TALLER VERTICAL 4 DE MATEMÁTICA ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO INTEGRAL. Integral Indefinida

Transcripción

1 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Itegrl Ideiid Estmos costumrdos decir que el producto el cociete so opercioes iverss. Lo mismo sucede co l potecició l rdicció. Vmos estudir hor l operció ivers de l dierecició. Dd l ució (), llmremos ució primitiv de ést l desigmos co F () tod ució tl que F' df d. Por ejemplo si, etoces u ució primitiv de () es: que F' F o ie df F'.d d d. Otrs ucioes primitivs distits de () so, por ejemplo: ; ; esto ocurre porque l derivd de u costte es igul cero. Teorem Fudmetl del álculo Itegrl: TODAS ls ucioes que tiee igul derivd diiere etre sí e u costte Luego, hlld u primitiv de (), tods ls primitivs de clculd e u costte. () diiere de l L operció de ecotrr tods ls primitivs de () es l tidierecició, que simolizmos: d F e l cul es u costte ritrri, deiedo leerse el miemro de l izquierd itegrl de de, dierecil de. Pági

2 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Pági Tl de Itegrles. A prtir de ls tls de derivció podemos oteer regls pr l itegrció: d k d d d se d cos d se cos e d e d l d g d d g Ejemplos: Hllr: - d d / - d d

3 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Actividd. Hllr ls siguietes itegrles. ) ) d d c) d d) e) d d Itegrl Deiid Aplicció de l Itegrl Deiid l álculo de Áres Pls. L itegrl deiid, surgió como u ecesidd de clculr el áre de recitos plos ecerrdos por curvs. Por tl motivo geerlmete se preset l itegrl deiid trvés del cocepto de cálculo de u áre. Este cmio es stte lógico, especilmete mu ituitivo Supogmos que queremos clculr el áre ecerrd por l curv de l igur, represettiv de l ució (), el eje ls rects de ecució = =. = = ( ) = A Pági

4 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA U groser proimció de dich áre cosistirá e tomr el áre del rectágulo de ldos (m) siedo m l scis pr l cul l ució () sume su vlor míimo e el itervlo cosiderdo; evidetemete tl áre será meor que el áre que pretedemos medir. Llmemos l áre Am. Ést será el producto de (m) por ( ). Es decir: Am m Algo similr h de ocurrir si tommos el rectágulo de ldos (M) siedo M l scis dode l ució sume su vlor máimo; e tl cso el áre clculd super el vlor del áre jo l curv. ( m ) c = ( ) Am A m (M) AM M Es decir: A M M Pági

5 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Result evidete que u proimció mejor se otiee hciedo u prtició P del,, tomdo como áre l sum de ls áres de los rectágulos elemetles. Ai ti i 6 7 (t ) (t ) (t 6) etc. 6 7 X t t t t t t 6 t 7 omo se ve e l igur el áre proimd está dd por l sum A' 7 i A i pero Ai ti i etoces A' 7 i t i i Ituitivmete os dmos cuet que el áre proimd A se justrá cd vez más l áre A jo l curv medid que mor se el úmero de itervlos de l prtició. Tmié es ituitivo que e el límite, cudo el úmero de los rectágulos elemetles tiede, l sum drá ectmete el áre A. A lim i t i i d Pági

6 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Pr clculr l Itegrl deiid ( ) d se plic l Regl de Brrow ( ) d F( ) F( ) Recordemos que F() es u primitiv de (). Est epresió lig el cocepto de itegrl deiid el de tiderivd, que como semos, se clcul medite itegrció ideiid. El uso de est regl simpliic otlemete el cálculo de ls itegrles deiids. Result cómodo usr l otció: F F F co ello l regl de Brrow puede escriirse: Ejemplo : Hllr d d F d 8 Actividd. lculr ls siguietes itegrles deiids. 8 ) d ) ( ) d d ) Pági 6

7 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA álculo de Áres por Itegrció Deiid. Ls áres, siedo úmeros que represet l medid de u supericie (es decir el úmero de veces que ce l uidd de supericie e u determido recito), o puede ser egtivs. Ls itegrles deiids e cmio, sí puede dr como resultdo u úmero egtivo. Esto ocurre precismete tod vez que l ució sume vlores egtivos e l totlidd del itervlo de itegrció. Ejemplo: Hgmos l itegrl de l ució etre los vlores. Detro de ese itervlo l ució tom eclusivmete vlores egtivos el vlor resultte de l itegrció es u úmero egtivo; si emrgo el áre etre l curv el eje o puede ser egtiv; e cosecueci dee tomrse el vlor soluto del resultdo de l itegrl cudo lo que se está clculdo es u áre. El vlor egtivo de l itegrl e estos csos lo úico que idic es que l curv está por dejo del eje. L verdder diicultd se preset cudo lo lrgo del itervlo de itegrció l ució cmi de sigo de modo que prte de l curv qued dejo del eje prte ecim de él. Si o se tiee l precució de gricr l curv co ello evidecir este hecho, se cometerá el error de supoer que l itegrl está ddo el áre etre l curv el eje, cudo e relidd el resultdo de l itegrl estrá ddo l diereci etre ls áres que está por ecim del eje ls que está dejo. Pági 7

8 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA E el ejemplo, ocurrirí esto si itegrmos etre 6. Pr evitr este icoveiete deemos dividir el itervlo de itegrció e ttos suitervlos como se ecesrio i de teer suitervlos detro de los cules l ució teg u mismo sigo; (es decir etre ceros o ríces de l ució) itegrr etoces seprdmete sore cd itervlo sumr luego los vlores solutos de cd resultdo. 6 Actividd: lculr d Ejemplo : Hllr el áre limitd por el eje. Hllmos ls iterseccioes de l curv co el eje. lculmos l itegrl deiid e, result A d 8 Pági 8

9 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Ejemplo : lculr el áre ecerrd etre l rect = l práol = = = El áre deerá oteerse como diereci etre el áre jo l rect el áre jo l práol, etre los límites que mrc ls iterseccioes de ms gráics, es decir: = = que tiee como ríces d 6 Ejemplo : Hllr el áre ecerrd por l rect Hllmos por igulció ls iterseccioes etre ms gráics l práol de ecució - - Resolviedo est ecució de segudo grdo oteemos = - = que determi los etremos de l itegrció. Pr hllr el áre ecerrd, clculmos l itegrl deiid de l diereci de ls ordeds de ls dos curvs. A d d 6 Pági 9

10 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA De l gráic cojut de ls dos ecucioes puede visulizrse que el áre jo l curv = - etre los putos de sciss está uicd dejo del eje de ls, deiedo e cosecueci resultr egtiv l itegrl etre esos límites. Si emrgo, dee teerse e cuet que l eectur l diereci etre ls áres de l rect l práol, l correspodiete l práol igresó e el cálculo de l itegrl co sigo egtivo, es decir restdo, lo que sigiic que l prte positiv del áre correspodiete se restrá, e tto que l prte egtiv se sumrá l eectur el cómputo totl. Result etoces que el cálculo que hemos relizdo es equivlete : ) omputr l ( ) d ) Restr l ( ) d (prte de l práol dejo del eje ) c) Sumr el vlor soluto de l ( ) d Actividd. Ejercicio : Hllr el áre limitd por: ) el eje. ) el eje. c) = ; = ; = d) 9 el eje ; = = Ejercicio : lculr el áre compredid etre ls curvs. ) e ) e 6 c) 9 e 7 Pági

11 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Itegrció Numéric: E ls pliccioes práctics, como hemos dicho l comezr el desrrollo de este cpítulo, so pocs ls veces e que se ecesit coocer el resultdo ecto de u itegrl. omo l itegrl de u ució puede oteerse ectmete hlldo el límite de u sucesió, u procedimieto proimdo cosiste e empler el mismo procedimieto tomdo u térmio de l sucesió suicietemete vzdo. Prtiedo el itervlo [,] e suitervlos igules de logitud tomdo el vlor de l ució e el etremo izquierdo de cd itervlo, l itegrl tiee como vlor proimdo: ( ) d [ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ] Ejemplo: lculr l itegrl: d ) método ecto: d =, ) método proimdo: hcemos = pr lo cul result, d, 9 (el vlor ecto es,) Pági

12 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA omo hemos dicho, si o se puede clculr e orm ect l ució F() (ució primitiv de (), lo que sucede co sum recueci, será ecesrio pelr métodos de cálculo proimdo. U método de cálculo proimdo que mejor el descripto de tomr rectágulos de igul se lturs correspodietes l vlor de l ució e el etremo izquierdo de los suitervlos es el llmdo: Método de los Trpecios: Este método reemplz cd uo de los rectágulos elemetles por u trpecio de ltur igul l logitud comú de los suitervlos ses respectivmete igules los vlores de l ució e los etremos de cd uo de los suitervlos, cosiguiédose, de este modo u mejor proimció l vlor ecto de l itegrl. - - A- A A A - - Supoemos etoces coocidos los vlores que tom l ució e los putos situdos igul distci,,..., siedo = i i-. U primer vlor proimdo del áre puede oteerse sumdo ls áres de los trpecios iscriptos e cd u de ls supericies prciles. Por ejemplo: Áre (A ) = ½ ( + ); por lo que l sum result: ( ) d E P I siedo E = sum de ls ordeds etrems; P = sum de ls ordeds de suídices pres; I = sum de ls ordeds de ídices impres. Pági

13 TALLER VERTIAL DE MATEMÁTIA Ejemplo: lculr: Brrow) d (est itegrl o puede clculrse ácilmete co l Regl de siedo ( ) ; tomdo =, puede costruirse l siguiete tl: X,,,,,,6,7,8,9 (),77,76,7,7,696,686,67,6,6,6,77 Resultdo E, 77, 77, 6 P I 6, 6 ( ) d, 6, 698, 67 Actividd: ) Hllr el vlor proimdo de 6 co = d plicdo l órmul de los trpecios ) lculr el vlor proimdo como e el prolem terior pr d c) Si u curv viee dd por l siguiete tl:,8, 7,8 9,, Hllr el áre jo l mism por plicció de ls órmuls de los trpecios. Pági