Universidad acional de La Plata

Transcripción

1 Universidd cionl de L Plt Fcultd de Ciencis turles y Museo Cátedr de Mtemátic y Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Contenidos de l Unidd Temátic nº 8 Integrl indefinid. Primitivs inmedits. Uso de tbls de integrles. Integrción por sustitución, por prtes y por descomposición en frcciones simples. Integrl definid; definición, propieddes. Función integrl. Fórmul de Brrow. Cálculo de áres plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Integrción proimd. Formuls de los trpecios y de Simpson. Ing. Crlos Alfredo López Profesor Titulr

2 Cátedr de Mtemátic y Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Unidd Temátic nº 8 Ing. Crlos Alfredo López I TEGRACIÓ : I TEGRAL I DEFI IDA: Estmos costumbrdos decir que el producto y el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición y l rdicción. Vmos trtr hor sobre l operción invers de l diferencición. Dd l función f (), llmremos función primitiv de ést y l designmos con F () tod función tl que Por ejemplo si f ( ) = ( ) f( ) F ' = ( ) f( )d df =, entonces un función primitiv de f () es: F ( ) = y que F ' ( ) = = = f( ) o bien df( ) = F ' ( ) d = d = f( )d Otrs funciones primitivs distints son, por ejemplo: y = + 5 ; esto ocurre porque l derivd de un constnte es igul cero. y = ; TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL: TODAS ls funciones que tienen igul derivd difieren entre sí en un constnte

3 Luego, hlld un primitiv de f (), tods ls primitivs de f () difieren de l clculd en un constnte. L operción de encontrr tods ls primitivs de f() es l ntidiferencición, que simbolizmos: ( ) d F( ) f = + C en l cul C es un constnte rbitrri, debiendo leerse el miembro de l izquierd integrl de f de, diferencil de. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Si recordmos ls propieddes de l derivción de funciones, podemos deducir fácilmente propieddes nálogs pr l integrción. ACTIVIDAD: Completr: - { f ( ) g( ) } ± d = d = - k f( ) d = - d f( ) - df ( ) TABLA DE INTEGRALES. A prtir de ls tbls de derivción podemos obtener regls pr l integrción: Por ejemplo: porque cos d = sen + C ( sen + C) cos D = ( sen + C) cos d d = ACTIVIDAD: Siguiendo un procedimiento similr l del ejemplo, escribir los segundos miembros de:

4 n - n ; d d - = - d = - sen d = d 5- cos d 6- sen 7- e d 8- d 9- d EJEMPLOS: Hllr: - / / 8 ( 8 + ) d = 8 d + d d = + + C = + + C - + dt = dt t dt + t t t t t t dt = t + + C = + + C t t

5 METODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. Ls fórmuls de integrción de l Tbl de Integrles pueden utilizrse en un sentido más mplio; por ejemplo, en un integrl del tipo cos u( ) u' ( ) d, en l cul con u ( ) y u ' ( ) simbolizmos un función culquier de y su correspondiente función derivd, observmos que; du ( ) = u' ( )d si reemplzmos en l nterior nos d: ( ) u' ( ) d = cos u( ) du( ) = sen u( ) C cos u + ( I ) ddo que, recordndo l regl pr derivr funciones compuests y D sen d sen u ( ) = cos u( ) u' ( ) ( ) = cos u( ) u' ( ) d u que justific l solución obtenid en ( I ) notción, escribiendo: En form similr: A los efectos del cálculo, puede simplificrse l cos u du = sen u + C n u du = n+ u + C n + ( n ) du = u u + C du = ln u u + C sen u du = cos u + C du = tg u + C cos u

6 du = c tg u + C sen u u u e du = e + C u u du = + C ln du = rc sen u + C u du = rc tg u + C + u Resumiendo : el método de integrción por sustitución debe utilizrse cundo se dvierte en el integrndo l presenci simultáne de un función y su diferencil, unque en l últim no coincidn ectmente los coeficientes y signos, lo que se compens relizndo un simple operción ritmétic. Ejemplo : + Clculr ( ) e d (II) Pr resolver est integrl podemos usr el método de sustitución porque en ell encontrmos l función + y su derivd. + A l función l llmmos u = (III) y con l derivd y el d formmos el du: ( + ) = d du = d (IV) reemplzndo (III) y (IV) en (II) que es de l form ( + ) ( + d e ) = d( + ) e u u e du = e + C (V) Luego: e ( + ) ( + d e ) d( ) e( + = + = ) + C

7 Ejemplo : Llmemos u = 8 reemplzndo en (I) d 8 Resolver: ( ) d du = = u 8 u u 8 d (I) = d du = d du = d u = + C = u + C + u du= + C = + d pero u = 8 = u + C = 8 + C 8 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SIMPLES. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES El método de integrción por sustitución debe utilizrse, como hemos visto, cundo se dvierte en el integrndo l presenci simultáne de un función y su diferencil, unque en l últim no coincidn ectmente los coeficientes y signos. Lo utilizmos, por ejemplo, pr resolver integrles del tipo d en l cul si hcemos u =, result du = d, reemplzo que permite resolver u du. Si, en cmbio, queremos resolver d como es imposible encontrr en el integrndo el diferencil de u =, se utiliz l metodologí de descomponer el denomindor en frcciones simples cuy integrción nos se conocid. Pr ello hcemos: = ( )( + )

8 y hor reemplzmos por ( )( + ) ( ) ( + ) operndo A B A( + ) + B( ) + = ( ) ( + ) ( )( + ) hor, comprndo ls epresiones deducids, podemos escribir A( + ) + B( ) = ; ( )( + ) comprndo numerdores: A ( + ) + B( ) = que nos permite obtener los vlores de A y B con el siguiente procedimiento: si = - B ( ) = si = A ( + ) = y concluimos: B = A = d = d d + = + + ( ) ln ln ( + ) que puede simplificrse, plicndo ls propieddes de los logritmos: ( ) A + B ( ) ( ) C d = ln + C ( + ) Volveremos sobre este tem l trtr el cpítulo sobre ecuciones diferenciles. ACTIVIDAD: Clculr: d + MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES. Recordemos l fórmul pr diferencición de un producto de dos funciones: u = u( ) y v = v( ) ( v) = ( u v) 'd = (u' v + d u = vu'd + uv'd u v')d pero u 'd = du y v 'd = dv entonces = v du + u dv

9 luego: d (u v) = v du + u dv Integrndo mbos miembros y finlmente: d (uv) v du + u = dv u dv = uv v du (VI) L (VI) es l llmd fórmul de integrción por prtes. Est fórmul es útil cundo en el integrndo precimos l coeistenci de un función y l derivd de otr. Ejemplo: Clculr ln d Elegimos un de ls funciones y l llmmos u; por ejemplo u = ln (VII) en ests condiciones ls epresiones restntes que están bjo el signo de integrl corresponden dv, o se: dv = d (VIII) de (VII) obtenemos du = d (IX) y por (VIII), v es un primitiv de v = (X) reemplzndo en l epresión (V I) ln d = u dv = u v v du = = ln d ln = = ln + C 9 d =

10 DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN. En los ejemplos desrrolldos vimos que, l integrr un función prece un constnte de integrción. Est constnte se puede clculr cundo se impone un condición suplementri. Ejemplo: Determinr l curv cuy pendiente en el punto (,y) es, si debe psr por el punto P (, ). Solución: Como l pendiente en el punto (,y ) viene dd por l derivd, entonces plntemos l iguldd: dy = (XI); d ecuciones del tipo ( XI ), donde intervienen diferenciles y ls soluciones son funciones, se llmn ecuciones diferenciles; en nuestro ejemplo se trt de resolver l ecución diferencil. dy = d con ls condiciones iniciles y = pr = Escribimos dy = d e, integrndo miembro miembro y = + C (XII) Pr clculr C plicmos ls condiciones iniciles considerndo que el punto P (,) pertenece l curv cuy ecución se busc = + C; C = Sustituyendo el vlor de C en (XII) obtenemos l curv prticulr que tiene pendiente y ps por el punto ddo.

11 y - - y = tg en P 6 ACTIVIDAD: En l figur hemos trzdo l rect tngente l curv en el punto P (,). Obtener nlíticmente l medid de l inclinción y verificr con un trnsportdor. EJERCITACIÓN de INTEGRALES INDEFINIDAS. Ejercicio Nº : Hllr ) + 5 d b) ( z z )dz c) ( + )d d) y ( y ) dy e) d e f) d cos g) sen t dt t Ejercicio Nº : Hllr ls siguientes integrles plicndo el método de sustitución. + d ) sen( )

12 sen b) d cos c) cos d sen d) cos e d 5 e) d f) ( 5 + ) d g) cos sen d e h) d + e senwt +α d j) + d k) + d l) i) ( ) dt Ejercicio Nº : Hllr ) sen d b) cos d c) tg d d) sen cos d Ejercicio Nº : Hllr ls siguientes integrles plicndo el método de integrción por prtes. ) cos d b) rco tg d c) sec d d) + d e) ln d Ejercicio Nº 5: Determinr l curv cuy pendiente es el doble del vlor de l bscis y que ps por el punto P (,7). Representr gráficmente.

13 LA INTEGRAL DEFINIDA: Aunque es incuestionble que l evlución de un integrl definid no comport myores dificultdes si se dispone de lgun primitiv del integrndo, ello no signific necesrimente que los métodos de búsqued de primitivs debn ser desrrolldos con ntelción l definición de l integrl definid y l estblecimiento de sus propieddes, interpretciones y plicciones más importntes, pr lo que, como veremos, no se requiere de l integrl indefinid. Quizá, por el contrrio, procediendo de ese modo hymos estdo velndo lo que verddermente hy importnte y significtivo en l teorí de l integrción. Alguns rzones que tienen que ver con el conteto ctul y los fctores que lo configurn, entre los que tiene primordil importnci l revolución Informátic, hcen que esté cmbindo nuestr concepción del proceso enseñnz-prendizje, sobre todo por l prepondernci que están dquiriendo los métodos numéricos proimdos de cálculo como complementos y lterntivs muchs veces ventjoss respecto de los métodos ectos. En ls plicciones que necesitn del cálculo de un integrl es infrecuente que se presente un función pr integrr que teng como primitiv un función de uso corriente (epresd como polinomio, en senos, cosenos, logritmos, funciones eponenciles y demás funciones usules). Es indudble demás, que si trvés de relizr muchos esfuerzos de cálculo puede obtenerse un primitiv, no es comptible dicho esfuerzo con los resultdos que se logrn medinte un buen proimción numéric, obtenid medinte l utilizción de lgún sencillo softwre. Lo que verddermente interes en ls plicciones es obtener, por ejemplo, un buen proimción numéric de sen d y que solo con much dificultd opertori podrá encontrrse un primitiv de sen Result entonces, que lo más inteligente que puede hcerse, es encontrr un buen proimción, utilizndo lgún método numérico de resolución. Eiste un cntidd muy importnte de funciones pr ls cules tiene interés prticulr el cálculo del áre bjo su gráfic: lgunos ejemplos son:

14 Ejemplo : Ls gnncis de un compñí de Electricidd durnte el primer semestre del ño, se represent en l siguiente gráfic: Millones de $ 5,5 Ene Feb Mr Abr My Jun meses Si queremos conocer ls gnncis cumulds l finlizr el mes de Mrzo, sólo tenemos que clculr el áre bjo l curv de gnncis pr los tres primeros meses: 5 +,5 + =,5 millones de pesos. Ejemplo : L siguiente gráfic represent l velocidd medi en cd un de ls seis etps, de un corredor del Grn Premio de Turismo Crreter de l Repúblic Argentin. Se dese sber cuntos kilómetros h recorrido en ls tres primers etps. (el áre bjo l curv, nos proporcion l informción requerid) Velocidd (km/h) , ,5 7,5 tiempo (hors) 9 + 8, =.8 km.

15 Ejemplo : Potenci (kw) Tiempo (hors) L figur represent l potenci, en kw, que se está emplendo en cd momento en un cierto locl, lo lrgo del dí. Queremos clculr el consumo de energí entre ls hors y ls,5 hors de l mñn. L energí, en kwh, es el áre bjo l curv de potenci y, pr nuestro cso es proimdmente: (, kw) (,5 hors) = 5,5 kwh Terminmos de ver tres ejemplos en los cules el áre bjo l curv de un determind función tiene, en cd cso, un significdo especil: El áre bjo l curv de gnncis nos d el monto de ls gnncis cumulds El áre bjo l curv de velocidd nos indic el espcio totl recorrido. El áre bjo l curv de potenci, nos proporcion l energí consumid. Result entonces, que el cálculo del áre bjo un curv no es sólo un problem de interés geométrico, sino un informción de much utilidd en grn número de csos. ACTIVIDAD: Indicr en cd cso que se obtiene, clculndo: El áre bjo l curv de celerción en función del tiempo. El áre bjo l curv que represent l mgnitud de un fuerz en función del espcio. El áre bjo l curv que indic el cudl de gu vertid por un cnill en un tnque. Interpretr que signific en cd cso, el áre bjo l curv:

16 Km/h Velocidd de un utomóvil Tiempo (hors) l/min Velocidd de desgüe de un pilet. min. Pr cd uno de los ejemplos nteriores, representr proimdmente un función que indique el áre bjo l curv desde el punto inicil hst un punto vrible. Dibujr proimdmente, l gráfic de l función áre bjo l curv en cd uno de los siguientes csos:

17 Hst hor hemos puntulizdo l importnci que tiene el cálculo del áre bjo un curv en numerosos csos. De llí el interés de verigur como puede clculrse es áre, es decir investigr, conocid l ecución de un curv y = f (), cómo computr el áre entre dich curv, el eje de ls y dos rects que psn por los puntos cuys bsciss son = y = b. Un ide consiste, como veremos ms delnte, en proimr el áre medinte rectángulos con bse en el eje y ltur equivlente l mínimo vlor que tom l función en todo el ncho del correspondiente rectángulo. Cundo l bse del rectángulo se chic, es decir cundo se reliz un prtición del intervlo, b, el vlor computdo se proim tnto como se quier l áre bjo l curv. Ddo entonces, un intervlo cerrdo, b y n+ vlores i, pertenecientes dicho intervlo, tles que: = < < <... < i < i <... n = b llmremos prtición de orden n y l denotmos P n l conjunto de subintervlos definidos por dos vlores sucesivos i. (Fig. ) P =,,,...,,..., n {[ ] [ ] [ ] [ ]}, i i n n n n n n n 6 Si su vez subdividimos l menos uno de los subintervlos de l prtición P n, obtenemos un nuev prtición P s que decimos que es posterior. LONGITUD DE UN INTERVALO. Vmos llmr longitud del intervlo, b l número: b, y entonces l longitud del subintervlo i ésimo será el número : i = i i

18 Llmremos norm de l prtición l myor número de los i, es decir l norm N es: N = máimo i y nos proporcion l longitud del subintervlo más lrgo de l prtición. AUMENTO. Dd un prtición P n vmos llmr umento de dich prtición l conjunto de números t, t,...,t i,..., t n pertenecientes cd uno un subintervlo distinto de l prtición. En símbolos. tl que cumpln ls condiciones : Ejemplo: T n = { t, t,...,,..., } t i t n i t i i pr i =,,...,n. 5 l podemos elegir sí : Si tenemos el 5 ; entonces un prtición de orden P =,,,,,,,,, donde l longitud de cd subintervlo viene dd por : 5 = + =, = + =, = = 5 y 5 = = = = 5 y como l norm de est prtición es el myor de los números i, entonces y un umento de est prtición es : N = T 5 = {,,,, }

19 En generl, si tenemos un intervlo b ; eisten infinits prticiones de orden n, y pr cd prtición elegid eisten infinitos umentos T n. Actividd: Ddo el intervlo 7 ;, hllr un prtición de orden 8, decir cuál es l norm de l prtición y escribir un umento T 8. SUMA DE RIEMANN. Consideremos un función f() que esté definid en el intervlo cerrdo ; b, es decir un función cuyo dominio contiene l b ;, y demás consideremos un prtición P n de ese intervlo y un umento T n correspondiente es prtición. Consideremos hor el producto entre l longitud i de un sub-intervlo ddo de l prtición y el vlor de l función f() cundo tom el vlor del umento T n que corresponde ese intervlo, es decir el producto. f ( t i ) i Vmos llmr sum de Riemnn l sum de todos estos productos, es decir : Sn = f ( t ) + f ( t ) f ( t i ) i f ( t n ) n que en form brevid escribimos: Sn = n i= f ( t i ) i est sum drá un vlor que depende de l función f () que se esté considerndo de los vlores de y b, de l prtición específic P n que se hy elegido, y tmbién de los vlores t i tomdos pr el umento. Actividd: Dd l función f () = sum de Riemnn pr n = 6. + en el, hllr l

20 DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA. Consideremos hor que vmos tomndo distints prticiones P n cd un posterior l otr medid que n, el número de subintervlos crece; y consideremos que seguimos umentndo el número de intervlos hciendo tender n infinito, pero teniendo l precución de no dejr ningún subintervlo sin subdividir. Esto puede logrrse por ejemplo hciendo que cd prtición posterior se obteng de un nterior por un subdivisión de cd subintervlo en dos. Si decimos que medid que umentmos n hcemos tender l norm N cero, tmbién estmos segurndo que ningún subintervlo permnezc sin subdividir. Teniendo en cuent ests considerciones sobre l form prticulr de hcer tender n infinito, podemos definir l Integrl Definid como el límite I l cul tiende l sum de Riemnn, siempre que dicho límite eist (Si el límite l eiste, decimos que f() es integrble sobre b ;. Si un función es continu sobre ; b entonces se puede demostrr que es integrble sobre dicho intervlo, cundo el número de subintervlos n tiende infinito. lim n n i= y pr epresrlo usremos el símbolo de Leibnitz. I = b f f ( ) d ( t ) = I que se lee integrl entre y b de f de, diferencil de. El símbolo proviene de un deformción de l S de sum; el número recibe el nombre de límite inferior de integrción y b el de límite superior. i i f() integrndo. Llmremos intervlo de integrción l intervlo, b y Entonces: b f ( ) d lim f ( ti ) i n = n i= usndo el concepto de norm, esto mismo se podrá escribir: b f ( ) d lim f ( ti ) i n = i=

21 Se puede demostrr, que un vez plicdo el límite sobre l sum de Riemnn, el vlor resultnte, es decir l integrl, y no depende de l prtición ni del umento prticulrmente tomdos, sino sólo de l función f() y de los etremos y b. Se hce notr especilmente que un integrl es un número, el que resulte del límite propuesto sobre l sum de Riemnn. APLICACIÓ DE LA I TEGRAL DEFI IDA AL CÁLCULO DE ÁREAS PLA AS. L integrl definid, como hemos dicho l comenzr este estudio, surgió como un necesidd de clculr el áre de recintos plnos encerrdos por curvs. Por tl motivo generlmente se present l integrl definid trvés del concepto de cálculo de un áre. Este cmino es bstnte lógico y, especilmente muy intuitivo; sin embrgo frecuentemente induce l concepto erróneo de suponer que el cálculo de un integrl definid d un número que es el vlor de un áre en el sentido estrictmente geométrico. Est es l rzón por l cul preferimos hcer un definición más generl y hor plicrl. Supongmos que queremos clculr el áre encerrd por l curv c de l figur, representtiv de l función f(), el eje de ls y ls rects de ecución = y = b. y = c = f ( ) = b A b

22 Un groser proimción de dich áre consistirá en tomr el áre del rectángulo de ldos b y f( m ) siendo m l bscis pr l cul l función f() sume su vlor mínimo en el intervlo considerdo; evidentemente tl áre será menor que el áre que pretendemos medir. y f ( m ) c = f ( ) A m b por (b ). Es decir Llmemos l áre A m. Ést será el producto de f ( m ) ( ) ( b ) Am = f m Algo similr h de ocurrir si tommos el rectángulo de ldos b y f( M ) siendo M l bscis donde l función sume su vlor máimo; en tl cso el áre clculd super el vlor del áre bjo l curv. y f ( M ) A M = f ( M ) ( b ) A M X M b

23 Result evidente que un proimción mejor se obtiene hciendo un prtición P n del b,, definiendo en ell un umento T n y tomndo como áre l sum de ls áres de los rectángulos elementles. A = f t y 5 i ( i ) i 6 7 f (t ) f (t ) f (t 6 ) etc b X t t t t t 5 t 6 t 7 Como se ve en l figur el áre proimd está dd por l sum A'= 7 i= A i pero Ai = f ( ti ) i entonces A'= 7 i= f ( t i ) i Intuitivmente nos dmos cuent que el áre proimd A se justrá cd vez más l áre A bjo l curv medid que myor se el número de intervlos de l prtición. Tmbién es intuitivo que en el límite, cundo el número de los rectángulos elementles tiende, l sum drá ectmente el áre A. n b ( t ) = f ( ) A = lim f i i n i= d

24 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. ) Intervlo de integrción de longitud nul. f ( ) d = ) Aditividd de los intervlos de integrción. b c b f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d si c es un punto del intervlo b, c ) Intercmbio de los etremos de integrción f ( ) d = f ( ) d ) Propiedd linel de ls integrles definids. ) Propiedd de ditividd o superposición. b b f d + g d = b) Propiedd de homogeneidd. b K f d = K FUNCIÓN INTEGRAL. b ( ) ( ) [ f ( ) + g( ) ] d b ( ) f ( ) d Anteriormente hemos señldo que el vlor de l integrl definid de un función f() depende de los límites de integrción. Teniendo en cuent ese hecho y considerndo un función f() continu en el intervlo, b e integrd entre el etremo fijo y un etremo vrible, el vlor resultnte de l integrl depende del vlor que sum. Entonces, medinte l epresión A ( ) = f ( ) d qued definid un función que depende del límite superior de integrción y que llmremos Función Integrl. L función integrl A() puede interpretrse como el áre limitd por l gráfic de f () y el eje y ls rects de ecuciones = y =. y c c y = f () A (X)

25 TEOREMA DE LA FUNCIÓN INTEGRAL. función integrl A( ) = f ( ) d es un primitiv de f(); o se: A ' ( ) = f ( ) Si f() es un función continu en b, entonces l REGLA DE BARROW. Se F() un primitiv de f(), entonces se verific que F '( ) = f ( ) (I); por el teorem nterior l función integrl A() es otr primitiv de f() o se : A '( ) = f ( ) (II) y por el teorem fundmentl del cálculo integrl sbemos que dos funciones que tienen igul derivd difieren de un constnte. Por lo tnto de ls ecuciones (I) y (II). A ( ) = F( ) + C f( ) d = F( ) + C (III) Pr clculr l constnte C hgmos =. f ( ) d = F( ) + C Si recordmos un de ls propieddes de l integrl definid = F( ) + C de donde C = F( ) (IV) Reemplzndo (IV) en (III) y hciendo = b, result b f ( ) d = F( ) F( ) ( ) d = F( b) F( ) { c f (V) que se conoce con el nombre de Regl de Brrow. Recordemos que F() es un primitiv de f (). L epresión (V) lig el concepto de integrl definid y el de ntiderivd, que como sbemos, se clcul medinte integrción indefinid. El uso de est regl simplific notblemente el cálculo de ls integrles definids.

26 Result cómodo usr l notción: ( b) F( ) F( ) ] b F = con ello l regl de Brrow puede escribirse: b ( ) d F( ) ] b f = Ejemplo : Actividd. Hllr d d = 8 = = Verificr ls siguientes integrles definids. 8 ) d = ) ( d ) = ) d = 6 CÁLCULO DE AREAS POR INTEGRACION DEFINIDA. Ls áres, siendo números que representn un medid de superficie, es decir el número de veces que cbe l unidd de superficie, no pueden ser negtivs. Ls integrles definids en cmbio, sí pueden dr como resultdo un número negtivo. Esto ocurre precismente tod vez que l función sume vlores negtivos en l totlidd del intervlo de integrción.

27 Ejemplo: Hgmos l integrl de l función ( ) = ( ) f entre los vlores y. y Dentro de ese intervlo l función tom eclusivmente vlores negtivos y el vlor resultnte de l integrción es un número negtivo; sin embrgo el áre entre l curv y el eje no puede ser negtiv; en consecuenci debe tomrse el vlor bsoluto del resultdo de l integrl cundo lo que se está clculndo es un áre. El vlor negtivo de l integrl en estos csos lo único que indic es que l curv está por debjo del eje. L verdder dificultd se present cundo lo lrgo del intervlo de integrción l función cmbi de signo de modo que prte de l curv qued debjo del eje y prte encim de él. Si no se tiene l precución de grficr l curv y con ello evidencir este hecho, se cometerá el error de suponer que l integrl está dndo el áre entre l curv y el eje, cundo en relidd el resultdo de l integrl estrá dndo l diferenci entre ls áres que están por encim del eje y ls que están debjo. En el ejemplo, ocurrirí esto si integrmos entre y 6. Pr evitr este inconveniente debemos dividir el intervlo de integrción en tntos subintervlos como se necesrio fin de tener subintervlos dentro de los cules l función teng un mismo signo; integrr entonces seprdmente sobre cd intervlo y sumr luego los vlores bsolutos de cd resultdo. [ ] Actividd: Clculr ( ) 6 d Este problem que se present en el cálculo de áres usndo integrles definids, no se present, por ejemplo en el cálculo del trbjo relizdo por un fuerz que se desplz, y esto es debido que el trbjo si puede tener vlores negtivos.

28 Ejemplo : Clculr el áre limitd por y = y el eje. y ) Hllmos ls intersecciones de l curv con el eje. = ( ) = result = y = ) Clculmos l integrl definid en, ( ) 8 A = d = = = Ejemplo : Clculr el áre encerrd entre l rect y = y l prábol y = y y = El áre deberá obtenerse como diferenci entre el áre bjo l rect y el áre bjo l prábol, entre los límites que mrcn ls intersecciones de mbs gráfics, es decir: = = que tiene como ríces y ( ) d = = = 6

29 Ejemplo : prábol de ecución y = 5 Hllr el áre encerrd por l rect y = + 5 y l ) Hllmos por igulción ls intersecciones entre mbs gráfics y 5 5 = = - 5 Resolviendo est ecución de segundo grdo obtenemos = - y =5 que determinn los etremos de l integrción. ) Pr hllr el áre encerrd, clculmos l integrl definid de l diferenci de ls ordends de ls dos curvs. A = 5 5 [( + 5) ( 5) ] d = ( + + 5) d = = 6 De l gráfic conjunt de ls dos ecuciones puede visulizrse que el áre bjo l curv y = -5 entre los puntos de bsciss y 5 está ubicd debjo del eje de ls, debiendo en consecuenci resultr negtiv l integrl entre esos límites. Sin embrgo, debe tenerse en cuent que l efectur l diferenci entre ls áres de l rect y l prábol, l correspondiente l prábol ingresó en el cálculo de l integrl con signo negtivo, es decir restndo, lo que signific que l prte positiv del áre correspondiente se restrá, en tnto que l prte negtiv se sumrá l efectur el cómputo totl. Result entonces que el cálculo que hemos relizdo es equivlente : 5 ) Computr l ( + 5) d b) Restr l ( 5) d 5 c) Sumr el vlor bsoluto de l ( 5) d (prte de l prábol debjo del eje ) Actividd: Relizr l correspondiente comprobción. 5

30 Integrción numéric: En ls plicciones práctics, como hemos dicho l comenzr el desrrollo de este cpítulo, son pocs ls veces en que se necesit conocer el resultdo ecto de un integrl. Como l integrl de un función puede obtenerse ectmente hllndo el límite de un sucesión, un procedimiento proimdo consiste en empler el mismo procedimiento tomndo un término de l sucesión suficientemente vnzdo. Prtiendo el intervlo [,b] en n sub-intervlos igules de longitud y tomndo el vlor de l función en el etremo izquierdo de cd intervlo, l integrl tiene como vlor proimdo: y b b = n b f () d = [f() + f( + ) + f( + ) + + f( + (n ) ] Ejemplo: Clculr l integrl: d ) método ecto: d = = =, 5 b) método proimdo: hcemos n = pr lo cul result = =,

31 = = d,95 (el vlor ecto es,5) Como hemos dicho, si no se puede clculr en form ect l función F() (función primitiv de f()), lo que sucede con sum frecuenci, será necesrio pelr métodos de cálculo proimdo. Tmpoco result posible utilizr l Regl de Brrow en el cso en que no se conoce un epresión nlític de f(), sino un tbl de vlores que puede ser obtenid trvés de cálculos eperimentles o de mediciones. Un método de cálculo proimdo que mejor el descripto de tomr rectángulos de igul bse y lturs correspondientes l vlor de l función en el etremo izquierdo de los subintervlos es el llmdo: Método de los Trpecios: Este método reemplz cd uno de los rectángulos elementles por un trpecio de ltur igul l longitud común de los subintervlos y bses respectivmente igules los vlores de l función en los etremos de cd uno de los sub-intervlos, consiguiéndose, de este modo un mejor proimción l vlor ecto de l integrl. y A n- A n- A n A A A y y y y n- y n n- n- n Suponemos entonces conocidos los vlores que tom l función en los puntos situdos igul distnci,,..., n siendo = i i-. Un primer vlor proimdo del áre limitd por los puntos A, A n, n, puede obtenerse sumndo ls áres de los trpecios inscriptos en cd un de ls superficies prciles.

32 Por ejemplo: result: Áre (A,A,, ) = ½ (y + y ); por lo que l sum n f() d E ( y + y + y + + yn + yn ) = + P + I siendo E = sum de ls ordends etrems; P = sum de ls ordends de subíndices pres; I = sum de ls ordends de índices impres. Ejemplo: d Clculr: + Brrow) (est integrl no puede clculrse fácilmente con l Regl de siendo f() = ; tomndo =, puede construirse l siguiente tbl: + X,,,,,5,6,7,8,9 f(),77,76,75,7,696,686,67,65,6,65,577 Resultndo E =,77 +,577 =,6 P + I = 6,56 y f() d, 6,698,67 Fórmul de Simpson: En l fórmul de los trpecios, hemos sustituido l curv por un poligonl inscript. Un mejor form de proimción es sustituir l curv por rcos de prábol. L fórmul de Simpson, proim el cálculo del áre bjo l curv, sustituyendo l curv por un prábol de segundo grdo, resultndo pr el cálculo l siguiente epresión: Áre ( E + I + P) teniendo E, I y P significdo nálogo l descripto pr l fórmul de los trpecios. Ejemplo:

33 d Clculr: ; tomndo =, como en el método de los trpecios, + podemos computr (usndo l tbl construid pr dicho método): E =,77 +,577 =,8 I = (,76+,7+,686+,65+,65) =,8 P = (,75+,696+,67+,6) = 5,8 A,, (,8 +, ),, 67 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. L prábol de ecución y =, cuyo eje focl es el eje de ls bsciss, tiene como representción proimd: y l zon sombred Restringiendo l figur entre = y =, genermos = =

34 Si hcemos girr est zon lrededor del eje se gener el sólido de revolución de l figur siguiente, que recibe el nombre de prboloide de revolución y z cuys secciones con plnos prlelos l plno coordendo yz son circunferencis cuyo rdio ument en form directmente proporcionl pr los vlores de positivos. Si, en el volumen obtenido, tommos un diferencil del mismo que designmos dv éste resultrá un cilindro cuy bse tiene como áre π y, siendo su ltur igul d y z d dv = π y V = π y pr nuestro problem y = ; si tommos como límites inferior y superior respectivmente y, reemplzndo en l integrl: d d V π d = π d = π = 8π =

35 ACTIVIDAD; Hllr el volumen del sólido de revolución generdo por l bisectriz del primer cudrnte comprendid entre = y =, que gir lrededor del eje. Grficr proimdmente. EJERCITACION SOBRE INTEGRAL DEFINIDA Ejercicio Nº : Verificr d ) = ln + b) ( e + e ) π d = e e c) ( + ) d = π d) cos d = π e) rc tg d = 7 f) t t + dt = g) h) π π 6 cos sen sen d = d = d i) = ( ) j) π cos d = ln Ejercicio Nº : Verificr π ) rc sen d = e b) e d = c) lnt dt = d) e) f) π 6 π cos n sen z dn = cos z dz =

36 y g) dy = + y h) i) π 8 sec 9 d 9 + d = π = Ejercicio Nº : Hllr el áre limitd por: ) y = y el eje. b) y = y el eje. c) y = + y = ; = ; = d) y = 9 el eje ; = y = e) = y + y y el eje y. f) = y y el eje y. g) y = + y el eje. h) y = 9 y el eje. Ejercicio Nº : Clculr el áre comprendid entre ls curvs. ) y = e y = b) y = e y = 6 c) y = 9 e y = + 7 Ejercicio Nº 5: Si l gráfic de l función f() es

37 cuál de ls siguientes gráfics puede ser l función respuest. y = f() d. Justificr l Ejercicio nº 6: Hllr el áre comprendid entre: ) y = - + e y = b) y = e y = 5 d) y = e y = Ejercicio nº7: Si l ecución de l prábol de l figur es: y = ² - +, clculr el áre de l superficie ryd usndo l integrl definid. Ejercicio nº 8: ) Hllr el vlor proimdo de 6 d n= 5 plicndo l fórmul de los trpecios con b) Clculr el vlor proimdo como en el problem nterior pr + 5 d sen c) Idem pr π d d) Si un curv viene dd por l siguiente tbl: X 5 Y,8, 7,8 9,, hllr el áre bjo l mism por plicción de ls fórmuls de los trpecios y de Simpson. 5

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