Métodos Numéricos Cap 3: Resolución de ecuaciones no lineales

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1 /9 Grficció Solució de Ecucioes o lieles Ej: *cos(^ = fplot('(*cos(^',[,] 5 5 Ecotrr ríces o ceros de f( e u itervlo ddo, es decir ecotrr / f( = co [, ] e [-5, 5], = e [, -5], =-533 e [5, ], 3 = Es posile siempre despejr? - Se puede implemetr culquier despeje e u progrm de computció? ezplot ('*cos(^,[,] fplot(@fu,[,] fuctio y=fu(; y=*cos(^; Métodos Numéricos pr l Solució de Ecucioes o lieles U úmero α se dice ríz o cero de l ecució f( si f (α = Los métodos uméricos pr ecotrr u ríz de u ecució f(, so métodos itertivos que geerrá u sucesió { }, =,,3, tl que: lim = α = vlor iicil = m(, siedo m( u fució correspodiete u método umérico = m( -, - α < - - α < - α < < - α er Criterio de proimció Si l fució f es cotiu lrededor de α, e u itervlo que cotiee l sucesió, =,, etoces, pr lgú úmero positivo eiste tl que f( < Ddo u úmero > y decudmete pequeño, que llmremos tolerci, podemos escoger como proimció l ríz α u térmio de l sucesió meciod, dode es el meor etero positivo que stisfce: f( < y=f( Últim ctulizció: 8/8/3

2 /9 do Criterio de proimció lim = α ddo >, decudmete pequeño, tl que - α < El térmio de l sucesió meciod puede ser cosiderdo u proimció l ríz, dode es el meor etero positivo que cumple l codició Como α es descoocid, podemos sumir que: + - = + - α + α α + - α < + < - < ó - / < error soluto error reltivo - - y idic el úmero de iterció y=f( X X X X Covergeci f( < α = 5 5 -α >> El hecho de que f( < ó - < o ecesrimete idic que esté muy cerc de α - 9 Además, pr grtizr que u sucesió coverge l ríz uscd, l fució f deerá stisfcer cierts codicioes que evitr u sucesió divergete L covergeci puede ser "muy let", por lo cul se hce ecesrio estlecer u cot pr, es decir, impoer u máimo úmero de itercioes 5-5 -α < f( >> α= Algoritmos itertivos fuctio = metodo m_iter, tolf, tol ( = ; for i =:m_iter ed (i+ = m ((i; if s (fevl (@fu, (i+ tolf & s ( (i+ - (i tol retur, ed fevl (f,,,, : Evlú l fució f que utiliz los rgumetos,,,, f dee ser defiid como fuctio Equivlete evlur f(,,, Ej: fevl( sqrt,5 ó fevl(@sqrt,5, evlú sqrt(5 evl (f : Evlú l fució f, l cul es u comdo e form de strig Ej: evl ( +6*^ si está defiid er Criterio do Criterio %Puede cosiderrse u sol codició % dode metodo es el omre de lgú método y m es l fució de iterció correspoiete Métodos cerrdos Los métodos uméricos pr ecotrr l ríz de u ecució se deomi cerrdos cudo ecesit coocer u itervlo que ecierre l ríz Si f es u fució cotiu e u itervlo [,], y f( * f( < Etoces, por el teorem del vlor medio pr fucioes cotius (teorem de Bolzo, eiste l meos u α [,] / f (α = A los fies de l plicció de los métodos uméricos, deerímos cosiderr que l ríz e el itervlo es úic, y que ecuetr u úic ríz Últim ctulizció: 8/8/3

3 3/9 Método de Bisecció Proceso método isecció Cosiste e dividir sucesivmete el itervlo [,] por l mitd, hst que l logitud del su-itervlo que cotiee l ríz α se meor que lgu tolerci especificd f( f(i f( y X =[,] i * α f( f( < f( > Si - > i = (+/ Si f( i > = i Siguiete iterció sio = i Siguiete iterció sio fi f( = cos(+- fplot('cos(+-',[ ] (+/ Resultdos = = =5 = 5 = 375 = 35 = 83 = 969 = 89 = 85 = 83 Vetjs: Vetjs y desvetjs del método de isecció El error = α -, se cot fácilmete y que α - (- /, previedo l ctidd de itercioes ecesris, ( log (- - log ( / log ( Siempre coverge Es útil pr cotr el itervlo e que se ecuetr l ríz Desvetjs co respecto otros métodos: No tiee e cuet l mgitud de los vlores de l fució e ls proimcioes clculds, sólo tiee e cuet el sigo de f(, lo que hce que ues proimcioes itermedis pse desperciids Su covergeci es muy let Método de Posició Fls (o Regul Flsi L proimció l ríz α es el puto de itersecció de l rect que ps por los putos (,f( y (,f( co el eje f( f(i f( y ( f ( = f( + ( f ( f (, Si f(i = ( i Ec de l rect que ps por (,f( y (,f( * α f( Al reemplzr l curv por u rect se otiee u "posició fls" de l ríz Tmié se le cooce como método de Iterpolció Liel Ivers ( * f ( * f( * f( i = = f ( f( f ( f ( Últim ctulizció: 8/8/3

4 4/9 Proceso método regul flsi o Iterpolció Liel Ivers Vetjs y desvetjs del método de regul flsi f( = cos( Resultdos =, = 3 = 378 = 649 = 857 = 834 = 834 Vetj Coverge más rápido que isecció Desvetj, co respecto l método de Bisecció L logitud del su-itervlo que cotiee l ríz e geerl o tiede cero, porque l myorí de ls gráfics de ls fucioes so cócvs e l vecidd de l ríz, lo que hce que uo de los etremos de los su-itervlos se proime l ríz, mietrs el otro permece fijo No se puede prever el úmero de itercioes ecesris Comdo fzero de Mtl Comi l cofiilidd de isecció co l velocidd de covergeci de l iterpolció lier ivers y l iterpolció cudrátic ivers [ X, FVAL, EXITFLAG] = FZERO ( FUN, X, OPTIONS, P, P, X Ultim proimció l ríz FVAL Fució evlud e X EXITFLAG > Idic que ecotró l ríz, < o FUN Fució e líe o llmd u fució (@ X - Si es u esclr, usc u itervlo válido lrededor de X - Si es u vector de vlores, los cosider como etremos del itervlo que cotiee l ríz OPTIONS Opcioes Optimset ('disp','iter' muestr resultdos y detlle de ls itercioes Prolems de los métodos cerrdos Necesidd de coocer dos vlores iiciles que ecierre l ríz E los etremos del itervlo l fució dee teer sigos opuestos No permite ecotrr ríces que correspode l máimo o míimo de u fució E el itervlo puede eistir más de u ríz (ro impr Difícil de diferecir etre dos ríces muy cercs Deido errores de redodeo, prticulrmete cudo se está cerc de l ríz, puede cmir el sigo de f( Necesit de muchs itercioes hst llegr l precisió desed Últim ctulizció: 8/8/3

5 5/9 Métodos iertos Los métodos iertos requiere de u solo vlor iicil (o de u itervlo Como o hy u itervlo que ecierre l ríz; lgus veces ls sucesioes geerds por estos métodos so divergetes (codicioes de covergeci Se puede lejr de l ríz de iterés (v prolemete otr ríz Tiee l vetj que cudo coverge lo hce "más rápidmete" que ls sucesioes geerds por los métodos cerrdos Necesidd de iterveció del usurio (o de procesmieto simólico pr despejes y cálculo de derivds Método del puto fijo o de ls proimcioes sucesivs Dd u ecució f( =, si se puede trsformr e otr equivlete (l meos loclmete del tipo = g( pr lgu fució g( Si α es ríz de f( f(α = α = g(α U úmero α tl que α = g(α se dice u puto fijo de l fució g( Y α º º f(=+cos( y= g(=-cos( X Teorem del puto fijo Si g( es u fució cotiu e [, ] y g( [, ] pr todo [, ], etoces g( tiee por lo meos u puto fijo e [, ] Si demás, g ( eiste pr todo [, ] y g ( K < pr todo [, ], K costte, etoces g( tiee u úico puto fijo α e [, ] El método de puto fijo pr ecotrr u ríz α de l ecució = g(, cosiste e geerr u sucesió { } que se defie medite l fórmul de iterció: = g( -, que coverge α culquier se [, ] L fució g( se deomi fució de iterció de puto fijo Criterio de Covergeci del Método del puto fijo Por teorem del vlor medio (Lgrge Ddo u itervlo [ i, i- ], eiste l meos u puto e el que l tgete l fució es prlel l secte que ue los putos ( i, g( i ( i-, g( i- g( i - g( i- = g (ξ( i - i- ξ [ i, i- ] 5 Por teorem del puto fijo = g( - i+ - i = g (ξ( i - i- i+ - i = g (ξ i - i- -5 supoiedo g (ξ cotd, g (ξ K - K< g (ξ < -5 - K K - K (K - K K 3 - K (K - K 3 - i+ - i K i - y pr que i+ - i dee K i i = α ii = α iii = α pr cd g (ξ ξ g( o l( - l( - K, pr cd l(k l( - l(m K m{, }, pr cd l(k K K m, co K = m(g' ( e [,] Últim ctulizció: 8/8/3

6 6/9 Y α º º f(=+cos( y= g(=-cos( X Covergeci del Método del puto fijo 3 4 Ejemplos Covergeci del Método del puto fijo g ( < Coverge g ( > - Coverge g ( < g ( < Diverge g ( > Depede del vlor iicil Ejemplo f( = cos(+- = cos(+ =5, tol = 6 4 g'( f( -4 4 Resultdos f (39 = 79? g (57= - α =834 g( Orde de Covergeci de puto fijo L mgitud de g ( o sólo idic si el método coverge, sio tmié l rpidez co que lo hce, lo cul se cooce como orde de covergeci 3 ( i i ( i i g( i = g( i + g '( i ( i i + g ''( i + g '''( i + L! 3! es decir 3 ( i i ( i i g( i g( i = g '( i ( i i + g ''( i + g '''( i + L! 3! como = g(, = g( y E = i + i i i i + i + 3 ( i i ( i i i + i = g '( i ( i i + g ''( i + g '''( i + L! 3! 3 Ei Ei Ei + = g '( i Ei + g ''( i + g '''( i + L! 3! Si g ( covergeci liel O(h Si g (, g ( covergeci cudrátic O(h i Últim ctulizció: 8/8/3

7 7/9 Vetjs y desvetjs del método de puto fijo Vetjs: Simple Posee codicioes pr segurr l covergeci Es codició ecesri que g'( < e cercís de l ríz Desvetjs: L covergeci depede de l mgitud de g ( Necesidd de costruir fucioes g( pr iterr Puede eistir diverss g(, ecesidd de ecotrr l decud Se puede empler u método sistemático pr costruir ls fucioes g( = - λ f( co λ = / m ( f '( e [,] Método de Newto-Rphso Dd u fució f que stisfce l hipótesis geerl e u itervlo [, ] y u vlor iicil [, ] "cerco" l ríz El método de Newto-Rphso cosiste es trzr u rect tgete f que pse por el puto (, f(, cosiderdo u proimció l ríz l puto e el cul dich rect tgete cort l eje, es decir el puto (, se tiee que f( f' ( o = y e geerl, pr cd f( = f' ( f( = f' ( f( f( y t( θ = f ( ' Método de Newto θ α f ( = * f( = Usdo poliomios de Tylor: Se [, ] co -α "pequeño" f(α=f(+f ((-α+f (ξ(-α /! Si f(α = = α f( / f ( error = f (ξ(-α /! (covergeci cudrátic O(h f ( ' f ( El método de Newto-Rphso es u cso especil del método de iterció de Puto Fijo, co g( = - f( / f ( Covergeci del Método Newto El método de Newto-Rphso coverge como: = f( f' ( cudo más grde se f ( e l vecidd de l ríz α, "más rápid será l ccovergeci Codicioes suficietes pr preveir divergeci f ( e todo [,] f ( > ó < e todo [,] f(h / f (h -, h = / f ( f (= mi {f (,f (} Últim ctulizció: 8/8/3

8 8/9 Velocidd de covergeci e ríces múltiples Orde de u ríz: Si f( y sus derivds f ( f (M ( está defiids y so cotius e u itervlo [,] que cotiee l ríz α f( tiee u ríz de orde M e α si f(α =, f (α =,, f (M- (α = y f (M (α f( = ( - α M h( co h( Fórmul de iterció de Newto celerd pr ríces múltiples: M * f( = f '( Vetjs y desvetjs del método de Newto Vetjs: Covergeci rápid El método de Newto coverge cudrticmete pr ríces simples y lielmete pr ríces múltiples Ecuetr ríces complejs (el vlor iicil dee ser complejo Desvetjs: Necesit clculr l derivd (Método de l secte No se puede prever l ctidd de itercioes prtir de u cot de error No siempre coverge (No se puede segurr l covergeci si e [,], f ( =, f ( cmi de sigo, l tgete ce fuer del itervlo Método de l secte El método de Newto-Rphso pr proimr u ríz simple α de u ecució f( =, cosiste e geerr l sucesió { } prtir de l fórmul de iterció y f( = f'( f( Reemplzdo f ( por su pro α f( f( f'( = * f( Se otiee f( ( f( = f( f( que es l fórmul de iterció del método de l secte E este método se ecesit dos vlores iiciles, que o ecesrimete ecierr l ríz f( Covergeci del Método de l secte L fórmul de iterció coicide co el método de l Regl Fls E el método de l Regl Fls los dos putos dee ecerrr l ríz uscd y el método siempre coverge E el método de l Secte los dos putos iiciles o ecesrimete ecierr l ríz uscd lo que puede provocr divergeci del método Últim ctulizció: 8/8/3

9 9/9 Ríces de Poliomios Todo poliomio de grdo, tiee ríces, ls cules puede ser reles o complejs, ls ríces complejs siempre se preset como u pr de ríces cojugds Ls ríces reles puede ser múltiples Método más decudo: Newto, l derivd de u poliomio es fácil de oteer Todos los métodos vistos permite clculr u sol ríz por vez Mtl clcul simultáemete tods ls ríces de u poliomio co l fució roots([, -,, ] l cul clcul los utovlores de l mtriz compñer L = dig (oes(,,- (,: = -c(: / c( eig ( O M Eficieci de los métodos Los métodos uméricos pr hllr u ríz α de u ecució f(= cosiste e geerr u sucesió { } tl que lim = α L eficieci cd método umérico depede de: Codicioes de covergeci: L crcterístic de l ecució e cercís l ríz codicio l eficci del método Orde de covergeci: Velocidd de covergeci co l cul l sucesió { } coverge α, O(h m Número míimo de itercioes ecesris pr que -α < pr lgú > ddo Ctidd de opercioes relizds e cd iterció Últim ctulizció: 8/8/3