a salir a razón de 3 gal/min. a) Cuánta sal hay en el depósito después de 2 minutos? b) Cuánta después de 25 minutos? c) Cuánta sal tiende a haber en el depósito a medida que el tiempo transcurre indefinidamente? 10. Una cierta familia de curvas constituye la solución general de la ecuación y = 2xy, x 0, y 0. x 2 + y2 Halle las trayectorias ortogonales a dicha familia. 11. Halle un factor integrante para la ecuación inexacta (2x 2 + y)dx + (x 2 y x)dy. 12. Resuelva la ecuación del punto 3 usando el factor integrante encontrado. 13. La ecuación y = y2 x xy no es exacta. Hállele un factor integrante y úselo para resolverla. 14. a) Halle una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos que pasan por los puntos (-1,0) y (1,0). 3

4 b) Halle una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia ortogonal a la familia de curvas del literal anterior. 15. Un depósito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas 40 libras de sal. Se desea reducir la concentración de sal hasta 0,1 libras por galón vertiendo en el depósito agua limpia a razón de 5 galones por minuto y dejando que salga la misma cantidad mientras se mantiene uniforme la mezcla revolviéndola. Cuanto tiempo tardará en conseguirse dicho propósito? 16. Halle el dominio de la solución al PVI dy y su límite cuando t. = 4y(1 y), y(0) = Un contenedor de 300 galones se encuentra lleno hasta los 2/3 de su capacidad con agua mezclada con 50 libras de sal. Al tiempo t = 0 se abren las válvulas de manera que se agrega agua pura al contenedor a una velocidad de 3 galones por minuto. Si la mezcla bien agitada se extrae de el contenedor a una velocidad de 2 galones por minuto, cuántas libras de sal se encuentran en el contenedor cuando este se llena y todas las válvulas se cierran? 18. En electrostática, las curvas de fuerza son las trayectorias ortogonales a las curvas de potencial constante. Suponga que estas están dadas por la familia de elipses x y2 = λ y halle la familia de curvas de fuerza asociadas con este potencial. 19. El cambio de variables x = u + 1 y y = v 3 transforma la ecuación y = 3x y 6 x + y + 2 en una ecuación homogénea. (Note que lo que hace este cambio de variables es trasladar el origen del plano de fase al punto de corte de las rectas 3x y 6 = 0, x + y + 2 = 0.) Resuelva esta ecuación homogénea para u y v y de entonces la solución en forma implícita de la ecuación original. 4

5 20. Halle y clasifique los puntos de equilibrio de la ecuación autónoma y = (y 1) 5 3 (y 2) 2 (y 3). Prediga el comportamiento asintótico de la solución que satisface la condición inicial y(0) = 2, 1 cuando t. 21. Un objeto de masa m se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Halle el intervalo de tiempo que transcurre antes de que la velocidad del objeto alcance el 90 % de su valor límite. 22. Resuelva la ecuación xy = y + xe y/x. 23. para la ecuación autónoma a) bosqueje la linea de fase; y = y 2 2y + 1, b) identifique las soluciones de equilibrio; c) Clasifique los puntos de equilibrio como sumideros fuentes o nodos; d) Halle el intervalo de existencia de la solución que pasa por (0, 2). 24. Suponga que la temperatura de una taza de café obedece la ley de Newton de enfriamiento. Si el café tiene una temperatura de 200 F cuando acaba de servirse y un minuto después se ha enfriado hasta 190 F en un recinto cuya temperatura es de 70 F, determine cuando el café alcanza una temperatura de 150 F. 25. Halle un factor integrante para la ecuación (x 2 y x)dy + ydx = 0 y úselo para hallar su solución general. 26. Deduzca la ecuación diferencial que debe satisfacer la familia de trayectorias ortogonales a las rectas que pasan por el origen. Use esa ecuación para identificar dicha familia. 5

6 27. para la ecuación autónoma y = y(y 2 2y 8), a) bosqueje la linea de fase; b) identifique las soluciones de equilibrio; c) Clasifique los puntos de equilibrio como sumideros fuentes o nodos; d) Bosqueje los cuatro tipos de trayectorias que se pueden presentar. 28. Resuelva : x dy dx + 3y + 2x2 = x 3 + 4x para x > 0 R: y = x3 6 + x 2 5 x2 + c x 29. Solucione el siguiente problema de valor inicial (9x 2 + y 1)dx (4y x)dy = 0, y(1) = 0 R: 3x 3 + yx x 2y = El cadaver de una persona con temperatura 85 F se descubre a media noche cuando la temperatura del medio ambiente es de 70 F. El cuerpo es trasladado de inmediato a la morgue donde la temperatura se mantiene constante a 40 F. Después de una hora en la morgue se encuentra que la temperatura del cuerpo es de 60 F. Asuma que la temperatura normal del cuerpo humano es de 98,6 F (37 C). A que hora ocurrió la muerte de la persona? Solución: θ = temperatura del cadaver. Modelo en la morge: dθ = k(θ 40). De ahí sale θ = 40 + Ce kt. θ(0) = 85 y θ(1) = 60 implican C = 45 y k = 0, 811. Modelo de temperatura del cadaver donde lo dθ encontraron: = k(θ 40) donde k = 0, 811. De ahí sale θ = 70 + C 1 e kt. θ(0) = 98, 6 implica C 1 = 28, 6. Luego θ = , 6e kt. θ(t) = 85 implica t = 0, Trace algunas isoclinas (marcando las minitangentes respectivas) de la ecuación dy dx = x y. Bosqueje algunas curvas solución incluyendo aquella que satisface la condición y(0) = 4. Cuál es el rango de x para esta solución? 6

7 32. La ecuación logística para la población de cierta especie ( en miles) está dada por dp = 3p 2p2. a) Bosqueje el campo de direcciones de esta ecuación. b) Si la población inicial es de dos mil (i.e., p(0) = 2 ) cuál es la población límite? (lím t p(t) =?) c) Y si la población inicial es de 500, cuál es la población límite? d) Podría una población de 3000 disminuir hasta 500? 33. Un depósito contiene 10 galones de salmuera con dos libras de sal disueltas en ella. Se introduce en el depósito salmuera que contiene disuelta una libra de sal por cada galón a razón de 3 galones por minuto y la mezcla bien revuelta se deja salir a razón de 4 galones por minuto. Hallar la cantidad de sal x(t) en el depósito en el instante t. 34. Una curva y = f(x) arranca desde el origen por el primer cuadrante. El área bajo la curva desde (0, 0) hasta (x, y) es la tercera parte del área del rectángulo que tiene esos puntos como vértices opuestos. Halle la ecuación de la curva (f(x) =?). 7