Geometría 1. Ejercicio 2.

Transcripción

1 Geometría A = 2 a b Ejercicio 1. Dada la matriz c a d halla a, b, c d sabiendo que Ejercicio 2. i.el ector cuas coordenadas son las que aparecen en la primera columna de A es ortogonal al ector (1,-1,-1), ii.el producto ectorial del ector cuas coordenadas son las que aparecen en la tercera columna de A por el ector (1,0,1) es (-2,3,2) iii.el rango de la matriz A es 2. a.prueba que los ectores u = (2,-1,0) = (1,0,1) son linealmente independientes. b.halla el alor de t para el cual el ector w = (8,-5,t) depende linealmente de u. Ejercicio 3. Considera los ectores u = 1,1,1, = 2,2, a w = a.halla los alores de a para que los ectores u, w sean linealmente independientes. b.determina los alores de a para los que los ectores Ejercicio 4. Sean ortogonales. u = a.determina los alores de x para los que los ectores son linealmente independientes. b.halla los alores de x para los que los ectores son ortogonales dos a dos. Ejercicio 5. Encuentra un ector w cua primera componente sea 2 que sea perpendicular a los ectores u = (1,-1,3) = (0,1,-2). ( ) ( ) ( 2,0,0). son 3 ( x,2,0), = ( x, 2,1) w = ( 2,-x,-4x) tres ectores de R. u + u w

2 Ejercicio 6. Sean las rectas r a. Para qué alor de m están r s contenidas en un mismo plano?. b.en el caso en qué m = 1, halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A = Ejercicio 7. (1,1,2) corta a r a s. a.explica como se puede hallar el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus értices en el espacio tridimensional. b.aplica dicho procedimiento para hallar el área del triángulo cuos értices son los Ejercicio 8. puntos A = (-1,0,0), B = (1,0,1), C = (0,2,3). a.determina la ecuación del plano que es paralelo al ector u = (1,2,3) contiene a la recta que pasa por el punto P = (1,1,1) es paralela al ector = (1,1,1). b.determina la ecuación del plano que pasa por el punto P = (1,1,1) es perpendicular al ector u = (1,2,3). Ejercicio 9. Considera los puntos A = (2,-1,) B = (-1,-1,2). a.determina los puntos del segmento AB que lo diiden en tres segmentos iguales. b.encuentra un punto C sobre la recta r de ecuaciones de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en C. Ejercicio 10. Un punto M se muee en el espacio tridimensional de manera que en un instante de tiempo t encuentra en el punto (1+ t, 3+ t, 6+2t). a. Es esta traectoria una línea recta?. Si es así, escribe sus ecuaciones de dos formas distintas. b.halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la traectoria de M pasa por punto (1,1,0). ( x 1 )/ 3 = / 2 = ( z m) /( 1) s x / 2 = / m = ( z + 1) / 2 x 1 1 z 1 r = = 1 1 2

3 Ejercicio 11. El ángulo entre dos ectores u es de 120º se sabe que el módulo de u es 5 el de es 3. a.determina el alor del número real α para el que los ectores ( u - ) (α u + ) son ortogonales. b. Cuánto ale el módulo de u?. Ejercicio 12 a.determina las ecuaciones de la recta que pasa por el origen de coordenadas es perpendicular al plano determinado por el punto (1,1,1) la recta de ecuaciones z = 6 s b.el mismo problema pero para la recta de ecuaciones 3x z = 1. Ejercicio 13. En el segmento cuos extremos son los puntos A = (1,2) B = (2,3) ha un punto P tal que la relación que existe entre los ectores PA PB es la siguiente: PA = 3/2PB. Calcula dicho punto. Ejercicio 14. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1,1,2) es paralelo a las rectas r s dadas por: Ejercicio 15. Calcula de manera razonada, un plano que sea paralelo al plano de ecuación x + + z = 1 determine con los ejes coordenados un triángulo cua área sea 18 Ejercicio 16. Considera el tetraedro formado por el origen de coordenadas los tres puntos en los que el plano π : 2x z 6 corta a los ejes coordenados. Calcula el alor de su olumen., r 2x + 3z = 1. r ( x 2) /( 1) = /1 = ( z + 1) / 2 2x + z = 2 s x + + 3z = 1 3.

4 Ejercicio 17. Considera el punto P = (2,1,3) la recta de ecuaciones a.halla la ecuación de la recta que pasa por P corta perpendicularmente a r. b.determina dos puntos A B de la recta r de forma que el triángulo PAB sea equilátero. Ejercicio 18. Calcula dos ectores u = (1, u2, u3, ) u = (1, 2, 0) de R 3 que formen un ángulo de 45º cuo producto ectorial es el ector w = (1, 1, 0). Ejercicio 19. Sean r s las rectas dadas por: Determina la ecuación de un plano que contenga a r sea paralelo a s. Ejercicio 20. Cuatro puntos A; B, C D tienen las siguientes coordenadas: A = (1,2,3), B = (0,1,-2), C = (3,1,0) D = (m,-1,4). a. Existe algún alor de m para el que los cuatro puntos están sobre una línea recta? En caso afirmatio, determina dicha recta; en caso negatio, di porque no están alineados. b. Existe algún alor de m para el que los cuatro puntos están sobre un plano? En caso afirmatio, determina dicho plano; en caso negatio, di porqué no son coplanarios. c.para m = 2, determina estos cuatro puntos un tetraedro; en caso negatio, di porque no lo determinan. Ejercicio 21. Considera el tetraedro de értices A = (1,0, 0), B = (0,1,0), C = (0,0,1) D = (0,0,0). a.halla la recta r que pasa por D es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B C. b.halla la mínima distancia entre la recta r la recta que pasa por los puntos A B. c.calcula el olumen del tetraedro. 5 r r 2x + z 3x2-3 s 2x +

5 Ejercicio 22. Sea π el plano que pasa por los puntos (1,0,0), B = (0,1,1) C = (1,1,1). Sea A el punto (1,2,3) sea B el simétrico de A respecto del plano π. a.halla la recta que pasa por A por el punto medio del segmento AB. b.halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (2,2,2). Ejercicio 23. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P = (1,0,2) corta a las rectas r s dadas por: Ejercicio 24. Un 8 paralelogramo cuo centro es M = (3/2, 3, 4) tiene por értices los puntos A = (1,2,3) B =(3,2,5). a.halla las coordenadas de los otros dos értices. b.halla la ecuación de la recta que pasa por M es perpendicular al plano que contiene al paralelogramo. c.calcula el área del paralelogramo. Ejercicio 25. Considera el punto P = (-1,2,1). a.determina un punto Q del plano π 3 x + + z + 5 de forma que el ector PQ sea perpendicular al plano π. b.determina un punto M de la recta de forma que el ector MP sea paralelo al plano π. c.calcula el área del triángulo MPQ. Ejercicio 26. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,-1), es perpendicular al plano x 1 + 2z + 1 es paralelo a la recta Ejercicio 27. Calcula el área del triángulo de értices x + 2 z 2x r = = s z x 2 r = 1 2 z + 1 = 1 z 10 1 A(1,1,2), B(1,0,-1) C(1,-3,2).

6 Ejercicio 28. Halla la perpendicular común a las rectas = 1+ a r = a = a Ejercicio 29. Sabiendo que las rectas = β s = 2 + 2β se cruzan, halla los puntos A B, de r s respectiamente, que están a mínima distancia. Ejercicio 30. Dados los ectores u = ( 2,1,0) = ( 1,0,1), halla un ector unitario b w que sea coplanario con Ejercicio 31. Calcula el área del triángulo de értices A(0,0,1), B(0,1,0) C, siendo C la proección ortogonal del punto (1,1,1) sobre el plano x + + z = 1. Ejercicio 32. Sean A(-3,4,0), B(3,6,3) C(-1,2,1) los értices de un triángulo. a.halla la ecuación del plano π que contiene el triángulo. b.halla la ecuación e la recta que es perpendicular a π pasa por coordenadas. c.calcula el área del triángulo ABC. Ejercicio 33. Sean los ectores u a. Son los ectores 1, 2 3 linealmente dependientes?. el origen de b. Para que alores de a el ector (4,a +3,-2) puede expresarse como combinación lineal de los ectores = 1+ µ r x = = z s = 3 + µ = µ ortogonal a. c.calcula un ector unitario perpendicular a 1, 2 3?. 1 (,1,0), = ( 2,1, 1) = ( 2,3, 1)

7 Ejercicio 34. a.halla los dos puntos que diiden al segmento de extremos A(1,2,1) B(-1,0,3) en tres partes iguales. b.determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.