Geometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

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1 Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser ciertas, justifíquense; en caso contrario, póngase ejemplos que lo confirmen: a El producto mixto de tres vectores cualesquiera no nulos es siempre distinto de cero. b Si a,b y c son tres vectores del espacio tridimensional no nulos que satisfacen la condición a b a c, entonces se verifica que b c. (Sol: Falsas ambas (Junio-96 Sea ABC un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es A. Hallar el coseno del ángulo A sabiendo que las medianas traadas desde los vértices B y C son recíprocamente perpendiculares. (Sugerencia: Tomar ejes coordenados XOY haciendo que el eje OX coincida con BC y que el eje OY coincida con la altura desde el vértice A a BC 4 (Sol: cos A 5 4 (Sept-96 Es siempre cierto que a b a b a b (el " " representa el producto vectorial? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme. (Sol: Cierto 5 (Junio-97 Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas raonando las respuestas: 1ª. Si los puntos A, B, C y D pertenecen a un mismo plano, entonces los vectores AB, AC y AD son linealmente independientes. º. Sean ( A, v y ( A', v' las determinaciones lineales de dos rectas r y r'. Si los vectores son linealmente dependientes, entonces las rectas r y r' son coplanarias. (Sol: 1º Falso; º Cierto AA', v, y v' 6 (Junio-97 Dos varillas AA' y BB', de espesor despreciable, están entrelaadas por una goma elástica (del modo en que se indica en la figura adjunta. José Manuel del Toro Geometría - 1

2 La goma, que está tensa, puede desliar libremente por las varillas (sin roamiento. Se sabe que las varillas ocupan las posiciones (en ejes cartesianos rectangulares xy: x y 4 5 x y AA ' BB' 1 4 1º. Qué posiciones relativas tienen las rectas AA' y BB'? º. Hallar la longitud total de la goma elástica en su posición de equilibrio. ( Sol: 1º Se cruan ; º d = A B A' B' 7 (Sept-97 Los rayos del Sol descienden según la dirección y el sentido del vector (-5, -1, en el plano XOY. En el punto A(1, se sitúa un pequeño espejo plano de manera que el rayo de Sol que llega a A, tras reflejarse en el espejo, pasa por el punto B (,. Hallar la ecuación de la recta sobre la que se asienta el espejo (Sol: y ( x B Y A X 8 (Junio-98 a Comprobar que los vectores a ( 1,1, b ( 1,, c (1,,5 son linealmente dependientes. b Encontrar la ecuación del plano determinado por el punto Q (1,,1 y los vectores b y c. (Sol: b x y 9 (Junio-98 Encontrar los vectores unitarios de que son perpendiculares a v (1,,1 y forman un ángulo de 6º con 1 w, 1, (Sol: 1, 1, ; 1, 1, 1 (Sept-98 a Hallar un punto A que está sobre la recta y 1 x, 1 x, que diste del punto B(1,,1 doble que del punto C (,, y que está por debajo del plano XY. b Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto en el que la recta dada en el apartado anterior corta al plano YZ. 1 1 (Sol:a A ( 1,, 1 ; b C ',,1 11 (Sept-98 Determinar, en función de los distintos valores de, la posición relativa de los planos José Manuel del Toro Geometría -

3 1 x y 1 x y 1 x y 1 (Sol: Si 1, se cortan en un punto; b Si 1 se cortan en una recta; c Si se cortan dos a dos. 1 (Junio-99 a Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones x 4y 5 y x y 9. b Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos? x b, 15, ;,, (Sol: a Dos planos, y 5 ; 19x y (Junio-99 Dados los puntos A ( 1,,1, B (,,1 y C (1,, 1, se pide: a Obtener la ecuación del plano que los contiene. b Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano. c Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas. (Sol: a 6x y 6 ; b 46 d ; c V = 14 (Junio-99 Sean A, B y C los puntos de la recta coordenados x, y y, respectivamente. y 6 6 x 1 que están en los planos a Determinar raonadamente cual de los tres puntos se encuentra entre los otros dos. b Siendo D un punto exterior a la recta, indicar, raonadamente, cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tiene mayor área. (Sol: a C está entre A y B; b Triángulo DAB 15 (Sept-99 Sean la recta r y el plano dados por x 1 r y x y 1 a Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano. b Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre. (Sol: a 4 1 x y 1 ; b (Junio- Resolver la siguiente ecuación vectorial x (,1, 1 (1,,5, sabiendo que x 6 (Sol: (1,-,1 ; (5/,-5/,/ 17 (Junio- Sean los puntos P (8,1,8 y Q ( 4, 11, 8. Se considera el plano, perpendicular al segmento PQ por su punto medio. José Manuel del Toro Geometría -

4 a Obtener la ecuación del plano b Calcular la proyección ortogonal del punto O (,, sobre c Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano corta a los ejes coordenados y el origen de coordenadas (Sol: a x 6y 4 1 ; b,, c 4 18 (Sept- Se consideran los puntos A ( 1,,, B(1,1, y C(1, 1, a Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor que tome el parámetro b Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos (Sol: Area = 1 x 1 19 (Sept- Sean la recta 1 y r y el plano x y k m 4 a Calcular m y k para que la recta sea perpendicular al plano. b Calcular m y k para que la recta esté contenida en el plano. (Sol: a m 8, k 1/ ; b m 4, k (Junio-1 Dados el plano x y 1, la recta r ( x, y, (1,, (,1,1, y el punto P (1,1,, se pide: a Hallar la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P. b Hallar el punto P, simétrico de P respecto de r. c Hallar el punto P, simétrico de P respecto de. x 1 y (Sol: a ; b P '(1,,1 ; c P '',, (Junio-1 Sean las rectas y 1 1 r x k a Hallar k para que r y s sean coplanarias. x 1 s y b Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. c Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas. (Sol: a k 1; b x y ; c x 5/ 4 y 7 / 4 1/ 1 1 (Sept-1 Sean A, B y C tres puntos del espacio tridimensional que verifican la relación: CB CA a Calcular el valor que toma k en la expresión AC k AB José Manuel del Toro Geometría - 4

5 b Si A ( 1,, 1 y B (,6,9, hallar las coordenadas del punto C que cumple la relación de partida. (Sol: a k 1/ 4 ; b C,, (Sept-1 Se considera el tetraedro cuyos vértices son A (1,,, B (1,1,1, C (,1, y D (,1,. a Hallar el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD. b Calcular la distancia de D al plano determinado por los puntos A, B y C. c Hallar la distancia entre las rectas AC y BD. (Sol: a ; b ; c (Junio- Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta r: x 1 t ; y 1 t ; t y es perpendicular al plano : x y (Sol: x y 5 (Junio- Los puntos A (1,1,1, B (,,, C (1,, son tres vértices consecutivos de un paralelogramo. Se pide: a Hallar las coordenadas del cuarto vértice D y calcular el área de dicho paralelogramo. b Clasificar el paralelogramo por sus lados y sus ángulos. (Sol: a D(,, ; b Rombo 6 (Sept- Se consideran las rectas x y 1 r ; 1 a Calcular la distancia entre r y s. x y 1 s 1 1 b Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y s y que corta a ambas. c Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta que corta a r y s y que pasa por el punto P(1,,. (Sol: a 5 ; b x y 7 7 ; c 1 1 x 1 y (Sept- Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes: 1 x y a ; x ay 1 ; ax y Se pide: a Calcular los valores de a para los cuales los tres planos anteriores contienen una recta común. b Para los valores de a calculados, hallar una ecuaciones cartesianas de dicha recta común. José Manuel del Toro Geometría - 5

6 x y (Sol: a a ; b y 1 8 (Junio- Dadas las rectas en el espacio: x y 1 r 1 a Hallar la distancia entre las dos rectas x 1 y 1 s 1 b Determinar las ecuaciones de la perpendicular común a r y s (Sol: a ; b x y x y 1 9 (Junio- Dados el plano x y 1 y la recta r. Se pide: 6 1 a Hallar la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a. b Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos, (Sol: a 5x 7y ; b x 5 y 1 (Sept- Dados los puntos A (1,,1 y B (,,, y el plano x y 7 que es perpendicular al plano y pasa por los puntos A y B. (Sol: x y, determinar el plano 1 (Sept- Dadas las rectas x 1 y 1 k r, x y s x 1 a Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano. b Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene. (Sol: a k 4 ; b x y 5 x 1 y 1 (Sept- Dados el plano x y y la recta r, se pide: 1 a Calcular el punto Q en el que se cortan el plano y la recta r. b Encontrar un plano, paralelo a, tal que el punto Q en el que se cortan el plano y la recta r esté a distancia del punto Q hallado en el apartado anterior. (Sol: a Q ( 1,, 1 ; b x y 1 (Junio-4 Se consideran la recta y los planos siguientes: José Manuel del Toro Geometría - 6 x r y 1 ; 1 x y ; x y 4

7 a Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos. b Determinar la posición relativa de los dos planos. c Calcular la distancia de r a (Sol: a r 1 = un punto ; r = recta ; b Se cortan en una recta ; c d 6 4 (Junio-4 a Determinar la posición relativa de los siguientes planos, para los distintos valores del parámetro k: x y k ; x ky 1 ; x y k 1 b En los casos en que los tres planos anteriores se corten a lo largo de una recta común, hallar un vector director de dicha recta. (Sol: a Si k 1/, k se cortan en un punto ; Si k se cortan en una recta ; Si k 1/ los dos últimos paralelos y el primero corta a ambos 5 (Sept-4 Sea el plano x y 6 a Hallar el punto simétrico del (,, respecto de. b Hallar el plano perpendicular a que contiene al eje OZ. c Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos de intersección de r con los ejes coordenados. (Sol: a O (6/7,1/7,18/7 ; b ' x y c V 6 6 (Sept-4 a Hallar el conjunto formado por los puntos del plano que distan unidades del plano de ecuación x y 4. b Describir dicho conjunto. x y 1 (Sol: a Rectas r : ; x y 5 : s ; b ( x, y, R ( x, y, r ó s 7 (Sept-4 El plano x y determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide: a Calcular la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen. b Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a dicha altura. c Calcular el área de la cara del tetraedro que está contenida en el plano. (Sol: a x a ; b r : y ; c S José Manuel del Toro Geometría - 7

8 8 (Junio-5 Dado el punto P(1,,-1, se pide: a Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x,y, cuya distancia a P sea igual a. x b Calcular los puntos de la recta: y 1 cuya distancia a P es igual a. 1 4 (Sol: a ( x 1 ( y ( 1 9 b P 1 (,1,1, P (,,- 9 (Junio-5 Dadas las rectas: x 1 y 1 1 x 1 y r s a Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ambas. b Calcular la mínima distancia entre r y s. x 1y 6 1 (Sol: a ; b x 5y 9 5 d 5 4 (Sept-5 Discutir según los valores del parámetro real la posición relativa de los planos: : x 1 : 4x ( y ( : ( 1x ( 6 (Sol: Si, 8/ se cortan en un punto ; Si, 1 y los corta ; Si 8/, 1 y los corta 41 (Sept-5 Se consideran las rectas: x y r : x y a Hallar la recta t, perpendicular a r y s, que pasa por el origen. x 4 s x y 7 b Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado a x y (Sol: a b P(,.-1, (Sept-5 Se considera la familia de planos: mx ( m y ( m 1 ( m 1, siendo m un parámetro real. Se pide: a Determinar la recta común a todos los planos de la familia. b Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P(1,1, c Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta x 1 r : y 1 x 1 (Sol: a x y 1 ; b x 7y 6 c x 1y 15 5 José Manuel del Toro Geometría - 8

9 4 (Junio-6 Sean las rectas: x 1 y x y 1 r : s : a Hallar la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores. b Hallar la recta perpendicular común a las rectas r y s. (Sol: a 4x y 7x 5y ; b x 8y 5 x 15y (Junio-6 Sea r la recta que pasa por el origen de coordenadas O y tiene como vector director v (4,,1. Hallar un punto P contenido en dicha recta, tal que si se llama Q a su proyección sobre el plano :, el triángulo OPQ tenga área 1. (Sol: 4 P, 1,, P,, (Junio-6 Determinar la posición relativa de las rectas : (Sol: Paralelas x 4 r : y x y 5 5 s : x y 4 46 (Sept-6 Se consideran los puntos A(,1, y B(1,,1. Se pide: a Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X ( x, y, que equidistan de A y B. b Determinar la ecuación que deben verificar los puntos X ( x, y, cuya distancia a A es igual a la distancia de A a B c Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos C ( x, y, del plano x y tales que el triángulo ABC es rectángulo con el ángulo recto en el vértice A. (Sol: a x y ; b x ( y 1 ; c x r : y 1 47 (Sept-6 Un plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A ( 1,,, B(,,, C(,,4. Se pide: a Hallar el valor de de manera que el volumen del tetraedro OABC (donde O es el origen, sea b Para el valor de obtenido en el apartado a, calcular la longitud de la altura del tetraedro OABC correspondiente al vértice O. (Sol: a ; b 1/1 José Manuel del Toro Geometría - 9

10 48 (Junio-7 Dados el punto A(1,-,-, la recta x y 1 r : y el plano x y 1, se pide: a Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a. b Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a. (Sol: a x y ; b s: x 4 y (Junio-7 Sean los puntos A (,,, B(,,, C(,,. a Existe algún valor de para que los puntos A, B y C estén alineados? b Comprobar que si A, B y C no estén alineados el triángulo que forman es isósceles. c Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo ABC para el valor y hallar la distancia de este plano al origen de coordenadas. (Sol: a No; c x y, d / 5 (Sept-7 Hallar los puntos de la recta x y 1 es igual a 1. x y 5 1 r : cuya distancia al plano de ecuación (Sol: P(,,; P(6,8,-4 x y x 4 51 (Sept-7 Se consideran las rectas: r : s : x y x y 7 Hallar la ecuación continua de la recta que contiene al punto P(,-1, y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores. x y 1 (Sol: 1 1 x y 1 x y 5 5 (Sept-7 Sean las rectas r : s : 1 1 x 8 a Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s b Calcular la distancia entre el plano y la recta s. (Sol: a : x 5y 4 1 ; b 4/5 5 (Junio-8 Dadas las rectas: x ay r : ay 1 x 1 s : y a Discutir la posición relativa de las dos rectas r, s según los valores del parámetro a. b Si a 1, calcular la distancia mínima entre las dos rectas r, s. (Sol: a Si a, se cruan; Si a, se cortan ; b d José Manuel del Toro Geometría - 1

11 54 (Junio-8 Dados los puntos A(,,1, B(1,,-1, C(,1, y D(1,,, se pide: a Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios. b Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C. c Hallar la distancia del punto D al plano. (Sol: b x y 1 ; c d (Junio-8 Dados el plano x y 1 y el punto P(1,,, se pide: a Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P. b Hallar el punto Q intersección de y r. c Hallar el punto R intersección de con el eje OY. d Hallar el área del triángulo PQR. (Sol: a x 1 y r : ; b Q (,,4 c R (, 5, ; d 1 S (Sept-8 Dados los puntos P(1,1,, Q(,1,, se pide: a Hallar todos los puntos R tales que la distancia entre P y R sea igual a la distancia entre Q y R. Describir dicho conjunto de puntos. b Hallar todos los puntos S contenidos en la recta que pasa por P y Q que verifican dist( P, S dist( Q, S, donde dist significa distancia. (Sol: a Plano x 5 ; b S 1( 1,1,, S (1/,1,1 57 (Sept-8 Dadas las rectas: x 1 y r : 1, x y 1 s : 4 Hallar la ecuación de la recta t perpendicular común a ambas. x y 1 (Sol: t : (Sept-8 Dados el plano x y 1 y la recta 1 a Hallar el punto P determinado por la intersección de r con 1 x 1 y 1 r :, se pide: 4 b Hallar un plano paralelo a 1 y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos 1 y tenga longitud 9 unidades. (Sol: a P (,, 4 ; b Planos x y x y 59 (Junio-9 Dado el plano x y 4, se pide: José Manuel del Toro Geometría - 11

12 a Calcular el punto simétrico P del punto O(,, respecto del plano b Calcular el coseno del ángulo que forman el plano y el plano x c Calcular el volumen del tetraedro T determinado por el plano, y los planos x, y, (Sol: a P,, ; b cos( ; c V 11 9 x 1 y 6 (Junio-9 Dadas las rectas r : ; 1 x y s :, se pide: 1 1 a Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s b Determinar la distancia entre las rectas r y s c Estudiar si la recta t paralela a r y que pasa por O(,, corta a la recta s (Sol: a x 1 ; b 7 5 ; c No se cortan 5 61 (Sept-9 Dadas las rectas: x y r 1 los cuales las rectas r y s se cortan perpendicularmente. (Sol: a 1 y b 1 a, x y s, determinar los valores de a y b para b (Sept-9 Dado el plano x y 1, hallar las ecuaciones de los planos paralelos a que se encuentran a unidades de (Sol: x y 1 ; x y 8 1 x 1 y 6 (Sept-9 Dada la recta : r y el plano x y 1, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto del plano. x y 1 1 (Sol: r ' x y (Junio-1 Fase General Dadas las rectas : r, 1 a Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s. b Calcular la mínima distancia entre las rectas r y s. x y s, se pide: x 11y (Sol: a t ; b 51 5x 5y y (Junio-1 Fase General Dadas las rectas : r x, 1 a Hallar la ecuación del plano determinado por r y s. x s :, se pide: x y José Manuel del Toro Geometría - 1

13 b Hallar la distancia desde el punto A(,-1,-1 a la recta s (Sol: a 5x 4y 1 ; b 5 66 (Junio-1 Fase General Sea el plano que contiene a los puntos P (1,,, Q(,, y R (,, pide: a Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos P, Q y R. b Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano (Sol: a Vol = 1 ; b O ',, Se x 1 y 1 67 (Junio-1 Fase Específica Dada la recta : r y el punto P (,, 1, se pide: 1 a Hallar la distancia del punto P a la recta r. b Hallar las coordenadas del punto P simétrico de P respecto de la recta r. (Sol: a ; b P ',, (Junio-1 Fase Específica Dado el plano x ay 4 5 la recta : se pide: a Calcular los valores de a para los que la recta r está contenida en el plano. y 1 r x 1, 5 b Para el valor a, hallar el punto (o los puntos que pertenecen a la recta perpendicular a que pasa por 11 P,,, y que dista (o distan 6 unidades de. c Para a, hallar el seno del ángulo que forman r y (Sol: a a 11; b P 1, 1,, P,1, ; c 4º 7 69 (Sept-1 Fase General Dadas las rectas y 1 r 1 : ; x r :, se pide: y a Hallar la ecuación de la recta t que corta a r 1 y r y es perpendicular a ambas. b Hallar la mínima distancia entre r 1 y r y (Sol: a t ; b x José Manuel del Toro Geometría - 1

14 7 (Sept-1 Fase General Dadas el plano 1 x y a y el plano determinado por el punto P (,,4 y los vectores v 1 (,,6 y v (1,, b se pide: a Calcular los valores de a y b para que 1 y sean paralelos. b Para a 1 y b determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de 1 y. c Para a 4 y b determinar los puntos que están a igual distancia de 1 y. (Sol: a a, b ; b x / t : y ; c x y 1 71 (Sept-1 Fase Específica Se consideran las rectas: x 1 x y 1 r y s x y Determinar la ecuación de la recta t que pasa por el punto P (,1, y corta a las rectas r y s x 6y 8 (Sol: t x y 7 7 (Sept-1 Fase Específica Dadas las rectas: x y r x y 1 x 1 y 1 s 1 a Dados los puntos A ( 1,, 1 y B ( a,,, determinar el valor de a para que la recta t que pasa por los puntos A y B, sea paralela a la recta s. b Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s (Sol: a a ; b 17x y (Sept-1 Fase Específica Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos 5x y 7 1 y x y 5 (Sol: x 19y (Junio-11 a Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas r1 x y ; y r ; x r con el plano x y 7 4 b Hallar la recta s que corta perpendicularmente a las rectas: x 1 y 5 1 x y 1 1 r 4, r José Manuel del Toro Geometría - 14

15 8x 7y (Sol: a Vol = ; b t x y (Junio-11 Dados los planos x y 1, x y 1 1 a Estudiar su posición relativa. b En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan. (Sol: a Se cortan en una recta ; b v (,, 1, P ( /, 1/, 76 (Sept-11 Dados los planos x y 1 ; x y 1 y la recta 1 x 1 1 r y 1. Se pide: a El punto o puntos de r que equidistan de 1 y b El volumen del tetraedro que 1 forma con los planos coordenados XY, XZ e YZ c La proyección ortogonal de r sobre el plano (Sol: a P (,, y P(1/, 5/ 4, 5/ ; b Vol = 1/6 ; c x y t x y 1 77 (Sept-11 Dado el punto P(,1,1 y las rectas: x 1 y 1 r ; 1 1 a Determinar las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r x s. Se pide: y b Determinar la recta que pasa por el punto P, tiene dirección perpendicular a la recta r y corta a s x (Sol: a P '(4/, 1/, / ; b y 78 (Junio-1 Dados los puntos P 1(1,, 1, P ( a,,, P (1,5,4 y P 4 (,,, se pide: a Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano. b Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices en P 1, P, P y P 4 tenga volumen igual a 7 c Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P 1 y P (Sol: a a = 4/ ; b a = 1/, a = -/ ; c 4x 1y 1 79 (Junio-1 Dadas las rectas a Estudiar su posición relativa. x y 1 r1 y 5 b Hallar la mínima distancia de r 1 a r r x 1 y 5 (Sol: a Se cruan ; b 4 José Manuel del Toro Geometría - 15

16 8 (Sept-1 Se dan la recta r y el plano, mediante: x 4 y 1 r 1, x y 7 1 Obtener los puntos de la recta r cuya distancia al plano es igual a uno. (Sol: P( /, 8/,, P(14/, /, 81 (Sept-1 Dadas las rectas: x 1 y r ; x y 4 s. Se pide: x 4 a Hallar la ecuación del plano que pasa por A(,,4 y es paralelo a las rectas r y s b Determinar la ecuación de la recta que pasa por B ( 4, 1, y es perpendicular al plano hallado anteriormente. x 4 y 1 (Sol: a x y 11 ; b t : 1 8 (Sept-1 Dado el punto P (,1, 1, se pide: a Hallar el punto P simétrico de P respecto del punto Q (,, b Hallar el punto P simétrico de P respecto de la recta r : x 1 y 1 c Hallar el punto P simétrico de P respecto del plano x y (Sol: P '(4, 1, 5 ; b P ''(,1,1 ; c P '''(8/, 5/, 1/ 8 (Junio-1 Dado el punto P(1,, y las rectas a Determinar la posición relativa de r y s x 1 r y 1 b Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s c Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s x 1 s y (Sol: a Se cruan; b x 4y 5 ; c x y 5 x y 84 (Junio-1 a Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (,1,1 y que pasa por el punto P (4,6, con la superficie esférica de de centro C( 1,, 1 y radio 6 b Hallar la distancia del punto Q (,1, a la recta (Sol: a P (1/, 17/, 5/ y Q ( 4,, ; b x 1 r y José Manuel del Toro Geometría - 16

17 x y 1 85 (Junio-1 Dados el punto P ( 1,, 1, el plano x y 1 y la recta r x Se pide: a Determinar la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a la recta r y perpendicular al plano b Hallar el ángulo entre r y (Sol: a x y ; b arcsen 1 86 (Sept-1 Dados los puntos A (,,1, B(,1,, C(,, 4, D(, 6,, se pide: a Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos y hallar la distancia entre los lados paralelos. b Hallar el área del triángulo ABC. (Sol: a 149 d ; b 149 S 87 (Sept-1 Dados el punto P( 1,, 1 y el plano x y, sea S la esfera que es tangente al plano en un punto P de modo que el segmento PP es uno de sus diámetros. Se pide: a Hallar el punto de tangencia P. b Hallar la ecuación de S. (Sol: a P '(,,1 ; b 1 9 S : x ( y (Sept-1 Sea r A la recta con vector director ( 1,, que pasa por el punto A (1,,1, r B la recta con vector director ( 1,1,1 que pasa por B( 1,, pide: y C a Hallar para que las rectas r A y r B se corten. r la recta con vector director ( 1,1, que pasa por C ( 1,1,. Se b Hallar para que la recta r A sea paralela al plano definido por r B y r C c Hallar el ángulo que forman r B y r C. (Sol: a 1 ; b 1 ; c 9º x 89 (Junio-14 Dados el punto P(1,,1, el plano x 5y 6 1, y la recta r, se pide: a Calcular el punto P' simétrico de P respecto de r b Hallar la distancia de P a r. c Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(,, y las intersecciones del plano con los ejes coordenados OX, OY y OZ. José Manuel del Toro Geometría - 17

18 (Sol: a 17 5 P ',, ; b ; c 1/ (Junio-14 Dados el plano x y, y la recta a Estudiar la posición relativa de r y. b Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a. x 1 r, se pide: y c Determinar la recta que pasa por A(-,1,, corta a r, y es paralela a (Sol: a Se cortan en el punto (1,,-1 ; b x y 4x 5 ; c ; c x y 1 6 5/ 91 (Sept-14 Dados los puntos y la recta A(,,, B(, 4, 1, C(5,4, y A (,1,4, se pide: a Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b Calcular el volumen del tetraedro ABCD (Sol: a 17 ; b 5/ 9 (Sept-14 Dados los planos x 1, x, x y,, se pide: 1 a Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por 1 y b Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano (Sol: a x r : y ; b (Sept-14 Dado el plano y la recta r siguientes: x y, a Estudiar la posición relativa de r y b Calcular la distancia entre r y x 1 t r y t, se pide: 1 t c Obtener el punto P' simétrico de P(,,1 respecto del plano (Sol: a Son paralelos; b 5/ ; c P'(-1,4, 94 (Junio-15 a Dados los vectores u (,,4, v ( 1, 1, 1 y w ( 1,, 5, encontrar los valores de que hacen que el paralelepípedo P generado por u, v y w tenga volumen 6. b Obtener la ecuación de la recta incluida en el plano, con dirección perpendicular a u (, 1,4 y que pasa por el punto ( 1,1, (Sol: a, 6 ; b x 1 y 1 1 José Manuel del Toro Geometría - 18

19 95 (Junio-15 Dado el plano x y 1 y la superficie esférica ( x 1 ( y 1 ( 9, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano. (Sol: x y 1 ; x y 6 96 (Junio-15 Dado el punto P (4,6,6, el origen de coordenadas O, y la recta x 4 4 r y 8 se pide: a Encontrar un punto Q de la recta r, de modo que su proyección Q' sobre OP sea el punto medio de este segmento. b Determinar la distancia de P a r. c Existe algún punto R de la recta r, de modo que los puntos O, P y R estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia (Sol: a P(4,14,-4; b ; c No existe 97 (Sept-15 La recta r pasa por P(, 1, y tiene vector director ; la recta s pasa por Q ( 1,, 1 y tiene vector director (,4, a Calcular para que la distancia entre r y s sea b Calcular para que r sea perpendicular a la recta que pasa por P y Q (Sol: a ; b (Sept-15 Dados los puntos P ( 1, 1,1, Q (1,, y los planos: 1 x, my 6, x y m, a Calcular los valores de m para que los tres planos se corten en una recta b Para m, hallar la ecuación del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta de intersección de los planos 1 y c Hallar la distancia entre los puntos Q y P, siendo P el punto simétrico de P respecto al plano 1 (Sol: a m, m ; b x y ; c 1 José Manuel del Toro Geometría - 19

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