PROYECCIÓN DIÉDRICA. capítulo 3. Geometría Descriptiva. Ing. Alberto M. Pérez G.

Transcripción

1 cpítulo 3 PRECCIÓN DIÉDRIC. Comienz en este cpítulo el estudio del sistem de Dole Proyección rtogonl ó Proyección Diédric, el cul es el ojetivo de estudio principl de est or. Se inici con un descripción de este sistem de proyección, que se s definir l proyección ortogonl de los ojetos en form simultáne sore dos plnos de proyección perpendiculres entre sí. De est form se otiene dos proyecciones ortogonles del ojeto en estudio, por medio de ls cules, se puede conceir l form tridimensionl del mismo. Un vez que el estudinte comprend los fundmentos del sistem de Dole Proyección rtogonl, será cpz de representr ojetos, y podrá resolver culquier prolem relciondo con l form tridimensionl de los mismos, sin necesidd de elorr complicds perspectivs o representciones en otros sistems de proyección ms loriosos. Después de l descripción de este importnte sistem de proyección, comenzmos en este cpítulo ejercitrnos en l elorción de l dole proyección ortogonl del "ojeto" ms simple que puede ser considerdo "el punto". Pr continur después con el estudio de l proyección diédric de l rect y el plno.

2 PRECCIÓN DE PUNTS PRECCIÓN DE PUNTS. DBLE PRECCIÓN RTGNL. Tmién llmd proyección diédric. Es l proyección ortogonl simultáne de un ojeto sore dos plnos de proyección perpendiculres entre sí, llmdos: plnos principles de proyección; y en form prticulr denomindos: plno verticl de proyección (); y plno horizontl de proyección (). En l fig.65, se muestr l proyección diédric de un punto (). L nomencltur utilizd represent: ) :Plno verticl de proyección. DIEDRS. Tmién denomindos cudrntes, son ls cutro zons en que los plnos principles de proyección, l considerrse l extensión infinit de ellos, dividen todo el espcio que los rode\ fig.66. N LTERL I C II C III C ) :Plno horizontl de proyección. c) :Posición rel del punto (). d) :Proyección ortogonl del punto () sore el plno verticl de Proyección. IV C ) Plno lterl ) Cudrntes (Diedros) fig.66.\ Plno lterl / Cudrntes. e) :Proyección ortogonl del punto () sore el plno horizontl de proyección. ) Proyección diédric del punto () LT ) El sistem de dole proyección ortogonl fig.65.\ L dole proyección ortogonl (proyección diédric). En l fig.65, se muestr el sistem de proyección diédric con l siguiente nomencltur dicionl. ) LT :Líne de tierr. Es l intersección entre los plnos verticl y horizontl de proyección. ) :rigen. Punto común los tres ejes de coordends, prtir del cul se miden ls coordends de los puntos. c) :Eje de coordends (). Eje sore el cul se miden ls coordends () de los puntos; coincide con l líne de tierr. DIBUJ EN PRECCIÓN DIÉDRIC. En l fig.65 se muestr un esquem en perspectiv del sistem de proyección diédric; no ostnte, l proyección diédric en sí, no se ejecut en perspectiv, si no que se fcilit su elorción rotndo el plno horizontl de proyección lrededor de l líne de tierr, hst hcerlo coincidir con el plno verticl de proyección, como lo muestr l fig.67. En l fig.67 se muestr el mismo esquem en proyección frontl. finlmente, l fig.67c, muestr el esquem de trjo en proyección diédric; este se otiene sustituyendo los ejes de coordends por un rect horizontl (líne de tierr, ó eje ()), en l cul se señl el origen por un pequeño segmento verticl que l cort. Es muy importnte tener presente que en l representción definitiv (fig.67c), los ejes de coordends y el origen no dejn de existir; si no que hn sido sustrídos de l representción, y unque no se ven diujdos ellos existen en ls posiciones que indic l fig.67. d) :Eje de coordends (). Eje sore el cul se miden ls coordends () de los puntos. ) Giro del plno horizontl de proyección ) Representción frontl después del giro del c) Representción definitiv utilizd e) :Eje de coordends (). Eje sore el cul se miden ls coordends () de los puntos. N LTERL DE PRECCIÓN. Es un plno uxilir de proyección que est definido por los ejes de coordends () y ()\ fig.66. Sore este plno, cundo se necesrio, se proyectn ortogonlmente los ojetos, denominándose ests proyecciones: proyecciones lterles. fig.67.\ Diujo en proyección diédric. CRDENDS DE UN PUNT. Son ls distncis, expresds en milímetros, que l medirse sore los ejes de coordends, prtir del origen, permiten definir con exctitud l uicción de un punto en el espcio que lo rode (fig.68). En proyección diédric, ls coordends se denominn: : Distnci l plno lterl. 22

3 PRECCIÓN DE PUNTS : Vuelo ó lejmiento. : Cot ó ltur. Ls coordends de un punto se expresn siempre en orden y seprds por punto y com (;), y el nomre del punto es siempre un letr myúscul ó un número. Por ejemplo, l notción P(08; 16; 10), identific un punto (P) con ls siguientes coordends: P : Distnci del punto (P) l plno lterl... : 08 mms. ( ; + ; + ) ) Punto en el primer cudrnte B B(B ; -B ; +B ) ) Punto en el segundo cudrnte P : Vuelo del punto (P)... : 16 mms. P : Cot del punto (P)... : 10 mms. Ls coordends de un punto, tmién representn ls distncis desde el punto los plnos principles de proyección y l plno lterl. El punto P(08 ; 16; 10), y menciondo se encuentr distncis de: C C(C ; -C ; -C ) D D(D ; +D ; -D ) 08 mms. : Del plno lterl. c) Punto en el tercer cudrnte c) Punto en el curto cudrnte 16 mms. : Del plno verticl de proyección. 10 mms. : Del plno horizontl de proyección. P (P y=16) (P =10) (P =08) ) Esquem en perspectiv (P =08) (P =10) (P y=16) 1) Esquem teórico 2) Esquem definitivo ) Proyección diédric fig.68.\ Representción diédric del punto P(08 ; 16 ; 10). En l fig.68 se muestr un esquem en perspectiv de l proyección diédric de este punto (P), y en l fig.681, l proyección diédric propimente dich del mismo; ls cifrs notds entre préntesis indicn ls medids reles que deen tener esos respectivos segmentos, estos vlores no se escrien en l lámin, de form que l representción definitiv es l mostrd en l fig.682. PSICINES PRTICULRES DE UN PUNT. Ls coordends de un punto, pueden tener vlor: positivo, cero, ó negtivo, dependiendo l posición que este ocupe con respecto l origen; unque generlmente se evit signr vlores negtivos l coordend (). Con respecto un sistem de proyección diédric, ls posiciones que puede ocupr un punto en el espcio son: ) Punto en un cudrnte\ fig.69: 1) Primer cudrnte:...(+ ; + ; + ). 2) Segundo cudrnte:...b(+b ; -B ; +B ). 3) Tercer cudrnte:...c(+c ; -C ; -C ). fig.69.\ Uicción de un punto en un cudrnte. ) Punto en un plno principl de proyección\ fig.70: 1) Plno verticl de proyección:... E(+E ; 00 ; +E ). F(+F ; 00 ; -F ). 2) Plno horizontl de proyección:... G(+G ; +G ; 00). G=G h H(+H ; -H ; 00). E=E v E(E ; 00 ; +E ) F(F ; 00 ; -F ) ) Punto en el plno verticl de proyección G h E h G v G(G ; +G ; 00) E v E h Gv G h F h F=F v H=H h H(H ; -H ; 00) ) Punto en el plno horizontl de proyección fig.70.\ Uicción de un punto en un plno principl de proyección. c) Punto en el plno lterl\ fig.71: Puede demás estr en: 1) y primer cudrnte:... Ι(00 ; +Ι ; +Ι ). 2) y segundo cudrnte:... J(00 ; -J ; +J ). 3) y tercer cudrnte:... K(00 ; -K ; -K ). 4) y curto cudrnte:... L(00 ; +L ; -L ). H v H h F h F v H h H v 4) Curto cudrnte:...d(+d ; +D ; -D ). 23

4 PRECCIÓN DE PUNTS Ι Ι h Ι v Ι h Ι(00 ; +I ; +I ) Ι v Ι h ) Punto en el y primer cudrnte J h J v J J h J h J v J(00 ; -J ; +J) ) Punto en el y segundo cudrnte R=R v R h S h R v S=S v R h R(00 ; 00; +R ) S(00 ; 00; -S ) S h S v fig.74.\ Punto en el eje (). K h K v K h K K h K v K(00 ; -K ; -K ) c) Punto en el y tercer cudrnte L L h L h L v L(00 ; +L ; -L ) ) Punto en el y curto cudrnte L h L v PRECCIÓN LTERL DE UN PUNT. Se llm sí l proyección ortogonl de un punto sore el plno lterl\ fig.75. En este sistem de proyección, el punto de oservción se encuentr un distnci infinit del plno lterl, en dirección del eje (), el cul se proyect en su totlidd en el punto de origen (). fig.71.\ Uicción de un punto en el plno lterl. d) Punto en el origen\ fig.72:...m(00 ; 00 ; 00). M=M v =M h N=N v =N h M v =M h N v =N h M(00 ; 00; 00) N(N ; 00; 00) ) Punto en el origen ) Punto en el eje () fig.72.\ Punto en el origen; punto en el eje () (líne de tierr). fig.75.\ Proyección lterl. rigen eje El punto de oservción, puede tmién uicrse en sentido opuesto l eje (), resultndo en est cso, l proyección lterl, como se muestr en l fig.76. e) Punto en un eje de coordends: 1) Eje (): fig.72...n(+n ; 00 ; 00). 2) Eje (): fig.73...p(00 ; +P ; 00). Q(00 ; -Q ; 00). 3) Eje (): fig.74...r(00 ; 00 ; +R ). S(00 ; 00 ; -S ). Q h rigen eje P= Q v Q=Q h fig.76.\ Proyección lterl. P(00 ; +P ; 00) Q(00 ; -Q ; 00) fig.73.\ Punto en el eje (). Q h Q v En el sistem de proyección lterl, los plnos verticl () y horizontl () de proyección, se encuentrn totlmente proyectdos sore los ejes () e () respectivmente, los cules se oservn cortándose 90 0, como puede oservrse en ls fig.75 y fig

5 PRECCIÓN DE PUNTS REPRESENTCIÓN DE PUNTS EN PRECCIÓN LTERL. En l fig.77, se representn ls proyecciones lterles de los puntos (,B,C y D), uicdos en los cudrntes (I; II; III y IV), respectivmente, y en l fig.77 se representn ls proyecciones lterles de los mismos puntos, cmindo el sentido del eje (). -D D l + + +D -C -B -C +B +B ( ; + ; + ) B(B ; -B ; +B ) C(C ; -C ; -C ) D(D ; +D ; -D ) fig.77.\ Proyección lterl\ ejemplos. l + -B + -D -C +D -C D l BTENCIÓN DE L PRECCIÓN LTERL DE UN PUNT, PRTIR DE SU PRECCIÓN DIÉDRIC. Generlmente l proyección lterl de un punto se otiene prtir de su dole proyección ortogonl. En l fig.78, se muestr, mner de ejemplo, el procedimiento seguir pr determinr l proyección lterl ( ) de un punto (), prtir de sus proyecciones verticl ( ) y horizontl ( ) (fig.78) siguiendo pr ello el procedimiento siguiente: EJE (): Coincide con l líne de tierr, y se dirige hci l derech ó izquierd (en el ejemplo hci l derech). ) Se trsldn l cot ( ) y el vuelo ( ) del punto () hci el eje ()\ fig.78c. c) Se rot, medinte un rco con centro en el punto () y recorriendo un cudrnte pr (en el ejemplo el IV C), el vuelo ( ) del punto (), desde el eje () hst el eje () (fig.78d); y se define l proyección lterl ( ) del punto () por medio de rects prlels los ejes ( e ). Ejemplo1: Definir ls proyecciones lterles de los puntos (;B;C; y D)\ fig.79. Solución: En l fig.79, se muestr como otener ls proyecciones lterles de estos puntos; uicndo el eje () igul distnci l plno lterl que el punto (B), y dirigiendo el eje () hci l derech. Puede oservrse en l fig.79, que los rcos hn sído trzdos recorriendo sólo los cudrntes pres (II C ó IV C). L rzón de esto es mntener el signo del vuelo de los respectivos puntos en mos sistems, uicndo sus proyecciones lterles en el cudrnte correcto. II C I C c d II C D l III C IV C VI C fig.79.\ tención de ls proyecciones lterles prtir de l dole proyección ortogonl\ ejemplo. fig.78.\ Determinción de l proyección lterl de un punto (), prtir de su dole proyección ortogonl. ) Se definen los ejes de proyección\ fig.78: EJE (): Perpendiculr l líne de tierr, y por culquier punto () de ell. Ejemplo2; Definir l proyección lterl del triángulo de vértices (;B;C)\ fig.80. Solución: \ fig

6 PRECCIÓN DE PUNTS fig.80.\ Proyección lterl de un triángulo (;B;C). PSICIÓN RELTIV ENTRE DS PUNTS. En l fig.81, se señln los nomres ddos los sentidos de vnce de cd uno de los ejes de coordends. En se estos sentidos, se puede expresr, en form reltiv, l posición de un punto con respecto otro. : Hci delnte. : Hci rri (ms lto) : Hci l derech. ) Expresión de los sentidos de los ejes de coordends ) Dole proyección ortogonl de los puntos ( y B) fig.81.\ Posición reltiv entre dos puntos. Ejemplo: Definir ls proyecciones de los puntos: (L solución se present en l fig.82) (45;-20; 05) B (?; 25;?) 10 mms del plno lterl; y 5 mms por encim de (). C (?;?;?) 15 mms l derech de (B); 30 mms delnte de (); y 15 mms por encim del plno horizontl de proyección. D (60;?;?) En el IV cudrnte; 15 mms del plno horizontl de proyección; y 20 mms del plno verticl de proyección. E (?;?;?) Contenido en el plno verticl de proyección; 25 mms l izquierd de (D); y 15 mms dejo del plno horizontl de proyección. F (?;?;?) En el eje (); y 35 mms por dejo de (C). G (65;?;?) 05 mms delnte de (); y 30 mms ms lto que (D). H (?; 10; 20) En el plno lterl. Ejemplo: Expresr l posición reltiv entre los puntos ( y B)\ fig.81. Ι (?;?;?) En l líne de tierr; 15 mms del origen. Solución. L posición reltiv entre los puntos ( y B) puede expresrse, entre otrs, de ls siguientes mners: H v G v =G h ) El punto () se encuentr l izquierd (tiene menos distnci l plno lterl); por dejo (tiene menos cot); y por delnte (tiene myor vuelo) del punto (B). ) El punto (B) se encuentr l derech (tiene ms distnci l plno lterl); ms lto (tiene myor cot); y por detrás (tiene menor vuelo) del punto (). F h H h Ι v =Ι h E h v En resumen: Comprndo ls distncis l plno lterl de dos puntos, puede decirse cul de ellos está l izquierd ó l derech del otro; comprndo los vuelos de dos puntos, se define cul de ellos está por delnte ó por detrás del otro; y, comprndo ls cots de dos puntos, puede determinrse cul de ellos está por encim o por dejo del otro. F v E v escl mms fig.82.\ Proyección de puntos\ ejemplo. 26