ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

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Víctor Cárdenas Aranda
hace 7 años
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1 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía LÍMITES, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES Prueba de Evaluación Continua Grupo ºA 3-Octubre-04.- Sea la función 5 si (,) 4 4 0,0 f(,) 0 si (,) 0,0 a) Raonar si esta función es continua en el punto (0,0).. Se pide: b) Hallar, si eisten, las derivadas parciales f ' 0,0 0,0 (.5 puntos) f '..- a) Hallar la derivada direccional de en el punto (,0), según la dirección del vector u (-, ): a ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Cuál es la dirección de máimo decrecimiento de en el punto (, 0)? ( puntos) 3.- Dada la superficie + + = 0, con 0, se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a = 3. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P (, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (,) de su dominio, al (.0,.98). (.5 puntos) 4.- Calcular los etremos absolutos de la función f(, ) = con la condición g(, ) = +3 3 = 0 utiliando multiplicadores de Lagrange. (.5 puntos) 5.- Encontrar los etremos relativos de la función f(, ) = (.5 puntos) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS

2 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía LÍMITES, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES REALES Prueba de Evaluación Continua Grupo ºB 30-Octubre-04.- Sea la función f (, ) cos( 0 ) si 0. Se pide: si = 0 a) Raonar si esta función es continua en el punto (0,0). b) Hallar, si eisten, las derivadas parciales f ' 0,0 0,0 (.5 puntos) f '..- a) Hallar la derivada direccional de en el punto P(,0), según la dirección del vector u (, ) : a ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Raonar si es creciente o decreciente en P en la dirección de u. c) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (, 0)? ( puntos) 3.- Dada la superficie e 3 0. Se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a =. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P(, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P (,) al punto (.0,.98). (.5 puntos) 4.- Calcular los etremos absolutos de la función f(, ) = con la condición g(, ) = + 6 = 0 utiliando multiplicadores de Lagrange. (.5 puntos) 5.- Encontrar los etremos relativos de la función f(, ) = (.5 puntos) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS

3 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía Prueba de Evaluación Continua Grupo ºA 3-Octubre-04.- Sea la función 5 si (,) 4 4 0,0 f(,) 0 si (,) 0,0 a) Raonar si esta función es continua en el punto (0,0).. Se pide: b) Hallar, si eisten, las derivadas parciales f ' 0,0 0,0 Límites radiales m m m m m a) limf (, ) lim lim (,) (0,0) 0 m 0 m m m Los límites radiales dependen de m, luego, no eiste el continua en (0, 0). b) f (h,0) f (0,0) 0 0 f(0,0) lim lim lim0 0 h0 h h0 h h0 5 k 0 f(0,k) f(0,0) 4 f (0, 0) lim lim k lim k0 k k0 k k0.- a) Hallar la derivada direccional de f '. lim f (, ). Por tanto, f no es (,) (0,0) en el punto (,0), según la dirección del vector u (-, ): a ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Cuál es la dirección de máimo decrecimiento de en el punto (, 0)? a ) u u, f, 0, f, 0 f (, 0) lim lim, 0 f 0 0 u lim lim 0 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 3

4 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía a ) f u (0,) f (,0) u u ( ) f(, ) f (,0) 0 ( ) f (, 0) (0, ), ( ) f (, ) (,0) f u ( ) b) La dirección de máimo decrecimiento de en el punto (,0) viene dada por: f (,0) (0, -) (0, ) 3.- Dada la superficie + + = 0, con 0, se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a = 3. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P (, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto (,) de su dominio, al (.0,.98). F(,, ) 0 0; 0 a) Es una elipse de Centro (0, 0) semiejesejes a =, b = / b) F(P)( ) F(P)() F(P)() F F (,) F 4F (,) 8 F ; como 0, F(,) Plano tangente: (-)+8(-)+(-)= =0 Recta normal: 4 pues n (, 4,) es perpendicular al plano tangente en (,) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 4

5 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía c) f (, ) df (, ) f (, ) f (, ) F (, ) f(, ) F (, ) F (, ) 8 f (, ) 4 F (, ) f (,) ( ) 0.0 ( 4) ( 0.0) Calcular los etremos absolutos de la función f(, ) = con la condición g(, ) = +3 3 = 0 utiliando multiplicadores de Lagrange. Observemos en primer lugar que la condición g(,) representa una elipse en el plano centrada en el origen, que es un conjunto cerrado acotado. En consecuencia, el teorema de Weierstrass asegura que el máimo el mínimo de cualquier función continua se alcana en dicha elipse. Consideremos la función auiliar L(,, ) = ( +3 3) = 0. Calculamos los valores,, que anulan las primeras derivadas parciales L L L Sustituendo e en la tercera ecuación obtenemos: Si = ; Son puntos críticos Si =- ; , ;, Para Para máimo f,, el punto f,, por tanto el punto ,, es un mínimo ,, es un U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 5

6 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía 5.- Encontrar los etremos relativos de la función f(, ) = Comenamos buscando los puntos críticos de f(, ); f(,) 6 0 (3 ) f(,) (3 4) Puesto que las derivadas parciales primeras están definidas son continuas, para todo (,)R. Los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales primeras son nulas ,0, 0,,,0,, f f 0 H(,) f f 0 8 Por tanto: 0 H(0,0) 6 0 (0, 0, 0) es un punto de silla f 4 64 H(0, ) ,, es un máimo relativo f H(,0) 6 0 0,0, es un mínimo relativo H(, ) 6 0,, es un punto de silla U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 6

7 .- Sea la función ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía Prueba de Evaluación Continua Grupo ºB 30-Octubre-04 f (, ) cos( 0 ) si 0. Se pide: si = 0 a) Raonar si esta función es continua en el punto (0,0). b) Hallar, si eisten, las derivadas parciales f ' 0,0 0,0 f '. Límites radiales m a) lim f(, ) lim cos( m ) lim m m (, ) (0,0) 0 0 m Los límites radiales depende de m, luego, no eiste el continua en (0, 0). lim f (, ). Por tanto, f no es (, ) (0,0) f(h,0) f(0,0) 00 f (0,0) lim lim lim 0 0 h h f(0, k) f(0,0) 0 0 f (0,0) lim lim lim 0 0 k0 k k0 k k0 b) h0 h0 h0.- a) Hallar la derivada direccional de en el punto P(,0), según la dirección del vector u (, ) : a ) Aplicando la definición. a ) Mediante la diferencial. b) Raonar si es creciente o decreciente en P en la dirección de u. c) Cuál es la dirección de máimo crecimiento de en el punto (, 0)? a) a ) u, u f, 0, f, 0 f (, 0) lim lim, 0 f 0 0 u lim lim lim a ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 7

8 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía f u (0,) f (,0) u u f '(, ) f '(,0) 0 f (, 0) (0,), f ' (, ) ' (,0) f u f (, 0) 0 u b) Por ser la derivada direccional negativa la función es decreciente en P en la dirección de u. c) La dirección de máimo crecimiento de en el punto (,0) viene dada por: f (, 0) (0, ) 3.- Dada la superficie e 3 0. Se pide: a) Hallar la curva de nivel correspondiente a =. Qué tipo de curva es? b) Hallar el plano tangente la recta normal a la superficie en P(, ). c) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la función, al pasar del punto P (,) al punto (.0,.98). F(,, ) e 3 0; 3 0 ln3 a) e Es una hipérbola de Centro (0, 0). b) Sustituendo en la función los valores de e obtenemos la : 3 = 0, luega = 3. F(P)( ) F(P)() F(P)( ) F e F (,) 34 F e F (,) F e F (,) Plano tangente: (-)-(-)+(-3)= Recta normal: pues n (,,) es perpendicular al plano 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 8

9 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía tangente en (,) c) f (,) df (,) f (,) f (,) F (,) f(,) F (,) F (,) f (,) F (,) f (, ) ( ) 0.0 ( 0.0) Calcular los etremos absolutos de la función f(, ) = con la condición g(, ) = + 6 = 0 utiliando multiplicadores de Lagrange. Consideremos la función auiliar L(, ) = ( + 6) = 0. Calculamos los valores, que anulan las primeras derivadas parciales L 6 60 L L 6 0 Sustituendo e en la tercera ecuación se obtiene: , Son puntos críticos, si ;, si Para f, 5 5, por tanto, el punto,, 5 es un mínimo Para f, 55 5, por tanto, el punto,, es un máimo 5.- Encontrar los etremos relativos de la función f(, ) = Comenamos buscando los puntos críticos de f(, ); f(,) f(,) 3 4; 4 4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 9

10 ETSI de Topografía, Geodesia Cartografía Puesto que están definidas son continuas, para todo (, )R. Los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales primeras son nulas f f 6 4 H(,) H(0,0) = - 6 < 0, por tanto (0, 0, ) es un punto de f f 4 4 silla. 4 4 f, H, , concluimos que relativo f,, es un máimo U. D. de Matemáticas de la ETSITGC MÉTODOS MATEMÁTICOS 0

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