EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA

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1 EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P respecto del plano π x y+ z 5 r = = respecto del (05-M6-A-4) Sean los planos π x + y + z 5 y π x + y + z + a) (5 puntos) Determina el ángulo que forman π y π b) ( punto) Calcula el volumen del tetraedro limitado por π y los planos coordenados (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos) Calcula la distancia de r a s B + y z = 4 (04-M;Jun-B-4) Sea r la recta definida por y + z = a) (5 puntos) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas b) ( punto) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a,,0 r en el punto ( ) 5 (04-M-A-4) Sean los vectores u r = (,, 0), v r = ( 0,, ) y = ( + α, α, α ) w r Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) ( punto) u r, v r y w r están en el mismo plano b) (05 puntos) w r es perpendicular a u r y v r c) ( punto) El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores u r, v r y w r es 6 + z P y la recta r dada por y + z a) (5 puntos) Determina la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r b) (5 puntos) Calcula la distancia de P a r 6 (04-M-B-4) Considera el punto (,,0) 7 (04-M-A-4) Considera los vectores u r = (,, ), v r = (, 0, ) y = ( λ,, 0) w r a) (075 puntos) Calcula los valores de λ que hacen que u r y w r sean ortogonales b) (075 puntos) Calcula los valores de λ que hacen que u r, v r y w r sean linealmente independientes c) ( punto) Para = r =,0, como combinación lineal de u r, v r y w r λ escribe el vector ( ) x 8 (04-M-B-4) Sea r la recta dada por + = + = z x y = 0 y y sea s la recta dada por z+ 6= 0 a) ( punto) Estudia la posición relativa de r y s b) (5 puntos) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s 9 (04-M4;Sept-A-4) Considera los puntos A (,, ) y (,, ) = + t B y la recta r dada por y = t = Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0

2 a) ( punto) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y B b) (5 puntos) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y B 0 (04-M4;Sept-B-4) Sea r la recta que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,) B a) (5 puntos) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r b) (5 puntos) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas (04-M5-A-4) Sean A (,4,0), B (,6,) y (,,) C los vértices de un triángulo a) ( punto) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo b) ( punto) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas c) (05 puntos) Calcula el área del triángulo ABC x A y la recta r dada por + = y = z a) (5 puntos) Calcula la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a r b) (5 puntos) Halla el punto simétrico de A respecto de r (04-M5-B-4) Considera el punto ( 8,,) = + λ x y z (04-M6-A-4) Sea r la recta definida por y = + λ y s la recta dada por = = = λ a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s b) (075 puntos) Calcula la distancia entre r y s 4 (04-M6-B-4) Considera el plano π de ecuación x + y z +, y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y = a) (05 puntos) Determina la posición relativa de π y r b) ( punto) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a π c) ( punto) Halla las ecuaciones paramétricas del plano paralelo a π que contiene a r x y 5 (0-M-A-4) (5 puntos) Determina el punto de la recta r = = z + que equidista de los planos = 4 + λ μ π x y + z + y π y = + λ = μ 6 (0-M-B-4) Considera los puntos A ( 0,5,), B (, 4,), C (,,) y (,,) D a) (75 puntos) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo b) (075 puntos) Calcula el área de dicho rectángulo 7 (0-M;Sept-A-4) Considera el plano π de ecuación x + y + z 6 a) (5 puntos) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados b) ( punto) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0

3 8 (0-M;Sept-B-4) Considera los puntos A (,0, ), B (,,), C (,, ) y (,0, 4) D a) ( punto) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C b) (5 puntos) Halla el punto simétrico de D respecto del plano x y 5 z (0-M-A-4) Considera los puntos A (,,), B (,0, ) y (,,0) C y el plano π determinado por ellos a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r b) (075 puntos) Calcula la distancia de A a r 0 (0-M-B-4) Considera las rectas r y s dadas por = λ + y r y = + 5λ y s z 5 = λ a) ( punto) Determina la posición relativa de r y s b) (5 puntos) Calcula la distancia entre r y s (0-M4-A-4) Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A (,0,), (,,) C (,, ) Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0 = = 0 0 B y a) ( punto) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo b) ( punto) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo c) (05 puntos) Calcula las coordenadas del vértice D (0-M4-B-4) Considera los puntos A (,,) y (,0, 4) B a) (5 puntos) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales b) (5 puntos) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento AB (0-M5-A-4) (5 puntos) Calcula la distancia entre las rectas r x = y = z y s x = y = z 4 (0-M5-B-4) (5 puntos) Considera las rectas r x = y = z = s y = Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t = + λ t y = λ = + λ 5 (0-M6;Jun-A-4) Sea r la recta que pasa por el punto (,0,0) y tiene como vector dirección x + y = a y sea s la recta dada por ax + z a) ( punto) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas b) (5 puntos) Calcula, para a =, la distancia entre r y s (, a,) 6 (0-M6;Jun-B-4) Considera los puntos P (,,) y ( 0,,) Q a) (75 puntos) Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos b) (075 puntos) Calcula la distancia de P a π

4 7 (0-M-A-4) El punto M (,, 0) es el centro de un paralelogramo y (,, ) B ( 0,, ) son dos vértices consecutivos del mismo A y a) ( punto) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo b) (5 puntos) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo 8 (0-M-B-4) (5 puntos) Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de x y = 4 ecuaciones y z x + y 9 z 8 x y 9 z 8 9 (0-M-A-4) Dadas las rectas r = = y s = = a) ( punto) Determina la posición relativa de las rectas r y s b) (5 puntos) Calcula la distancia entre r y s 0 (0-M-B-4) (5 puntos) Los puntos A (,, 5) y (,, ) rectángulo ABCD El vértice C, consecutivo a, los vértices C y D B son vértices consecutivos de un y 6 z + B está en la recta x = = Determina (0-M;Jun-A-4) Sean los puntos A ( 0, 0,), (, 0, ), C 0,, y D (,, 0) a) ( punto) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C b) (05 puntos) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios c) ( punto) Calcula la distancia del punto D al plano π B ( ) (0-M;Jun-B-4) (5 puntos) Halla el punto simétrico de (,, 5) definida por z + y + P respecto de la recta r (0-M4;Sept-A-4) De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A (,, 0), B (,, 0) y C ( 0,, ) a) ( punto) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene b) (075 puntos) Halla el área de dicho paralelogramo c) (075 puntos) Calcula el vértice D r 4 (0-M5-A-4) Se consideran los vectores u = ( k,,), v r r = (,, ) y w = (,, k), donde k es un número real a) (075 puntos) Determina los valores de k para los que u r, v r y w r son linealmente dependientes b) ( punto) Determina los valores de k para los que u r r r r + v y v w son ortogonales c) (075 puntos) Para k =, determina aquellos vectores que son ortogonales a v r y w r y tienen módulo x y 5 (0-M5-B-4) (5 puntos) Encuentra los puntos de la recta r = = z cuya 4 distancia al plano π x y + z = vale cuatro unidades x + y + 5 z (0-M6-A-4) (5 puntos) Determina el punto P de la recta r = = que equidista del origen de coordenadas y del punto A (,,) 4 Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0

5 7 (0-M-A-4) Dados los puntos A (, 0, 0), B ( 0, 0, ) y P (,, ), y la recta r definida por y a) ( puntos) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de unidades b) (05 puntos) Calcula el área del triángulo ABP + z = P y la recta r de ecuaciones + z a) ( punto) Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P b) (5 puntos) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z, que es perpendicular a r y pasa por P 8 (0-M-B-4) Dados el punto (,, ) 9 (0-M;Sept-A-4) Considera los puntos A(, k, ), B ( k +, 0, ), (,, 0) C y D (, 0, ) a) (5 puntos) Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes? b) (5 puntos) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 40 (0-M;Sept-B-4) Dados el plano π de ecuación x + y z y la recta r de ecuaciones x y = 5 + y 4z = a) (075 puntos) Halla el punto de intersección del plano π y la recta r Q,, respecto del plano π b) (75 puntos) Halla el punto simétrico del punto ( ) = P y la recta r dada por las ecuaciones y = λ = λ a) ( punto) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P b) (5 puntos) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r 4 (0-M-A-4) Sea el punto (,, ) 4 (0-M-B-4) (5 puntos) Considera los planos π y π dados respectivamente por las ecuaciones ( x, y, z) = (, 0, 7) + λ(,, 0) + μ( 0,, ) y x + y z + 5 z Determina los puntos de la recta r definida por x = y + = que equidistan de π y π = x+ 7 y 7 4 (0-M4-B-4) Dada la recta r definida por = = z y la recta s definida por y = 5 = λ a) (75 puntos) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas b) (075 puntos) Calcula la distancia entre r y s 44 (0-M5-A-4) Considera los puntos A (, 0, ) y (,, ) B x y a) (5 puntos) Halla un punto C de la recta de ecuación = = z que verifica que el triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B 5 Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0

6 b) (5 puntos) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación x y + z = 6 con el eje OX 45 (0-M5-B-4) (5 puntos) Considera los planos π, π y π dados respectivamente por las ecuaciones x y + z 4, x y + z y x + z 4 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (,, ), es paralela al plano π y corta a la recta intersección de los planos π y π + y =, y la recta r dada por + z = a) (75 puntos) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B b) (075 puntos) Determina si la recta que pasa por los puntos P (,, ) y Q (, 4, ) está contenida en dicho plano 46 (0-M6;Jun-B-4) Considera los puntos A (, 0, ) y B (,, 0) 47 (00-M-A-4) Considera los puntos A (, 0, ), (,, 4) B y la recta r definida por x + = y = z a) (5 puntos) Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B b) ( punto) Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B 48 (00-M;Jun-A-4) Considera las rectas r y s de ecuaciones y = x = y = z y + z = a) (075 puntos) Determina su punto de corte b) ( punto) Halla el ángulo que forman r y s c) (075 puntos) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s 49 (00-M;Jun-B-4) Los puntos P (, 0, 0) y (,, 4) Q son dos vértices de un triángulo El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación 4x + z = a) (5 puntos) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S b) ( punto) Comprueba si el triángulo es rectángulo 50 (00-M-B-4) Considera el plano π definido por x y + nz y la recta r dada por x y z = = con m 0 m 4 a) (5 puntos) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π b) (5 puntos) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π 5 (00-M5;Sept-B-4) Considera los planos π, π y π dados respectivamente por las ecuaciones x + y =, ay + z y x + ( + a) y + az = a + a) (5 puntos) Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? b) ( punto) Para a, determina la posición relativa de los planos 6 Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0

7 y + y + 5 (009-M;Sept-B-4) Considera las rectas r : y s : + y z z + a) (5 puntos) Determina la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s b) ( punto) Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la respuesta y 5 (009-M4-A-4) Considera el punto P (, 0, ), la recta r definida por y el + z plano π de ecuación x + y + z a) (5 puntos) Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π b) (5 puntos) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π 54 (009-M5-A-4) (5 puntos) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (,, ) paralela al plano de ecuación x y + z = y corta al eje Z + y + z = P y la recta r definida por y 4z = a) (5 puntos) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r b) (5 puntos) Halla el punto de r que está más cerca de P 55 (009-M6-B-4) Sea el punto (,, ) x + y mz = 56 (008-M-B-4) Sea la recta r dada por y z = m y el plano π definido por x + my z = a) ( punto) Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos? b) ( punto) Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? c) (05 puntos) Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m? 57 (008-M;Jun-B-4) (5 puntos) Dados los puntos A (,, ) y B ( 0,0,) eje OX tales que el área del triángulo de vértices 7 A, B y C es Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0, es, halla los puntos C en el x = 58 (008-M4-B-4) (5 puntos) Sea la recta r definida por y sean los planos π, de y ecuación x + y + z, y π, de ecuación y + z Halla la recta contenida en el plano π, que es paralela al plano π y que corta a la recta r 59 (008-M5-A-4) Se sabe que los planos de ecuaciones x + y + bz =, x + y + bz, x + y z = se cortan en una recta r a) (5 puntos) Calcula el valor de b b) (5 puntos) Halla unas ecuaciones paramétricas de r 60 (008-M6-A-4) Se considera la recta r definida por mx = y = z +, ( m 0), y la recta x s definida por 4 = y = z 4 a) (5 puntos) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares b) ( punto) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas

8 6 (007-M;Jun-A-4) Considera los planos de ecuaciones x y + z y x + y z = a) ( punto) Determina la recta que pasa por el punto A (,, ) y no corta a ninguno de los planos dados b) (5 puntos) Determina los puntos que equidistan de A (,, ) y B (,, 0) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados x y k z x + y z 6 (007-M-A-4) Sean las rectas r = = ; s = = 4 5 a) (5 puntos) Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto b) (5 puntos) Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s 6 (007-M-B-4) (5 puntos) Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación = z + 4 x + y + z que corta perpendicularmente a la recta definida por en el punto = z +,, ( ) 64 (007-M5-A-4) a) (5 puntos) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos π de ecuación x + y + z = y π de ecuación x + y + z = b) ( punto) Halla la distancia de la recta r al plano π 65 (006-M;Jun-A-4) Considera el plano π de ecuación x + y z + y la recta r de x z ecuación 5 6 = y = m a) ( punto) Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m b) (075 puntos) Para m =, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π c) (075 puntos) Para m =, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π x + y + z = 66 (006-M4-B-4) Considera la recta r de ecuaciones y + z a) (5 puntos) Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ A,, sobre la recta r b) (5 puntos) Calcula la proyección ortogonal del punto ( ) 67 (006-M5-B-4) (5 puntos) Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π de ecuación x + y + z = y forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 8 68 (006-M6-B-4) (5 puntos) Halla las ecuaciones paramétricas de una recta sabiendo que corta a la recta r de ecuación x = y = z, es paralela al plano π de ecuación x + y z = 4 y pasa por el A,, punto ( ) 8 Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidades 8, 9 y 0