SOLUCIONARI Unitat 11
|
|
- María del Rosario Duarte Cordero
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 SOLUCIONARI Unitat 11 Comencem Dóna la intepetació geomètica de les solucions dels sistemes següents: a) b) Execicis ì3x + y - z x - y + 5z = - îx + y = 3 Resolem el sistema: ang M = ang M' = 3 i el sistema és compatible deteminat i la solució (1, 1, 7) coespon a les coodinades d'un punt. Els tes plans son concoents en un punt. ì4x - y + z = 3 5x + 3z î - 3x + y - z = - 5 Rang M = ang M' = i el sistema és compatible indeteminat. Els tes plans tenen una ecta en comú l'equació de la qual es pot dona amb el sistema fomat pe les equacions de dos dels tes plans. 1. Dos plans o són paal lels o són secants. Considea els plans d equacions: p 1 : x + 3y + z = p : x + ky 4z = Raona si poden se paal lels pe a algun valo de k. 3 1 Condició de paal lelisme: = = que no -1 k -4 1 es veifica ja que ¹ independement del 1-4 valo de k: els dos plans no poden se paal lels pe cap valo de k.. Detemina m i n pe tal que els dos plans siguin paal lels. p 1 : 6x my + 4z = 9 p : 9x 3y + nz = n Condició de paal lelisme: 6 -m 4-9 = = ¹ m = i n = n n McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. Pe aquests valos els dos plans són paal lels no coincidents. 3. Estudia la posició elativa dels tes plans: p 1 : x + y + z p : x y + z p 3 : x + y z Estudiem els angs: ang M = i ang M' = 3. El sistema és incompatible, peò els plans no són paal lels, pe tant, són secants dos a dos. 4. Considea els plans d equacions: x + y z = i x y + 3z =. Justifica que són secants. Esciu l equació d un tece pla que passi pe la ecta que deteminen aquests dos. És únic aquest pla? Raona la teva esposta. Els dos plans no són paal lels ja que = ¹, pe tant, són secants. La ecta intesecció és: x + y - z = -1ü : ý y =-3-l î-x - y + 3z = þ z =-1 Qualsevol combinació lineal de les dues equacions és un pla que conté aquesta ecta, pe tant, aquest pla no és únic. 5. Toba la intesecció de la ecta deteminada pels punts P(1,, 1) i Q(1, 6, ) i el pla d equació: x y + 3z = Equació de la ecta PQ: y = + 4 l -l Intesecció: y = + 4 l Punt: (1,, 1) z -l îx - y + 3z = 6. Estudia la posició elativa de la ecta: = 3l : y + l = 5 i el pla d equació x 3y + z =. Matemàtiques. Batxilleat 13
2 Intesecció: = 3l y +l z = 5 îx - 3y + z = ¹ indica que el sistema és incompatible. La ecta i el pla són paal lels. 7. Detemina quina és la posició elativa del pla d equació 3x y + z = 3 i la ecta d equació: Recta en paamètiques: Intesecció amb el pla: pe substitució: 31 ( + 3l) - l+ (- 3+l ) = 3 l / Són secants i el punt d'intesecció: + z = 3 8. Considea la ecta : i estudia la posició elativa especte del pla d e- î3x + y - 1= quació: x + 8y 5z + 6 = Podem considea el sistema fomat pe les tes equacions: + z = 3 3x + y - 1= îx + 8y - 5z + 6 = 3l-3-3l+ 5 = x - 1 y = = z ang M = ang M = 3 El sistema és compatible deteminat: la ecta i el pla són secants. 9. Compova que les ectes i s són secants i esciu l equació geneal del pla que les conté. = l x + 3 y z- : y - l s: = = -3 = Les ectes no són paal leles: + 3l y = l =- 3 +l ( 4, - 1, ) ¹ l(, -3,) uuu æ5 5 ç,1, - è ø Consideem aquests dos vectos i un tece PQ fomat amb un punt de cada ecta: PQ uuu = McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. = (4, 1, ) que és el mateix que el vecto diecto de la pimea ecta, pe tant els tes vectos estan en un mateix pla i són secants. L'equació del pla: 1. Detemina la posició elativa de les ectes i s en cada cas: a) b) x y = x + 4y + 5z - 7 = z - - z + 1= ì x- 5z= 4 : s: îy + 3z = î y - 4z+ 3= =- 1+l : y = - 3 l No són paal leles: (1, 3, 1) ¹ k (5, 4, 1) uuu Det ( uvpq,, )= ¹ les ectes 1 1 s enceuen. ìx + z = 9 ì x + y = : s: îy î- x+ y + z= 5 =m y = m : y s: 5 3l = 9-l z = + î vecto = 4+ 5m s: y = m =m uuu PQ = ( 5, -5,) uuu æ -13 PQ = ç, -1, è ø 1 1 uuu -1-1 Det ( uvpq,, ) = ¹ ectes s enceuen. les 11. Toba la posició elativa de les ectes, deteminada pels punts P(1, 1, ) i Q(, 3, 1), i s, paal lela a l eix OX i que passa pel punt R(, 1, 3). Vecto diecto de la ecta : = ( 3, 4, 1); vecto diecto de la ecta s: = (1,, ). No són paal leles. Vecto PR uuu v u = ( 1,, 3) Matemàtiques. Batxilleat 14
3 ( ) uuu det uvpr,, = 4 ¹ i s s en- 1-3 ceuen. 1. Esciu l equació del pla que deteminen les ectes ì x = 3l 5 : y = - + l 1 z - l î i la que té de diecció el vecto u = (6,, 1) i passa pe l oigen de coodenades. Vecto diecto de : æ -1 æ -1 v = ç 3, 1, ç 3, 1, = (6,, - 1) = u. è ø è ø Les ectes són paal leles. Els dos vectos no poden se oientados del pla. En penem un, el u i el fomat pe un punt de cada ecta: æ -5 ç,, 1. è ø x y z = x + 1y - 3z = 13. Veifica que les ectes i s són coplanàies. Són paal leles? Si no és aix, toba el punt d intesecció. ì x = + m : y = + l s: y z 1 l î = + î z+ m Vecto diecto de : = (, 1, 1), vecto diecto de s: u v = (1,, 1). v ¹ ku i les ectes no són paal leles. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. 1= +mü Intesecció +lý l=m=- 1 1+l= 1+m þ Punt: (1, 1, ) 14. Considea els vectos u, v i PR uuu de l execici 11 i estableix la elació que puguis toba ente ells. Els tes vectos ja han estat consideats en l execici 11. Els tes vectos són linealment independents. 15. Compova que els tes plans que confomen els tes eixos de coodenades catesianes són pependiculas dos a dos. Els tes plans tenen de vectos associats espectivament els tes eixos de coodenades: 1 = (1,, ); = (, 1, ) i e e e3 = (,, 1) Dos a dos són pependiculas tal com es compova amb el poducte escala: 1 = ; 1 3 = i e e e e e e3 = 16. Toba k pe tal que les dues ectes i s siguin pependiculas. Hi ha algun valo de k pe tal que aquestes ectes siguin secants? - l y + 3 z- 1 : y = 3 l s: x= = -1 k = l Condició de pependiculaitat: poducte escala dels dos vectos diectos nul: ( 1, 3, 1) (1, 1, k) = k = k = Considea el pla p d equacions paamètiques: = 3 - l p : y = l- m = m Condició de secants: 1-l=m ü l=- 3l=-3-mý m=-3-1+l + km -4 þ k k = 3 Toba l equació de la ecta pependicula a p que passa pe l oigen de coodenades. El vecto associat al pla és el vecto diecto de la ecta pependicula al pla. x -3-1 y 1-1 = -x - y + z + 6 = z - u n = v = -,-,1 Equació de la ecta: ( ) =-l y =- l 18. Toba l equació del pla mitjane del segment deteminat pels punts P(1, 3, ) i Q( 1, 5, ). Matemàtiques. Batxilleat 15
4 Pe pla mitjane s entén el pependicula al segment pel seu punt mitjà. uuu Punt mitjà: (, 4, 1); vecto PQ = (,, ) = n x + y z + D = conté el punt (, 4, 1): D = D = 1 x + y z 1 = x + y z 5 = 19. Toba el peu de la pependicula taçada pel punt P (1, 1, ) al pla d equació: x y + 3z = El peu de la pependicula és la intesecció de la ecta i el pla: P +l ecta: y =- 1 -l î z = 3 l Punt: æ P ': ç,, è ø. Toba la pojecció otogonal de l oigen de coodenades sobe la ecta d equacions: Pla pependicula a la ecta pe l oigen i la seva intesecció amb la ecta és la pojecció otogonal. ecta: - 1+l+ 1+l+ 9l=- l= 4 11 y =- 1 +l =- +l pla: x + y + z = Pojecció de l oigen: l- 1+l- +l= l= 1 O : (1,, 1) - y îx - z = 1. Calcula les coodenades del punt simètic del punt P(5,, 1), especte de la ecta : y z x - 1 = = - 1 El punt P i el seu simètic P deteminen un segment en el que el punt mitjà P és la pojecció de P sobe. La pojecció és el punt intesecció del pla pependicula a pe P i la ecta : x + y z + D = pe P(5,, 1) D = 6 x + y z 6 = McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. 5 æ l+ 1+ l+l- 6 = l= P ': ç,, 6 è ø æ 41 el simètic P : -,, - ç è ø - y z. Donada la ecta : x - 1 = = i el pla - p: x y + z + 3 =, toba les equacions de la ecta pojecció otogonal de la ecta sobe p. La ecta és la intesecció del pla p amb el pla pependicula a ell que conté la ecta. Equació d'aquest pla: x y = x + y - 4 = z - 1 ìx + y - 4 = ': îx - y + z + 3 = 3. Toba l equació del pla que passa pel punt intesecció dels plans: p 1 : x + y z 5 = p : x 3z + 1 = p 3 : x + y z = 1 i és paal lel al pla x + y + z =. Resolde el sistema pe toba el punt: x + y - z = 5 ü æ 5-3 x - 3z = -1ý Pç -1,, è 3 3 ø x + y - z = -1 þ Pla paal lel: 5 3 x + y + z + D = D = 3 3 D 8 x + y + z + 18 = 4. Esbina la posició elativa dels plans: x + y z + = i x 3y z = 1 Si es tallen, toba l equació de la ecta paal lela a la seva intesecció, que passa pel punt P(, 1, 1). Els plans no són paal lels, són secants: x =-1-4l ìx + y - z + = ü : ý y îx -3y - z = -1 þ z =-7l v = -4,1, -7 ( ) Recta paal lela pe P(, 1, 1) (x, y, z) = = (, 1, 1) + l ( 4, 1, 7) Matemàtiques. Batxilleat 16
5 5. Considea el pla x + y + z = 3 i la ecta, Digues si la ecta talla el pla en un punt, si està continguda en el pla, o bé si la ecta i el pla són paal lels. La ecta en paamètiques: ì 31+ l x = 4 : 7-6l y = 4 æ1-3 vecto diecto: v = ç,,1 è ø vecto associat al pla: u = (1, 1, 1) v n = la ecta i el pla són paal lels. 6. Detemina l equació de la ecta que passa pel punt P(1,, ), és paal lela al pla d equació 3x y + z = i talla la ecta: El vecto diecto v de la ecta està deteminat pe P i un punt abitai de la ecta donada: x ü + y - z = ü y =--4lý : ý - + = - z = --3l îx y z þ þ v = ( l-1, -4-4 l, - -3 l) La condició de paal lelisme amb el pla és: u n v = ( 3, - 1,1 ) ( l-1, -4-4 l, - -3l) = l 4 æ-3-11 v = ç,-5, è 4 4 ø Equació de la ecta: æ-3-11,,,, + ç,-5, l è 4 4 ø ( xyz) ( ) - y - z = 6 î - x + 5y + 8z + y - z = îx - y + z = - 7. Detemina quina és l equació del pla que x + 1 y - conté la ecta = = z és paal lel al 3 vecto d extems P(4,, 1) i Q(,, 1) i passa pe P. Els vecto oientados del pla son uuu el vecto diecto de la ecta: v = (3,, 1) i el PQ = ( 4,, ) i passa pe P. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. x y = 3x -y -7z - 5 = z Considea les ectes: on a és un nombe eal. Compova que les dues ectes es tallen pe a qualsevol valo de a. Toba a, si és possible, pe tal que les dues ectes siguin pependiculas. Tobem la intesecció de les dues ectes: x =m + y = ü ý y =-m î x - z = þ z = m ìm = +l -m = - + al m= +l î La solució del sistema indica que les ectes es tallen pe a qualsevol valo de a. Les ectes sean pependiculas si: ( )( a ) 1, - 1, 1,,1 = a + Acabem ì x + y = î x - z = ( x, y, z) = (, -,) + l(1, a,1) 1. Detemina l equació del pla que passa pe P(1,, 1) i conté la ecta intesecció dels plans: p: x y + z = 3 i el pla YZ Recta intesecció: m= l= x = - y + z = 3ü ý y v = î x = þ z = 3+ l (,1, ) P(1,, 1) i el punt de la ecta (,, 3) donen: u = (1,, ) Equació del pla amb v, u i P: x -1 1 y - 1 = 6x - y + z - 3 = z -1 - Matemàtiques. Batxilleat 17
6 . Estudia la posició elativa de la ecta: i el pla p: 3x + y z = 3. =- + 3l Recta en paamètiques: y = l = 3 + l Substituim en l equació del pla: 3( + 3l) + + l (3 + l) = 3 6 l=. La ecta i el pla són secants. El punt d intesecció és: P æ ç -,, è ø. 3. Considea les ectes: = z x - 1 z- 1 : i ': = y - 1 = îy a on a és una constant. Compova que aquestes dues ectes són secants pe a qualsevol valo de a i detemina el valo de a pe tal que siguin pependiculas. Al considea y en la ecta ', s obté x i z pe a qualsevol valo de a. Les ectes són secants i es tallen en el punt (1, 1, 1). Pe se pependiculas: (1,, 1) (, 1, a) = a = 4. Compova que les ectes: z 5 : x - 1 = y = z- i s: - = î y - z = són paal leles i esciu l equació del pla que les conté. Vecto diecto de : = (1, 1, 1). Vecto diecto de la ecta s: u v = (1, 1, 1). Pe tant, són paal leles. Pe l equació del pla cal un vecto deteminat pe uuuu un punt de cada ecta: P(1,, ) i P (5,, ) PP ' = (4,, ) x y 1 z x + y z- 3 : = = 3 = - x + 3y - z + 4 = 5. Esciu l equació de la ecta que passa pe l oigen de coodenades i és paal lela a la ecta: McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. Cal toba l expessió de la ecta en paamètiques tot esolent el sistema: ì3x - y + 3z = 5 ì3x - y + 3z = 5 î4x - y + z = 7 î- 5x+ z = -9 y = l = l Recta paal lela pe l oigen: 6. Sigui la ecta d equacions: vecto diecto: v = (1, 9, 5) toba l equació catesiana del pla que conté la ecta i és pependicula al pla y =. Un dels vectos oientados del pla és el vecto associat del pla pependicula: n = (, 1, ). L alte vecto i el punt els tobem en la ecta. + y - z = : y = v,,1 îx + y - z = 7. Toba les equacions de la ecta que passa pel punt P( 1,, ) i és paal lela als plans: p 1 : x y z + 1 = i p : x + 3y + z = 5 La ecta és paal lela a la intesecció dels dos plans: 1 3 ì x -y - z + = y = - l îx + 3y + z = 5 7 z =- 1 + l î æ 3 7 v = ç 1, -, è ø Equació de la ecta paal lela: æ -3 7,, = - 1,, + ç 1,, l è ø ( xyz) ( ) 8. Considea l equació: ì3x - y + 3z = 5 î4x - y + z = 7 + y - z = îx + y - z = x y z 1 ( xyz,,) ( 1,9,5) ( ) 1 = - x + z = 1 (x + y + z) + (3x y + z 1) = Matemàtiques. Batxilleat 18
7 Raona i dóna una intepetació geomètica dels punts P(x, y, z) que veifiquen aquesta equació. No cal desenvolupa els quadats. L equació consta d una suma de dos quadats que és. Només pot se aquest valo si es veifica. el que equival a la intesecció de dos plans no paal lels, pe tant, els punts P(x, y, z) són de la ecta intesecció. 9. Calcula els valos de m i n pe tal que el pla: contingui la ecta: p: nx + my z = Es tien dos punts qualssevol de la ecta, pe exemple: P(, 3, 4) i R(3, 3, 1) que han de se del pla: 3m 4 = m = 3n + 3m 1 = n = 3 1. Toba l equació de la ecta pojecció otogonal de: sobe el pla d equació: x + y z + 6 = La pojecció otogonal de sobe el pla, és la intesecció d'aquest pla amb el pla que conté la ecta i és pependicula al pla donat. = l - y + 5z = 9 : : y = l î- x + 3y + z + 3 = x y = - 13x + 19y + 1z + 1 = z 1-1 La ecta pojecció és: + y + z = î3x - y + z - 1= ìx - y - 3= : îx + z = 4 - y + 5z = 9 : î - x + 3y + z + 3 = ìx + y - z + 6 = ': î - 13x + 19y + 1z + 1 = 11. Esciu l equació del pla pependicula a la ecta que passa pels punts P(, 1, 3) i Q( 3, 1, ) i que conté el punt mitjà del segment PQ. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. uuu Vecto associat al pla: PQ = ( 5,, 5) æ 1 1 Punt mitjà del segment PQ: ç -,, è ø 5x + y 5z + D = æ-1 1-5ç D = D = è ø 5x + y 5z = 1. Considea una ecta d equacions: ìax + By + Cz + D = : îax ' + By ' + Cz ' + D' = i el pla p d equació A x + B y + C z + D = Digues què significa geomèticament que el sistema que s obté consideant les tes equacions sigui incompatible. Digues què significa geomèticament que aquest sistema sigui compatible deteminat o indeteminat. Si el sistema fomat pe les tes equacions és incompatible, la ecta i el pla són paal lels. Si el sistema és compatible deteminat, el pla i la ecta són secants, tenen un punt en comú. Si el sistema és compatible indeteminat, la ecta està continguda en el pla. 13. Detemina si la ecta x - 3 y - 1 z + 1 = = i el -3 5 pla 3x + y + 5 = són paal lels. Es toba la ecta continguda en el pla? Si la ecta és paal lela al pla, el vecto diecto v ha de se pependicula al vecto n associat al pla. Compovem-ho: v n = (, 3, 5) (3,, ) = 6 6 = Són paal lels. La ecta està continguda en el pla si, en aquest cas, qualsevol punt de la ecta és del pla: P(3, 1, 1) ¹ la ecta no està continguda en el pla. 14. Considea la ecta que té com a equacions: = 3 + l : y = 4+ l = 6 + l i la, que té com a equacions: y - 1 z - 1 x - 1 = =. Compova que les dues ectes s enceuen. Dóna les coodenades d un punt P de i un punt Q de que veifi- Matemàtiques. Batxilleat 19
8 quin la condició que la ecta PQ sigui la pependicula comuna a i a. Esbinem el valo del deteminant uuuu fomat pels vectos diectos v i u i el PQ = (, 3, 5) Punts abitais de cada ecta: Condició de pependiculaitat: uuu v PQ = - +m-l- 3 + m-l- 5 + m-l= ü uuu ý u PQ = - +m-l- 6+ 4m-l m-l= þ m= i l= Els punts són: P (3, 4, 6) i Q (3, 5, 5) 15. Donada la ecta: =- ¹ les ectes s enceuen. 1-5 ( ) ( ) P 3 +l,4 +l,6 +l, Q 1 +m,1+ m,1+ m uuu PQ = (- +m-l-, 3+ m-l-, 5+ m-l) ì x + ( a- 5) y - z = 3a- 13 : îay - z = 3a detemina a pe tal que existeixi un pla que contingui aquesta ecta i que sigui pependicula al vecto v (1, 1, 1). Esciu l equació catesiana d aquest pla. Qualsevol pla que sigui pependicula al vecto v és de la foma: x + y + z + D =. Si estem les dues equacions que donen la ecta, obtenim: x 5y = 13 independent de a. Ssubstitum en el pla qualsevol punt que veifiqui aquesta condició i obtenim difeents plans paal lels. Si substituim el punt (1, 3, ) tenim el pla x + y + z 4 =. 16. Detemina k pe tal que existeixi un pla que contingui la ecta: - y - 6z : î x - y - 3 z = 6 i que sigui pependicula al vecto ( 6, 8, k). El vecto diecto de la ecta cal que sigui pependicula al ( 6, 8, k) = 5+ 3l -y - 6z 3 æ -3 y = - l v = 3,,1 x y 3z 6 ç î - - = è ø æ -3 ç 3,,1 ( - 6,8, k) = k = k = 3 è ø McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. 6x + 8y + 3z + D = pel punt de la ecta (5,, ): 6x + 8y + 3z + 14 = 3x + 4y + 15z + 7 = 17. Discuteix la posició elativa dels plans: p 1 : ax + y + az = æ 1 p : (a + 3)x + ç y + z è a ø segons els valos de a ¹. Els plans són paal lels o secants. Condició de paal lelisme: a 1 = = a a = a = a a+ 3 1/ a a + 3 a + 3a = a a + a = a = i a = La solució es a = ja que una condició és a ¹. Pe a = els dos plans són paal lels. Pe a ¹ els dos plans són secants. 18. Sigui el punt P 1 (1,, 1), P el punt simètic de P 1 especte del pla d equació x y = i P 3 el simètic de P especte del pla d equació x + y + z. Toba l equació geneal del pla que deteminen els punts P 1, P i P 3. El pla cal que contingui un dels punts, pe exemple P 1, i que uuuu els vectos uuuu oientados siguin, pe exemple PP i. 1 PP 3 uuuu PP és popocional al vecto associat al pime pla: (1,, ) 1 uuuu PP 3 és popocional al vecto associat al segon pla: (1,, 1) x y - = -x - y + 4z + 6 = z Toba a i b pe tal que els tes plans següents passin pe una mateixa ecta: p: x + y z p : x + y + az = p : 3x + 3y z = b El sistema fomat pe les equacions dels tes plans ha de se compatible indeteminat de ang. Pe tant, els dos deteminants de 3 ode han de se nuls: a = i = a = - 1 i b 3 3 b Matemàtiques. Batxilleat 13
9 . Hi ha algun valo de k pel qual els quate plans tinguin un punt en comú? Si és aix, toba aquest punt. p: x + z 3 = p : 3x + y + z = 1 p : y z + = p : x y + kz + 5 = El sistema fomat pels quate plans ha de se compatible deteminat, és a di, de ang 3. Si esolem el sistema fomat pe les tes pimees equacions. x + z = 3 ü x =-1 3x + y + z = -1ý y = y - z = - þ z = Substitum aquesta solució en la quata equació pe toba k. 1 + k + 5 = k = 1. Considea la ecta: Digues si el punt (6,, ) es toba en la ecta paal lela a que passa pe l oigen de coodenades. =- 1+ 5l -y - 3z : y = - + l v = 5,,1 îx - 3y + z = 5 = 5l Recta paal lela pe l oigen: y = l El punt (6,, ) no es toba en aquesta ecta.. a) Explica la elació que hi ha ente el vecto associat a un pla i un vecto diecto d una ecta pependicula a aquest. El vecto associat a un pla i el vecto diecto d una ecta pependicula són linealment dependents. b) Toba l equació del pla que conté el punt (1, 1, ) i és pependicula a la ecta : + y - z+ 1= : î x - y + z- 1 = + y - z = -1 : y = l îx - y + z = 3 l v = = u ( 1, 5, 3 ) - y - 3z : îx - 3y + z = 5 ( ) McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. x + 5y + 3z + D = pe (1, 1, ) x + 5y + 3z 6 = 3. Estudia la posició elativa de les ectes i x - 1 4y - 1 : = = z 4 ì3x - y + 3z = ': îx + 4y + z = ì 1 x = + l =m ì3x - y + 3z = : 1 1 ': y = y = + l îx + 4y + z = 4 =-m æ 1 Els vecto diectos: v = i u ç,,1 = (1,, 1) è ø no són popocionals, pe tant, les ectes no són paal leles. Estudiem uuu el deteminant fomat pels vectos, u v i PP amb un punt de cada ecta: uuuu æ-1-1 PP ' = ç,, è 4 ø ¹ les ectes s enceuen Considea la ecta: i el pla p: ì3x - y + z- 1= : îx + 4y + z - b = x 5y + az + = Detemina els valos de a i b pe tal que: Podem estudia els angs de les matius del sistema fomat pe les tes equacions: ì3x - y + z x + 4y + z = b îx - 5y + az = - a) i p siguin secants. Toba el punt d intesecció. ang M = ang M' = ¹ a ¹ 1-5 a Pe qualsevol a ¹ 1 i b qualsevol el sistema és compatible deteminat i té de solució les Matemàtiques. Batxilleat 131
10 coodenades del punt d intesecció que seà difeent segons els valos que es denin a a i b. b) i p siguin paal lels. ang M ¹ ang M' Pe a a ang M = Estudiem el deteminant amb la columna de temes independents: b -5-3b -39 Si 13b 39 = b = 3 ang M' = Si a i b ¹ 3 el sistema és incompatible i la ecta és paal lela al pla. c) La ecta estigui continguda en el pla p. Si a i b = 3, ang M = ang M' = i la ecta està continguda en el pla. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. Matemàtiques. Batxilleat 13
Resultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos
DE S L U S RE S I V I C LES Resultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos aquells exercicis que requereixen
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:
Más detallesElements de geometria a l espai
Element de geometia a l epai 1 Element de geometia a l epai Element bàic de l epai El element bàic de l epai ón: punt, denominat amb llete majúcule, pe exemple P. ecte, denominade amb llete minúcule, pe
Más detallesH. Itkur Rectes -1/13. PUNTS ALINEATS Abans de donar el concepte de recta, ens qüestionarem quan tres punts són alineats.
H. Itku Rectes -/3 CONCEPTE DE RECT PUNTS LINETS bans de dona el concepte de ecta, ens qüestionaem quan tes punts són alineats. En aquest gàfic veiem claament que BC són alineats, mente que BD no ho són.
Más detallesDeduce razonadamente en que casos los planos π 1 y π 2 son o no paralelos:
GEOMETRÍA Junio 98 Deduce razonadamente en que casos los planos y son o no paralelos: a) : x + y + z = y : x + y z = 4 b) : x y + z = 4 y : x y + z = Obtén la distancia entre los planos y cuando sean paralelos.
Más detalles200. Hallar la ecuación de la simetría ortogonal respecto de la recta:
Hoja de Poblemas Geometía IX 200 Halla la ecuación de la simetía otogonal especto de la ecta: SOLUCIÓN n( x a) Sean: - S la simetía otogonal especto de la ecta n ( x a) - P un punto cualquiea cuyo vecto
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del
Más detallesUNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS 1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES L equació x + y = 3 és una equació de primer grau amb dues incògnites : x i y. Per calcular les solucions escollim un valor
Más detalles8 Geometria analítica
Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.
Más detallesECUACIONES DE LA RECTA
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos
Más detallesGEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia
Puebas de Acceso a la Univesidad GEOMETRÍA Junio 94.. Sin esolve el sistema detemina si la ecta x y + = 0 es exteio secante ó tangente a la cicunfeencia (x ) + (y ) =. Razónalo. [5 puntos]. Dadas las ecuaciones
Más detallesGEOMETRIA ANALÍTICA DEL PLA. MATEMÀTIQUES-1
GEOMETRIA ANALÍTICA DEL PLA. 1. Vectors en el pla.. Equacions de la recta. 3. Posició relativa de dues rectes. 4. Paral lelisme de rectes. 5. Producte escalar de dos vectors. 6. Perpendicularitat de rectes.
Más detallesACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:
INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament
Más detallesSISTEMES D EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSS
UNITAT SISTEMES D EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSS Pàgina Equacions i incògnites. Sistemes d equacions. Podem dir que les dues equacions següents són dues dades diferents? No és cert que la segona diu el mateix
Más detallesECUACIONES DE LA RECTA
Tema 6 Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II º Bachilleato TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa halla la ecuación de una ecta en el espacio necesito: Dos puntos
Más detalles1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions
Más detallesFUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. 1. Funcions exponencials. 2. Equacions exponencials. 3. Definició de logaritme. Propietats. 4. Funcions logarítmiques. 5. Equacions logarítmiques. 1. Funcions exponencials.
Más detalles. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2.
1 Sean los vectoes: v 1 ( 1, 1, 1) v (,, ) y v (, 1, ) Compueba que foman una base de V. Halla las coodenadas especto de dicha base de los vectoes u ( 1,, ) y w ( 1,, 1). Paa ve si son linealmente independientes
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO Detemina la posición elativa de las siguientes paejas de planos a) 8 ' 4 6 6 b) 6 7 ' 4 c) ' 6 7 d) 4 7 Dado el plano que contenga al punto A(-,, 4), detemina
Más detallesPuntos, rectas y planos en el espacio. Problemas métricos en el espacio
1. Estudia la posición elativa de las ectas y s: x = 2t 1 x + 3y + 4z 6 = 0 : ; s : y = t + 1 2x + y 3z + 2 = 0 z = 3t + 2 Calcula la distancia ente ambas ectas (Junio 1997) Obtengamos un vecto diecto
Más detallesVECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES
VECTORES 7.1 LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un vecto es un segmento oientado. Un vecto AB queda deteminado po dos puntos, oigen A y extemo B. Elementos de un vecto: Módulo de un vecto es la
Más detallesRELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS
RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS Sean a, b, c y d númeos eales; se tiene que:. Si a < b c < d a + c < b + d. Si a 0 a > 0 3. Si a < b -a > -b 4. Si a > 0 a - > 0 ; si a < 0 a - < 0 5. Si 0 < a
Más detallesGEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ 1.2. CLASSIFICACIÓ
GEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ Representem un punt A en un pla i tracem dues semirectes amb origen en aquest punt. El punt A serà el vèrtex de l angle i cada semirecta serà el costat. 1..
Más detallesMatemáticas II Hoja 6: Puntos, rectas y planos en el espacio
Pofeso: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachilleato) Matemáticas II Hoja 6: Puntos, ectas y planos en el espacio Ejecicio : a) Halla el punto de cote ente el plano 6x y + z y la ecta que pasa po el punto P
Más detallesJunio 2010 OPCIÓN A. A vemos que se diferencian en el cuadrado de la matriz unitaria. Dado que en este caso. por ser la matriz nula.
Junio OPCÓN Poblema. a) Si obsevamos los desaollos de ) ( y ) ( vemos que se difeencian en el cuadado de la matiz unitaia. Dado que en este caso se veifica: ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( ) ( b) b.) Paa que
Más detallesA continuación obligamos, aplicando el producto escalar, a que los vectores:
G1.- Se sabe que el tiángulo ABC es ectángulo en el vétice C, que petenece a la ecta intesección de los planos y + z = 1 e y 3z + 3 = 0, y que sus otos dos vétices son A( 2, 0, 1 ) y B ( 0, -3, 0 ). Halla
Más detallesTALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO Geometría lineal Recta y Plano
LA LINEA RECTA: DEFINICIÓN. TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Recibe el nombe de línea ecta el luga geomético de los puntos tales que, tomados dos puntos cualesquiea distintos P, ) P, ) el valo de la epesión:
Más detalles10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament.
10 Àlgebra vectorial ÀLGEBR VECTORIL Índe P.1. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Vectors Suma i resta vectorial Producte d un escalar per un vector Vector unitari Producte escalar Producte vectorial P.1. Vectors
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias
Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y ectas en el espacio Poblemas de ángulos, paalelismo y pependiculaidad, simetías y distancias Ángulos ente
Más detallesTEMA 6. CÀLCUL SOBRE BIGUES I COLUMNES.
TE 6. CÀLCUL SORE IGUES I COLUNES.. lexió d una biga. Diem que una biga pateix una flexió si actuen com a mínim tes foces pependiculas a la biga, de les que dues apuntaan en el mateix sentit i una en sentit
Más detallesRECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial
RECTAS EN EL PLANO Ecuación de la ecta La ecuación de una ecta puede dase de difeentes fomas, que veemos a continuación. Conocidos un punto P(p 1, p ) y un vecto de diección d = (d 1, d ) (o sea, un vecto
Más detallesEXERCICIS MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT
Treball d estiu/r Batillerat CT EXERCICIS MATEMÀTIQUES r BATXILLERAT. Aquells alumnes que tinguin la matèria de matemàtiques pendent, hauran de presentar els eercicis el dia de la prova de recuperació.
Más detallesSemblança. Teorema de Tales
Semblança. Teorema de Tales Dos polígons són semblants si el angles corresponents són iguals i els costats corresponents són proporcionals. ABCDE A'B'C'D'E' si: Â = Â',Bˆ = Bˆ', Ĉ = Ĉ', Dˆ = Dˆ', Ê = Ê'
Más detallesUNIDAD 10.- Geometría afín del espacio (tema 5 del libro)
UNIDD.- Geometía afín del espacio tema del libo). VECTOR LIBRE. OPERCIONES CON VECTORES LIBRES En este cuso amos a tabaja con el espacio ectoial de dimensión,, que es simila al tatado en º de Bachilleato,
Más detallesDIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35
ESO Divisibilitat 1 ESO Divisibilitat 2 A. El significat de les paraules. DIVISIBILITAT Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 = 7 5 35 = 5 7 35 7 0 5 35
Más detallesz a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u
Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu uuu vecto son: = ( b a, b a, b a
Más detallesÀmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesI. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES DIBUIX TÈCNIC
DIBUIX TÈCNIC I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES 1. Dist. d un punt a una recta - Abatiment del pla format per la recta i el punt 2. Dist. d un punt a un pla - Canvi de pla posant el pla de perfil
Más detallesx = graduació del vi blanc y = graduació del vi negre
Problemes ( pàgina 44 del llibre de classe, Editorial Casals ) (21) Barregem 60 L de vi blanc amb 20 L de vi negre i obtenim un vi de 10 graus (10% d alcohol). Si, contràriament, barregem 20 L de blanc
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍ NLÍTIC PLN / Ecuaciones de la ecta Un punto y un vecto Dos puntos Un punto y la pendiente,,,,,, Coodenadas del vecto diecto ECUCION VECTORIL (x, y) (p, p ) + τ (v, v ) ECUCION PRMETRIC x p + τ
Más detallesFUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Los ángulos: Se pueden medi en: GRADOS RADIANES: El adián se define como el ángulo que limita un aco cuya longitud es igual al adio del aco. Po tanto, el ángulo, α,
Más detallesSOLUCIONARI Unitat 1
SOLUCIONARI Unitat Comencem En un problema de física es demana el temps que triga una pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t s. La
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 2 opción A, modelo_1 Junio 2014
IES Fco Ayala de Ganada Junio de 014 (Modelo 1) Soluciones Gemán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejecicio 1 opción A, modelo_1 Junio 014 Sea f : R R definida po f(x) x + ax + bx + c. [1 7 puntos] Halla a, b
Más detallesLLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES
LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES Pàgina REFLEXIONA I RESOL Còniques obertes: paràboles i hipèrboles Completa la taula següent, en què a és l angle que formen les generatrius amb l eix, e, de la cònica i b l
Más detallesEJERCITACIÓN PARA EXAMEN DE MATEMATICA MAYORES DE 25 AÑOS SIN CICLO MEDIO COMPLETO. PRACTICO 3 Función Lineal Rectas Noviembre 2011
EJERCITACIÓN PARA EXAMEN DE MATEMATICA MAYORES DE 5 AÑOS SIN CICLO MEDIO COMPLETO PRACTICO Función Lineal Rectas Noviembe RECORDAR: Una unción lineal es de la oma popiedad que los cocientes incementales:
Más detallesBloque 3. Geometría y Trigonometría Tema 3 La recta en el plano Ejercicios resueltos
Bloque 3. Geometía y Tigonometía Tema 3 La ecta en el plano Ejecicio euelto 3.3-1 Halla la ecuación vectoial, en paamética, continua y geneal de la ecta que paa po el punto indicado y tiene po vecto dieccional
Más detalleswww.fisicaeingenieria.es Vectores y campos
www.fisicaeingenieia.es Vectoes y campos www.fisicaeingenieia.es www.fisicaeingenieia.es ) Dados los vectoes a = 4$ i + 3$ j + k$ y c = $ i + $ j 7k$, enconta las componente de oto vecto unitaio, paa que
Más detallesDIAGRAMA DE FASES D UNA SUBSTANCIA PURA
DIAGRAMA DE FASES D UNA SUBSTANCIA PURA Que es una fase? De forma simple, una fase es pot considerar una manera d anomenar els estats: sòlid, líquid i gas. Per exemple, gel flotant a l aigua, fase sòlida
Más detallesF U N D A D O POR DON 0SE B A T l L E Y O R D O Ñ E Z EL > 6 DE J U N I O DE « '»eriarclóo 0 E O O A4 I N C O A LLAMENOS CHURRASOUERA
$ Ñ $ $ & $ [ & Ó Ü Ó É & à # ú Î à Ö # Ç # # Î# ~ ì & & # ~ ì ï + ú Ü ö Ù ì ï # Û à Ö Ö Ä # ç & Ú Î Ü æ ~ ò ú ì ] ~ ~ ì ~ à ì Ì & û ú ~ # ~ ò & Î # Ì Ï = ~ = = ~ ò ô Î & ï à Á û ô ß æ + ì ] Ä ò æ Ï ]
Más detallesUNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ
UNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ 4 Plantilles de disseny Una plantilla de disseny és un model de presentació que conté un conjunt d estils. Aquests estils defineixen tota l aparença de la presentació,
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Dossier de sistemes d'equacions lineals. / Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: k b a k b a Coeficients de les incògnites:
Más detallesIntroducción al cálculo vectorial
GRADUADO EN INGENIERÍA Y CIENCIA AGRONÓMICA GRADUADO EN INGENIERIA ALIMENTARIA GRADUADO EN INGENIERÍA AGROAMBIENTAL Intoducción al cálculo vectoial Magnitudes escalaes y vectoiales Tipos de vectoes Opeaciones
Más detallesUnidad 12. Geometría (I).Ecuaciones de recta y plano
Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Unidad. Geometía (I).Ecuaciones de ecta plano. Intoducción. Espacio fín... Vecto en el espacio. Vecto libe fijo... Opeaciones con vectoes.. Dependencia
Más detallesUNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS
M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions UNITAT OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de
Más detallesÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX 3 COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT DE CÀLCUL
Francesc Sala, primera edició, abril de 1996 última revisió, desembre de 2007 ÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT
Más detallesFacultad de Ciencias Curso Grado de Óptica y Optometría SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO
Facultad de iencias uso - SOLUIOS ROLMAS FÍSIA. TMA : AMO LÉTRIO. n los puntos (; ) y (-; ) de un sistema de coodenadas donde las distancias se miden en cm, se sitúan dos cagas puntuales de valoes, y -,
Más detallesA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Realitzeu l'operació següent i doneu el resultat el màxim simplificat que pugueu:
TOT 1r 15-16 -1/10 PRIMERA MODEL A Codi B1A1C115-16 A1- a) Enuncieu i raoneu breument el teorema del residu b) Aplicant el teorema del residu, trobeu els valors de k pels quals el residu de la divisió
Más detallesCAMPS DE FORÇA CONSERVATIUS
El treball fet per les forces del camp per a traslladar una partícula entre dos punts, no depèn del camí seguit, només depèn de la posició inicial i final. PROPIETATS: 1. El treball fet pel camp quan la
Más detallesPronoms febles. Quan va introduït per un article: el, la, els, les, un, una, uns, unes
Pronoms febles El pronom feble és un element gramatical amb què substituïm un complement del verb: complement directe, indirecte, preposicional, predicatiu, atribut o complement circumstancial. Hi ha alguns
Más detallesTALLER 3 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
TALLER GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. 0- Pofeso: Jaime Andés Jaamillo González (jaimeaj@conceptocomputadoes.com) Pate del mateial ha sido tomado de documentos
Más detallesProva d accés a Cicles formatius de grau superior de formació professional, Ensenyaments d esports i Ensenyaments d arts plàstiques i disseny 2010
Prova d accés a Cicles formatius de grau superior de formació professional, Ensenyaments d esports i Ensenyaments d arts plàstiques i disseny 2010 Matemàtiques Sèrie 1 Dades de la persona aspirant Qualificació
Más detallesTEORIA I QÜESTIONARIS
ENGRANATGES Introducció Funcionament Velocitat TEORIA I QÜESTIONARIS Júlia Ahmad Tarrés 4t d ESO Tecnologia Professor Miquel Estruch Curs 2012-13 3r Trimestre 13 de maig de 2013 Escola Paidos 1. INTRODUCCIÓ
Más detalles6 Propiedades métricas
Solcionaio Popiedades méticas ACTIVIDADES INICIALES.I Dados los pntos P( ) Q( ) la ecta : calcla: a) d(p Q) b) d(p ) c) d(q ) a) b) c).ii Se tienen las ectas : s : t :. Halla: a) d( s) b) d( t) c) ( s)
Más detalles( ) CIRCUNFERENCIA UNIDAD VIII VIII.1 DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA
CIRCUNRNCIA UNIA III III. INICIÓN CIRCUNRNCIA Una cicunfeencia se define como el luga geomético de los puntos P, que equidistan de un punto fijo en el plano llamado cento. La distancia que eiste de cualquiea
Más detallesI.E.S. Mediterráneo de Málaga Modelo5_09_Soluciones Juan Carlos Alonso Gianonatti. Opción A. Ejercicio 1A
Opción A Ejecicio A [ 5 puntos] Se sabe que la función f: R R definida po f ( - +b+ si ) =, es deiable. a -5+a si > Detemina los aloes de a y b Paa se deiable debe de se, pimeamente, función continua,
Más detallesTEORÍA DE CAMPOS Y OPERADORES DIFERENCIALES. PROBLEMAS RESUELTOS
TEORÍA DE CAMPOS Y OPERADORES DIFERENCIALES. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dado un campo vectoial v = ( x + y ) i + xy j + ϕ( x, y, k en donde ϕ es una función tal que sus deivadas paciales son las funciones
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PRODUTO ESLR a b a b cosx (uando sepamos el ángulo que foman a y b). a ba b a b a b (uando sepamos las coodenadas de a y b ). uando los ectoes son pependiculaes su poducto escala
Más detalles2.5. La mesura de les forces. El dinamòmetre
D11 2.5. La mesura de les forces. El dinamòmetre Per mesurar forces utilitzarem el dinamòmetre (NO la balança!) Els dinamòmetres contenen al seu interior una molla que és elàstica, a l aplicar una força
Más detalles6. Calcula l obertura de l angle que falta. Digues de quin tipus d angles es tracta. 6
Geometria dossier estiu 2012 2C 1. Dibuixa dues rectes, m i n, que siguin: a) Paral leles horitzontalment. c) Paral leles verticalment. b) Secants. d) Perpendiculars. 6 2. Dibuixa una recta qualsevol m
Más detallesFeu el problema P1 i responeu a les qüestions Q1 i Q2.
Generalitat de Catalunya Consell Interuniversitari de Catalunya Organització de Proves d Accés a la Universitat PAU. Curs 2005-2006 Feu el problema P1 i responeu a les qüestions Q1 i Q2. Física sèrie 4
Más detallesA r. 1.5 Tipos de magnitudes
1.5 Tipos de magnitudes Ente las distintas popiedades medibles puede establecese una clasificación básica. Un gupo impotante de ellas quedan pefectamente deteminadas cuando se expesa su cantidad mediante
Más detallesIES Menéndez Tolosa Física y Química - 1º Bach Campo eléctrico I. 1 Qué afirma el principio de conservación de la carga eléctrica?
IS Menéndez Tolosa ísica y Química - º Bach ampo eléctico I Qué afima el pincipio de consevación de la caga eléctica? l pincipio indica ue la suma algebaica total de las cagas elécticas pemanece constante.
Más detallesGENERALITAT DE CATALUNYA SISTEMES D EQUACIONS DEPARTAMENT D EDUCACIÓ DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES. CURS SES PLA MARCELL
1 2 3 Full de treball A: Recordem les equacions A.1 A la web http://mathsnet.net/algebra/equation.html tens un joc que et permet recordar els conceptes bàsics que vam treballar l any passat sobre les equacions.
Más detallesObjectius. Crear expressions algebraiques. MATEMÀTIQUES 2n ESO 83
5 Expressions algebraiques Objectius Crear expressions algebraiques a partir d un enunciat. Trobar el valor numèric d una expressió algebraica. Classificar una expressió algebraica en monomi, binomi,...
Más detallesAnálisis de respuesta en frecuencia
Análisis de espuesta en fecuencia Con el témino espuesta en fecuencia, nos efeimos a la espuesta de un sistema en estado estable a una entada senoidal. En los métodos de la espuesta en fecuencia, la fecuencia
Más detalles3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA
1 3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA Ms PowerPoint permet inserir, dins la presentació, objectes organigrama i diagrames. Els primers, poden resultar molt útils si es necessita presentar gràficament
Más detallesSÈRIE 4 PAU. Curs DIBUIX TÈCNIC
SÈRIE 4 PAU. Curs 2004-2005 DIBUIX TÈCNIC L examen consta de la realització de tres dibuixos: el dibuix 1, una de les dues opcions del dibuix 2 i una de les dues opcions del dibuix 3. Escolliu entre l
Más detallesPrograma Grumet Èxit Fitxes complementàries
MESURA DE DENSITATS DE SÒLIDS I LÍQUIDS Activitat 1. a) Digueu el volum aproximat dels següents recipients: telèfon mòbil, un cotxe i una iogurt. Teniu en compte que un brik de llet té un volum de 1000cm3.
Más detallesU.D. 1: L'ELECTRICITAT
U.D. 1: L'ELECTRICITAT QUADERN DE CLASSE Nom i Cognoms: Curs i Grup: Data d'inici: Data de finalització: QUADERN DE CLASSE. 1: L'ELECTRICITAT - 2 1. Fes un llistat de precaucions que cal prendre a la llar,
Más detallesTEMA 2 LA MECÀNICA DEL MOVIMENT
TEMA 2 LA MECÀNICA DEL MOVIMENT ÍNDEX: Introducció 2.1.- Les palanques de moviment. 2.2.- Eixos i Plans de moviment. 2.3.- Tipus de moviment INTRODUCCIÓ En aquest tema farem un estudi del cos des del punt
Más detallesLes funcions que apliquen a tots els elements del domini la mateixa imatge es diu funció constant, evidentment han d ésser del tipus f(x) = k (k R)
1 1 3 FUNCIONS LINEALS I QUADRÀTIQUES 3.1- Funcions constants Les funcions que apliquen a tots els elements del domini la mateixa imatge es diu funció constant, evidentment han d ésser del tipus f(x) k
Más detalles4.7. Lleis de Newton (relacionen la força i el moviment)
D21 4.7. Lleis de ewton (relacionen la força i el moviment) - Primera Llei de ewton o Llei d inèrcia QUÈ ÉS LA IÈRCIA? La inèrcia és la tendència que tenen el cossos a mantenirse en repòs o en MRU. Dit
Más detallesCapítol 5, Espais vectorials
Capítol 5, Espais vectorials 5.1 Combinació lineal de vectors Una combinació lineal d'un grup de vectors v 1, v 2,...,v n d'un espai vectorial E sobre un cos K és un altre vector que s'obté de la forma:
Más detalles28 Sèries del Quinzet. Proves d avaluació
Sèries del Quinzet. Proves d avaluació INSTRUCCIONS Les proves d avaluació de l aprenentatge del Quinzet estan dissenyades per fer l avaluació interna del centre. Aquestes proves, seguint les directrius
Más detallesTEMA I. Un espacio vectorial es una estructura algebraica que se compone de dos conjuntos y de dos operaciones que cumplen 8 propiedades.
1 Espacios vectoiales 2 Combinaciones lineales 3 Dependencia e independencia lineal 4 Bases 5 Rango de un conjunto de vectoes 6 Tansfomaciones elementales 7 Método de Gauss TEMA I 1 Espacios vectoiales
Más detallesNOM i COGNOMS... GG... GM... DNI...
Poseu a totes les fulles el nom, el grup gran i mitjà i el vostre DNI. Utilitzeu només el full assignat a cada pregunta per tal de respondre-la. Només es corregirà el que estigui escrit en bolígraf. Cal
Más detallesLa circumferència i el cercle
10 La circumferència i el cercle Objectius En aquesta quinzena aprendràs a: Identificar els diferents elements presents en la circumferència i el cercle. Conèixer les posicions relatives de punts, rectes
Más detalles3r a 4t ESO INFORMACIÓ ACADÈMICA I D OPTATIVES
r a 4t ESO INFORMACIÓ ACADÈMICA I D OPTATIVES Camí DE SON CLADERA, 20-07009 Palma Tel. 971470774 Fax 971706062 e-mail: iesjuniperserra@educacio.caib.es Pàgina Web: http://www.iesjuniperserra.net/ ORIENTACIÓ
Más detallesú
ť ú ú ď ř Ž ú ť ě ř ú Í ú ř Í ú ř ř ú č Ó ú ě Í Ť ý ř ú Í ŤÉ ř š ú Í ť ť ů ú ť ť Á Á Ř ř ú Ú Í ě ě Ó Í ě ě ě Í ú ú ú É ú ú ú Í ú ř ú ú ú ú Í Í Á Ť Ž Ř Í ú ú ú Í ú ů ř Í ě ú ú ú Í ú ú
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2005
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 PAU 005 SÈRIE Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals. Ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detallesTrigonometria Resolució de triangles.
Trigonometria Resolució de triangles. Raons trigonomètriques d un angle agut. Considerarem el triangle rectangle ABC on A = 90º Recordem que en qualsevol triangle rectangle Es complia el teorema de Pitàgores:
Más detallesRetribució Administradors. De quins perills estem parlant?
De quins perills estem parlant? 1 Que Hisenda consideri la retribució dels socis no deduïble 2 Que la retribució dels socis tingui una retenció del 42 % 3 Que la retribució dels socis estigui subjecta
Más detallesDOSSIER D'ESTIU MATEMÀTIQUES. PREPARACIÓ BATXILLERAT.
INS ERNEST LLUCH I MARTI Departament de Matemàtiques DOSSIER D'ESTIU MATEMÀTIQUES. PREPARACIÓ BATXILLERAT. TREBALL D ESTIU El treball d estiu que proposa el departament de Matemàtiques està pensat per
Más detalles= T. Si el període s expressa en segons, s obtindrà la freqüència en hertz (Hz). 2) Fem servir la relació entre el període i la freqüència i resolem:
Període i freqüència Per resoldre aquests problemes utilitzarem la relació entre el període T (temps necessari perquè l ona realitzi una oscil lació completa) i la freqüència (nombre d oscil lacions completes
Más detallesEls triangles. El costat AB és oposat al vèrtex C i a l angle C. Propietats bàsiques
Els triangles Els triangles Es denomina amb la seqüència de vèrtexs:. és un angle interior, denominat senzillament angle del triangle. ' és un angle exterior.. ' Propietats bàsiques El costat és oposat
Más detallesEquacions i sistemes. de primer grau
Equacions i sistemes de primer grau 1. Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució. Equacions de primer grau amb dues incògnites. Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.
Más detallesElements de la geometria plana
Elements de la geometia plana Elements de la geometia plana Els elements bàsics de la geometia plana El punt El segment La ecta El punt és l'element mínim del pla. Els altes elements geomètics estan fomats
Más detallesRESUM 1.Sistemes d'equacions (Mètode de Gauss) 2.Problemes d'equacions 3.Matrius
RESUM 1.Sistemes d'equacions (Mètode de Gauss) Què és una equació lineal?, Què no és una equació lineal? Què és un sistema d'equacions lineals? Què és la solució d'un sistema d'equacions lineals? Tipus
Más detalles2. Quins aspectes del model atòmic de Dalton es mantenen vigents i quins aspectes s ha demostrat que són incorrectes?
Unitat 8. de Dalton, Thomson i Rutherford 1. Activitat inicial Per comprovar quins són els teus coneixements previs sobre l estructura atòmica, fes un dibuix que representi com penses que és un àtom. Sobre
Más detallesTEMAS DE MATEMATICAS (Oposiciones de Secundaria)
TEMAS DE MATEMATICAS (Oposiciones de Secundaia) TEMA 47 GENERACIÓN DE CURVAS COMO ENVOLVENTES.. Intoducción.. Envolvente... Definición de Envolvente... Existencia de Envolvente en el Plano..3. Deteminación
Más detalles