MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE

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1 MATEMÁTICAS º DE ESO LOE TEMA XII: POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS Poliedros: o Elementos. o Tipos. Poliedros regulares. Cubos. Prismas: elementos, clases. Pirámides: elementos, clases. Áreas laterales y totales de prismas y pirámides. Cilindros: elementos, desarrollo y áreas. Conos: elementos, desarrollo y áreas. Esferas: elementos y área. Ricardo Esteban Alonso 1 de 10

2 Poliedros: Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional que está limitado por cuatro o más polígonos. Poli significa mucho y edro cara. Los poliedros regulares, los prismas y las pirámides son ejemplos de poliedros. Los principales elementos de un poliedro son: Caras: polígonos que lo limitan. Aristas: lados de las caras. Vértices: puntos de corte de las aristas. Diagonales: segmentos que unen dos vértices de distintas caras. Dentro de los poliedros distinguimos los llamados: Convexo: si todas sus caras se pueden apoyar en un plano. Cóncavo: en caso contrario. Ricardo Esteban Alonso de 10

3 Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de cuyos vértices concurren el mismo número de caras. Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro La fórmula de Euler establece que en un poliedro convexo el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + El hexaedro o cubo está formado por seis caras que son cuadrados y también podemos decir que es un prisma paralelepípedo (todas sus caras son paralelogramos) recto y podemos decir que es un ortoedro. Tiene 6 caras + 8 vértices = 1 aristas + Ricardo Esteban Alonso 3 de 10

4 Los prismas son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas, llamadas bases, y otras caras laterales que unen dichas bases y que son paralelogramos. Un elemento característico de los prismas es su altura o segmento perpendicular a sus bases: Prisma recto Prisma oblicuo Cuando las bases son polígonos regulares decimos que el prisma es regular. Se nombran según sea el polígono de la base, y así tendremos prismas triangulares, cuadrangulares, hexagonales Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos, y un caso especial es el ortoedro donde sus todas sus caras son rectángulos. Ricardo Esteban Alonso 4 de 10

5 Las pirámides son poliedros con una cara inferior llamada base que es un polígono cualquiera, y de unas caras laterales que son triángulos que se unen en el vértice. Los elementos más significativos de las pirámides son: Altura (h): perpendicular del vértice o cúspide a la base. Apotema lateral (a): altura de un triángulo lateral. Apotema de la base (ap): segmento que une el centro de la base con la mitad de un lado. Se puede, con los tres elementos citados, aplicar el teorema de Pitágoras, ya que forman un triángulo rectángulo, y conocidos dos de ellos podemos hallar el tercero. Una pirámide es recta si su altura une el vértice con el centro de la base, y oblicua en caso contrario. Cuando la base de una pirámide recta es un polígono regular, se dice que la pirámide es regular. Ricardo Esteban Alonso 5 de 10

6 Áreas laterales y totales de prismas y pirámides: Poliedro Leyenda Área lateral Área total h H Prisma h=a h = altura prisma a= altura cara h = a, en los prismas rectos A = P L a (Es igual a la suma de las áreas de las caras laterales) A = A + A T L (Es igual al área lateral más el área de las dos bases) Pirámide l = lado de la base h= altura total a= altura de una cara ap= apotema base P = Perímetro base A = Área de la base AL = Área lateral A = Área total T P a = AL (Es igual a la suma de las áreas de los triángulos de las caras laterales) A = A + A Ricardo Esteban Alonso 6 de 10 T (Es igual al área lateral más el área de la base) Observa como la altura h no interviene en el cálculo de las áreas, y que el cuerpo geométrico que termina en punta, al ser sus caras laterales triángulos, se divide entre. Para el área total se suma al área lateral el área de las bases (una o dos). L

7 Cuerpos redondos: cilindros, conos y esferas. Los cuerpos redondos se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Los tres más sencillos son el cilindro recto, el cono y la esfera: Cilindros: En un cilindro recto la altura h y la generatriz g miden lo mismo. El eje es el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro. Las bases son dos círculos iguales y paralelos. Su desarrollo está formado por un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y su altura la altura del cilindro y de dos círculos iguales que forman las bases. Ricardo Esteban Alonso 7 de 10

8 FIGURA LEYENDA ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL h = altura g = generatriz h = g r = radio de la base P = πr A = πr Cilindro recto Desarrollo del cilindro AL A L = P h = πr g (las bases siempre son círculos) A = A + A T L A T = π rg + πr A T = π r( g + r) Desarrollo del cono Ricardo Esteban Alonso 8 de 10

9 Conos: En un cono los elementos significativos son el eje del cono que es el cateto sobre el que gira el triángulo, la altura que es la longitud del eje, la generatriz que es la longitud de la hipotenusa del triángulo y la base, que es el círculo generado al girar el cateto perpendicular al eje. Su desarrollo está formado por un sector circular con longitud = πr, y un círculo. P FIGURA LEYENDA ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL Cono h = altura g = generatriz r = radio de la base P = πr A = πr P g AL = πrg A L = A L = πrg (la base siempre es un círculo) A = A + A T L A T = π rg + πr A T = π r( g + r) Ricardo Esteban Alonso 9 de 10

10 Esferas: Los elementos de una esfera son el eje que es el diámetro sobre el que gira el semicírculo, el centro y el radio. La esfera no tiene un desarrollo plano. FIGURA LEYENDA ÁREA Esfera r = radio de la esfera d = eje de giro A = 4πr (Se dice que es igual a cuatro veces el círculo máximo) Ricardo Esteban Alonso 10 de 10

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